矩形、菱形、正方形

1矩形、菱形、正方形平行四边形及特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的性质与判定是中考考查的重点内容之一，常以选择题、解答题的形式出现，选择题主要考查各种图形性质的区别，解答题则是综合利用各种知识证明线段相等或解决其它一些问题。有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。从三方面进行静态几何之矩形、菱形、正方形问题的探讨：（1）矩形问题；（2）菱形问题；（3）正方形问题。一、矩形问题：【版江泰州元工作室所有，必究】权归苏锦数学邹强转载矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）三个角是直角的四边形是矩形。矩形的性质：（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相等；（3）矩形既是轴对称图形又是中心对称图形；（4）具备平行四边形的性质。2典型例题：版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强，转载必究1.（天津市）如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是【】A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形2.（河北省）如已知：线段AB，BC，∠ABC=90°.求作：矩形ABCD.以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业，下列说法正确的是【】A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对33.（内蒙古包头）如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是【】A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．3S1=2S24.（陕西省）如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN，若四边形MBND是菱形，则AMMD等于【】A．83B．32C．53D．545.（福建漳州）下列命题中假命题是【】A．平行四边形的对边相等B．等腰梯形的对角线相等C．菱形的对角线互相垂直D．矩形的对角线互相垂直6.（广东茂名）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°，AD=2，则AC的长是【】A．2B．4C．23D．4347.（广西百色）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使DA与对角线DB重合，点A落在点A′处，折痕为DE，则A′E的长是【】A．1B．43C．32D．28.（广西贵港）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N．有下列四个结论：①DF=CF；②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S△BEF=3S△DEF．其中，将正确结论的序号全部选对的是【】A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④9.（广西梧州）如图，把矩形ABCD沿直线EF折叠，若∠1=20°，则∠2=【】A．80°B．70°C．40°D．20°510.（江苏苏州）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若CGGB1k，则ADAB▲（用含k的代数式表示）．11.（江苏宿迁）如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α为▲度时，两条对角线长度相等．12.（辽宁抚顺）若矩形ABCD的对角线长为10，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长是▲．13.（山东莱芜）如图，矩形ABCD中，AB=1，E、F分别为AD、CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD=▲．614.（山东威海）如图①，将四边形纸片ABCD沿两组对边中点连线剪切为四部分，将这四部分密铺可得到如图②所示的平行四边形，若要密铺后的平行四边形为矩形，则四边形ABCD需要满足的条件是▲．15.（四川达州）如图，折叠矩形纸片ABCD，使B点落在AD上一点E处，折痕的两端点分别在AB、BC上（含端点），且AB=6，BC=10。设AE=x，则x的取值范围是▲.16.（四川凉山）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当ODP△是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为▲。717.（辽宁铁岭）如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．18.（山东青岛）已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点（1）求证：△ABM≌△DCM（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）当AD：AB=▲_时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）819.（山东潍坊）如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF.现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE'F'D',旋转角为.（1）当点D恰好落在EF边上时，求旋转角的值；（2）如图2，G为BC的中点，且00＜＜900，求证：GD'E'D；（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，DCD'与CBD'能否全等？若能，直接写出旋转角的值；若不能，说明理由.920.（云南八地市）已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）求矩形ADBE的面积．21.（云南昭通）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．（2）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由．10二、菱形问题：【版江泰州元工作室所有，必究】权归苏锦数学邹强转载菱形的判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形；（4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形。菱形的性质：（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（3）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形；（4）具备平行四边形的性质。典型例题：版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强，转载必究1.（陕西省）如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN，若四边形MBND是菱形，则AMMD等于【】A．83B．32C．53D．542.（福建漳州）下列命题中假命题是【】A．平行四边形的对边相等B．等腰梯形的对角线相等C．菱形的对角线互相垂直D．矩形的对角线互相垂直113.（广西梧州）如图，在菱形ABCD中，已知∠A=60°，AB=5，则△ABD的周长是【】A．10B．12C．15D．204.（贵州六盘水）在平面中，下列命题为真命题的是【】A．四个角相等的四边形是矩形B．对角线垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．四边相等的四边形是正方形5.（贵州铜仁）下列命题中，真命题是【】A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形6.（黑龙江大庆）已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，则下列结论正确的是【】A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形B．当AB=AD，CB=CD时，四边形ABCD是菱形C．当AB=AD=BC时，四边形ABCD是菱形D．当AC=BD，AD=AB时，四边形ABCD是正方形127.（湖北随州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°．已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是【】A．25B．20C．15D．108.（山东潍坊）如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB=OD,请你添加一个适当的条件▲_,使ABCD成为菱形.（只需添加一个即可）9.（四川内江）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值=▲．10.（四川宜宾）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AG=13，CF=6，则四边形BDFG的周长为▲．1311.（浙江金华、丽水）如图，四边形ABCD与四边形AEFG都是菱形，其中点C在AF上，点E，G分别在BC，CD上，若∠BAD=1350，∠EAG=750，则ABAE=▲。12.（浙江绍兴）矩形ABCD中，AB=4，AD=3，P，Q是对角线BD上不重合的两点，点P关于直线AD，AB的对称点分别是点E、F，点Q关于直线BC、CD的对称点分别是点G、H．若由点E、F、G、H构成的四边形恰好为菱形，则PQ的长为▲．13.（江苏南京）如图，将菱形纸片ABCD折迭，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF。若菱形ABCD的边长为2cm，A=120，则EF=▲cm。14.（江苏泰州）对角线互相▲的平行四边形是菱形．15.（江苏无锡）如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB=8，E是CD的中点，则OE的长等于▲.1416.（山东临沂）如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是▲．17.（江苏盐城）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，连结AE、BD且AE=AB。（1）求证：∠ABE=∠EAD；（2）若∠AEB=2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形。18.（辽宁锦）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE．求证：OE=BC．1519.（辽宁营口）如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC外角的平分线，已知∠BAC=∠ACD．（1）求证：△ABC≌△CDA；（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形．20.（山东临沂）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF=DC；（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．1621.（山东青岛）已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点（1）求证：△ABM≌△DCM（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）当AD：AB=▲_时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）22.（山东泰安）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，∠EFD=∠BCD，并说明理由．1723.（四川遂宁）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE=DF．求证：（1）△ADE≌△CDF；（2）四边形ABCD是菱形．24.（四川雅安）在ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AE=CF．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若DF=BF，求证：四边形DEBF为菱形．18三、正方形问题：正方形的判定：（1）对角线相等的菱形是正方形；（2）有一个角为直角的菱形是正方形；（3）对角线互相垂直的矩形是正方形；（4）一组邻边相等的矩形是正方形；（5）一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；（6）对角线互相垂直且相等的平