高中数学空间向量与立体几何测试题

空间向量与立体几何一.选择题1.在下列命题中：①若向量,ab共线，则向量,ab所在的直线平行；②若向量,ab所在的直线为异面直线，则向量,ab一定不共面；③若三个向量,,abc两两共面，则向量,,abc共面；④已知是空间的三个向量,,abc，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x,y,z使得pxaybzc；其中正确的命题的个数是（）（A）0（B）1（C）2（D）32.与向量（-3，-4，5）共线的单位向量是（）（A）（32222,,1052）和（32222,,1052）；（B）（32222,,1052）；（C）（32222,,1052）和（32222,,1052）；（D）（32222,,1052）；3.已知A、B、C三点不共线，点O为平面ABC外的一点，则下列条件中，能得到M∈平面ABC的充分条件是（）（A）111222OMOAOBOC；（B）1133OMOAOBOC；（C）OMOAOBOC；（D）2OMOAOBOC4.已知点B是点A（3，7，-4）在xOz平面上的射影，则2()OB等于（）（A）（9，0，16）（B）25（C）5（D）135.设平面内两个向量的坐标分别为（1，2，1）、（-1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是（）A（-1，-2，5）B（-1,1,-1）C（1,1,1）D（1，-1，-1）6.如图所示，在正三棱柱ABC——A1B1C1中，若AB=2BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为（）（A）60°（B）90°（C）105°（D）75°7.到定点1,0,0的距离小于或等于1的点集合为（）A.222,,|11xyzxyzB.222,,|11xyzxyzC.,,|11xyzxyzD.222,,|1xyzxyz8.已知,ab均为单位向量,它们的夹角为60,那么3ab等于（）A．7B．10C．13D．49.在平面直角坐标系中,(2,3),(3,2)AB,沿x轴把平面直角坐标系折成120的二面角后,则线段AB的长度为（）A．2B．211C．32D．4210.已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“m”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二．填空题11.若空间三点A（1，5，-2），B（2，4，1），C（p,3,q+2）共线，则p=______,q=______。12.设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_________．13.如图，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°且PA=AC=BC=a则异面直线PB与AC所成角的余弦值等于________；DCBAENMBNMDCA14.已知123Fijk，223Fijk，3345Fijk，若123,,FFF共同作用于一物体上，使物体从点M（1，-2，1）移动到N（3，1，2），则合力所作的功是.15.已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为26,则侧面与底面所成的二面角等于.题号12345678910题号题号1112131415题号三．解答题16.设向量3,5,4,2,1,832,,ababab，计算并确定,的关系，使abz与轴垂直17.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且D1P：PA=DQ：QB=5：12，（1）求线段PQ的长度；（2）求证PQ⊥AD；（3）求证：PQ//平面CDD1C1；18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=22，E，F分别是AD，PC的中点（Ⅰ）证明：PC⊥平面BEF；（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。19.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，ABCD,ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点（1）证明：PEBC（2）若APB=ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值20.如图,四棱锥S-ABCD的底面是矩形,AB=a,AD=2,SA=1,且SA⊥底面ABCD,若边BC上存在异于B,C的一点P,使得PSPD.(1)求a的最大值;(2)当a取最大值时,求异面直线AP与SD所成角的大小;(3)当a取最大值时,求平面SCD的一个单位法向量n及点P到平面SCD的距离.21.如图所示,矩形ABCD的边AB=a,BC=2,PA⊥平面ABCD,PA=2,现有数据:①32a;②1a;③3a;④2a;⑤4a;(1)当在BC边上存在点Q,使PQ⊥QD时,a可能取所给数据中的哪些值?请说明理由;(2)在满足(1)的条件下,a取所给数据中的最大值时,求直线PQ与平面ADP所成角的正切值;(3)记满足(1)的条件下的Q点为Qn(n=1,2,3,…),若a取所给数据的最小值时,这样的点Qn有几个?试求二面角Qn-PA-Qn+1的大小;答案1-5AABBB6-10BACBB11.3，212.213.3314.1415.3016.解：323(3,5,4)2(2,1,8)ab（9,15,-12）-(4,2,16)=(5,13,-28)ab(3,5,-4)(2,1,8)=6+5-32=-21由()(0,0,1)(32,5,48)ab(0,0,1)480即当,满足48＝0即使ab与z轴垂直.17.解：以D为坐标原点。DA、DC、DD1分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系。由于正方体的棱长为1，所以D（0，0，0），D1（0，0，1），B（1，1，0），A（1，0，0），∵P、Q分别是线段AD1和BD上的点，且D1P：PA=DQ：QB=5：12，∴P512(,0,)1717，Q（55,,01717），∴512(0,,)1717PQ，所以（1）∴13||17PQPQ；（2）∵(1,0,0)DA，∴0PQDA，∴PQ⊥AD；（3）∵(0,1,0)DC，1(0,0,1)DD，∴15121717PQDCDD，又1,DDDC平面CDD1C1，PQ平面CDD1C1，∴PQ//平面CDD1C1；18.解法一（Ⅰ）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP算在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系。∵AP=AB=2,BC=AD=2√2,四边形ABCD是矩形。∴A，B，C，D的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2√2,0)，D(0，2√2，0)，P(0,0,2)又E，F分别是AD，PC的中点，∴E(0，√2，0),F(1，√2，1)。∴PC=（2，2√2，-2）BF=（-1，√2，1）EF=（1,0,1），∴PC·BF=-2+4-2=0，PC·EF=2+0-2=0，∴PC⊥BF，PC⊥EF，∴PC⊥BF,PC⊥EF,BF∩EF=F,[来源:Zxxk.Com]∴PC⊥平面BEF（II）由（I）知平面BEF的法向量平面BAP的法向量设平面BEF与平面BAP的夹角为θ，则∴θ=45℃，∴平面BEF与平面BAP的夹角为45解法二（I）连接PE，EC在PA=AB=CD,AE=DE,∴PE=CE,即△PEC是等腰三角形，又F是PC的中点，∴EF⊥PC,又，F是PC的中点，∴BF⊥PC.[来源:学§科§网Z§X§X§K]又19.解：以H为原点，,,HAHBHP分别为,,xyz轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则(1,0,0),(0,1,0)AB（Ⅰ）设(,0,0),(0,0,)(0,0)CmPnmn则1(0,,0),(,,0).22mDmE可得1(,,),(,1,0).22mPEnBCm因为0022mmPEBC所以PEBC（Ⅱ）由已知条件可得33,1,33mnC故(,0,0)313(0,,0),(,,0),(0,0,1)326DEP设(,,)nxyx为平面PEH的法向量则,,nHEonHPo即130260xyz因此可以取(1,3,0)n，由(1,0,1)PA，可得2cos,4PAn所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为2420.解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:A(0,,0,0),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),S(0,0,1),设P(a,x,0).(0x2)(1)∵,,1,PSax,2,0PDax∴由PSPD得:2(2)0axx即:2(2)(02)axxx∴当且仅当x=1时,a有最大值为1.此时P为BC中点;(2)由(1)知:(1,1,0),(0,2,1),APSD∴210cos,,525APSDAPSDAPSD∴异面直线AP与SD所成角的大小为10cos.5arc(3)设1,,nxyz是平面SCD的一个法向量,∵(1,0,0),(0,2,1),SDDC∴由1111000201021xxnDCnDCyzynSDnSDzy取得1(0,1,2),n∴平面SCD的一个单位法向量1115250,1,2(0,,),555nnn又(0,1,0),CP在n方向上的投影为555,15nnCP∴点P到平面SCD的距离为5.521.解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:A(0,0,0,),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),设Q(a,x,0).(0≤x≤2)(1)∵,,2,,2,0,PQaxQDax∴由PQ⊥QD得22(2)0(2)PQQDaxxaxx∵20,2,(2)0,1xaxx∴在所给数据中,a可取32a和1a两个值.(2)由(1)知1a,此时x=1,即Q为BC中点,∴点Q的坐标为(1,1,0)从而1,1,2,PQ又1,0,0AB为平面ADP的一个法向量,∴16cos,661PQABPQABPQAB,∴直线PQ与平面ADP所成角的正切值为5.5(3)由(1)知32a,此时13,22xx或,即满足条件的点Q有两个,其坐标为123133,,0,,02222QQ和∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AQ1,PA⊥AQ2,∴∠Q1AQ2就是二面角Q1-PA-Q2的平面角.由12121233344cos,213AQAQAQAQAQAQ,得∠Q1AQ2=30,∴二面角Q1-PA-Q2的大小为30.