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北京理工大学宇航学院力学系北京理工大学宇航学院力学系岳宝增岳宝增非线性动力学导论非线性动力学导论之四：分岔基本理论简介之四：分岔基本理论简介第三章第三章非线性动力学系统分岔基本理非线性动力学系统分岔基本理论论一一..一般系统平衡解的稳定性一般系统平衡解的稳定性(1)(1)二二..平衡解的稳定流形与不稳定流形平衡解的稳定流形与不稳定流形于平面摆的例子可以用来很清楚地解释全局稳定（不平面摆的例子可以用来很清楚地解释全局稳定（不稳定）流形的概念；平面摆作为二阶动力学系统和稳定）流形的概念；平面摆作为二阶动力学系统和谐振子极为相似。其动力学方程为：谐振子极为相似。其动力学方程为：其中其中MM代表质量，代表质量，表示摆长，表示摆长，gg为重力加速度，为重力加速度，cc为阻尼系数。为阻尼系数。对时间进行尺度变换对时间进行尺度变换l定义定义（或直接假设（或直接假设）及）及d可以得到系统的简化方程：可以得到系统的简化方程：因为因为是从铅锤位置开始的角度位移，因此该变是从铅锤位置开始的角度位移，因此该变量具有周期量具有周期22ππ;;由此可知该系统的相空间为圆柱面。由此可知该系统的相空间为圆柱面。我们也可以假设我们也可以假设，从而从相图上可以观测到系，从而从相图上可以观测到系统关于统关于XX的周期特性。为了分析系统的动力学特性，的周期特性。为了分析系统的动力学特性，首先确定系统的平衡点并研究其稳定性。可求出系统首先确定系统的平衡点并研究其稳定性。可求出系统的平衡点为：的平衡点为：及及d求出系统的雅可比矩阵为：求出系统的雅可比矩阵为：对应于平衡点对应于平衡点有：有：其特征值为：其特征值为：如果如果d=0d=0则得到特征值则得到特征值±±ii；对于较小的；对于较小的dd值系统有值系统有共轭复根。对应于平衡点（共轭复根。对应于平衡点（2k2kππ++ππ,0,0）系统的雅）系统的雅可比矩阵为：可比矩阵为：其特征值一对符号相反的实数其特征值一对符号相反的实数：根据以上讨论可知：平衡点根据以上讨论可知：平衡点（（2k2kππ++ππ,0,0）为鞍点，）为鞍点，当当d=0d=0时，其对应的特征向量为：时，其对应的特征向量为：及及对于较小的的对于较小的的d0,d0,平衡点（平衡点（2k2kππ,0,0）为吸引子）为吸引子--螺旋螺旋旋线）；旋线）；d=0d=0时该类平衡点所对应的是非双曲点。由时该类平衡点所对应的是非双曲点。由于此时系统不受摩擦（阻尼）影响，单摆将做周期运于此时系统不受摩擦（阻尼）影响，单摆将做周期运动。因此，在平衡点附近，系统的动力学特性为：动。因此，在平衡点附近，系统的动力学特性为：无阻尼无阻尼d=0d=0阻尼阻尼d0d0d=0d=0时时,,所对应的一类周期运动是单摆做上下摆动；另所对应的一类周期运动是单摆做上下摆动；另一类周期运动是单摆由稳定及不稳定流形通过倒立位一类周期运动是单摆由稳定及不稳定流形通过倒立位置置位置的运动。如果单摆几乎刚好处于倒立位置时（不位置的运动。如果单摆几乎刚好处于倒立位置时（不稳定），它将倒回并再次回摆到几乎刚好倒立的位置。稳定），它将倒回并再次回摆到几乎刚好倒立的位置。这意味着稳定流形与不稳定流形将有如下图所示的联这意味着稳定流形与不稳定流形将有如下图所示的联接：接：单摆沿逆时针方单摆沿逆时针方向穿越倒立位置。向穿越倒立位置。单摆没有穿越倒单摆没有穿越倒立位置。立位置。单摆沿顺时针方单摆沿顺时针方向穿越倒立位置。向穿越倒立位置。在有阻尼的情形下，实际上所有的初始条件所确定的在有阻尼的情形下，实际上所有的初始条件所确定的运动将趋于下垂平衡位置。例外情形是稳定流形所对运动将趋于下垂平衡位置。例外情形是稳定流形所对应的运动，由趋于倒立位置的所有点组成。应的运动，由趋于倒立位置的所有点组成。所有初始条件将终止所有初始条件将终止于平衡点于平衡点三三..分岔的基本概念分岔的基本概念对于一个非线性方程，由于其中参量取值不同，解的对于一个非线性方程，由于其中参量取值不同，解的形式可能完全不同，即参量取值在某一临界值两侧，形式可能完全不同，即参量取值在某一临界值两侧，解的性质发生本质变化解的性质发生本质变化((例如平衡状态或周期运动的数例如平衡状态或周期运动的数目和稳定性等发生突然变化目和稳定性等发生突然变化))。人们称解在此临界值处。人们称解在此临界值处出现出现分岔分岔。。分岔现象是非线性系统特有的一种非常重分岔现象是非线性系统特有的一种非常重要的性质。要的性质。1.1.分岔和结构稳定性分岔和结构稳定性以范德玻（以范德玻（VanderPolVanderPol）方程为例来讨论分岔现象）方程为例来讨论分岔现象。。VanderPolVanderPol方程是最简单而又具有典型意义的方程是最简单而又具有典型意义的由由范德玻在研究电子管振荡和模拟人的心脏搏动的基础范德玻在研究电子管振荡和模拟人的心脏搏动的基础上提出的，该方程的解代表一种典型的非正弦形式的上提出的，该方程的解代表一种典型的非正弦形式的振荡。振荡。0)1(22xxxx22112221)1(xxxxxx分岔的概念分岔的概念如果参量如果参量在其某一值在其某一值邻近微小变化将引起解（邻近微小变化将引起解（运动）的性质（或相空间轨线的拓扑性质）发生突变运动）的性质（或相空间轨线的拓扑性质）发生突变，此现象即称为，此现象即称为分岔（或分叉、分歧、分支）分岔（或分叉、分歧、分支），此临，此临界值称为界值称为分岔值分岔值。不引起分岔的点称为。不引起分岔的点称为常点常点。。结构稳定性结构稳定性结构稳定性（结构稳定性（structuralstabilitystructuralstability））表示在参量微表示在参量微小变化时，解不会发生拓扑性质变化（解的轨线仍维小变化时，解不会发生拓扑性质变化（解的轨线仍维持在原轨线的领域内且变化趋势也相同）。持在原轨线的领域内且变化趋势也相同）。),(xfx反之，在分岔点附近，参量值的微小变化足以引起解反之，在分岔点附近，参量值的微小变化足以引起解发生本质（拓扑性质）变化，则称这样的解是发生本质（拓扑性质）变化，则称这样的解是结构不结构不稳定的稳定的。。结构不稳定意味出现分岔结构不稳定意味出现分岔。。分岔是非线性领域的重要理论。主要研究内容包括分岔是非线性领域的重要理论。主要研究内容包括分岔点位置，分解方向与数目；分岔解的稳定性；分分岔点位置，分解方向与数目；分岔解的稳定性；分岔类型和分岔过程与终态的奇异吸引子等等。岔类型和分岔过程与终态的奇异吸引子等等。从本质上分析，从本质上分析，失稳失稳是发生分岔的物理前提。分岔是发生分岔的物理前提。分岔之后，系统不同状态间便发生不连续的过渡，这就是之后，系统不同状态间便发生不连续的过渡，这就是突变突变。然后经过不断地分岔，最后达到的终态即。然后经过不断地分岔，最后达到的终态即混沌混沌理论的研究对象。理论的研究对象。分析分析：当：当FF较小时，棒虽受压，但仍能维持水平位置较小时，棒虽受压，但仍能维持水平位置而无形变。继续加大而无形变。继续加大FF，当，当FF达到某一临界值时，棒将达到某一临界值时，棒将突然弯曲。设棒只能在竖直面内运动，则它既可能向突然弯曲。设棒只能在竖直面内运动，则它既可能向上弯曲，也可能向下弯曲。若用棒的中点偏离原水平上弯曲，也可能向下弯曲。若用棒的中点偏离原水平位置的距离位置的距离xx标志棒的形变，则棒的形状在标志棒的形变，则棒的形状在FF的临界值的临界值处发生了突变，平衡点也由原来的一个变为三个。处发生了突变，平衡点也由原来的一个变为三个。例：一水平细棒（竹、木或钢的），右端固定，从左例：一水平细棒（竹、木或钢的），右端固定，从左端加一水平方向力端加一水平方向力FF，考虑棒的形状如何变化。，考虑棒的形状如何变化。这是这是EulerEuler在在17441744年研究的一个问题，年研究的一个问题，它是一个最简单的分岔现象。它是一个最简单的分岔现象。FPPFF特别有意思的是，特别有意思的是，EulerEuler杆向哪一边弯曲是一不确定杆向哪一边弯曲是一不确定问题，其中包含有随机因素的作用，甚至取决于初始问题，其中包含有随机因素的作用，甚至取决于初始扰动和涨落。扰动和涨落。双星裂变双星裂变双星裂变理论是由双星裂变理论是由NewtonNewton最早在关于地球形状的研最早在关于地球形状的研究中撰写的工作。当时很多人对地球的形状究竟是究中撰写的工作。当时很多人对地球的形状究竟是长椭球（东西扁）还是扁椭球（南北扁）意见纷争，长椭球（东西扁）还是扁椭球（南北扁）意见纷争，各执一词。其中各执一词。其中CassimiCassimi认为是东西扁，而认为是东西扁，而NewtonNewton则坚持认为南北扁。则坚持认为南北扁。我们假设地球不转动（自转）时，我们假设地球不转动（自转）时，它应该是一个圆球，其三个半轴均它应该是一个圆球，其三个半轴均为相等，有为相等，有a=b=ca=b=c。然而正由于地球。然而正由于地球有自转特性，所以首先肯定地球是有自转特性，所以首先肯定地球是扁的，如右图所示。扁的，如右图所示。麦克劳林麦克劳林采用转动的角动量作为控制参数。他在采用转动的角动量作为控制参数。他在17421742年用非线性理论论证了年用非线性理论论证了NewtonNewton看法正确，即当看法正确，即当很小时，地球是一个南北扁的扁球很小时，地球是一个南北扁的扁球(a=bc)(a=bc)，世，世称称————麦克劳林麦克劳林椭球。椭球。18341834年雅可比进一步研究，当时年雅可比进一步研究，当时µµ0.3844360.384436，麦克，麦克劳林椭球变得不稳定而分岔出一个劳林椭球变得不稳定而分岔出一个————雅可比椭球雅可比椭球(abc)(abc)，如图所示。，如图所示。雅雅可可比比椭椭球球直到直到18831883年，年，汤姆逊汤姆逊(Thompson)(Thompson)和泰特和泰特(Tait)(Tait)在研究在研究论证发现，当继续增大时，雅可比椭球再一次不稳定论证发现，当继续增大时，雅可比椭球再一次不稳定又分岔出中间薄两头厚的梨形球，如图所示。又分岔出中间薄两头厚的梨形球，如图所示。Thompson-TaitThompson-Tait梨形球梨形球由此，产生了由此，产生了彭加勒彭加勒的猜想：的猜想：从雅可比椭球到从雅可比椭球到ThompsonThompson梨形球可能是双星分裂的原因梨形球可能是双星分裂的原因，这个问题至，这个问题至今仍在研究之中。今仍在研究之中。哈勃望远镜拍下两星系哈勃望远镜拍下两星系““挽臂挽臂””旋转旋转2.2.分岔的分类分岔的分类非线性方程解的拓扑性质在参量取临界值时发生非线性方程解的拓扑性质在参量取临界值时发生突变（结构不稳定），这样的分岔称为突变（结构不稳定），这样的分岔称为动态分岔动态分岔。。非线性方程的定态数目在参量的临界值处发生突非线性方程的定态数目在参量的临界值处发生突变，这样的分岔称为变，这样的分岔称为静态分岔静态分岔。。静态分岔可以看作动态分岔的一种特殊情形，而静态静态分岔可以看作动态分岔的一种特殊情形，而静态分岔（定态数目的突变）往往要引起动态分岔分岔（定态数目的突变）往往要引起动态分岔（方程的解包括非定态解的拓扑性质发生突变）。（方程的解包括非定态解的拓扑性质发生突变）。分叉点与极限点分叉点与极限点我们把带有控制参数的动力系统可表示为微分方程：我们把带有控制参数的动力系统可表示为微分方程：我们已经知道，动力系统在控制我们已经知道，动力系统在控制参数发生变化时，有可能出现分岔。参数发生变化时，有可能出现分岔。从理论上来说，很多物理问题都可以用微分方程来从理论上来说，很多物理问题都可以用微分方程来描述。于是，很容易提出：对非线性方程所控制的描述。于是，很容易提出：对非线性方程所控制的动力系统时，系统是否存在定态。有多少定态，系动力系统时，系统是否存在定态。有多少定态，系统