江西省南昌市2017届高三第一次模拟考试(理数)

1江西省南昌市2017届高三第一次模拟测试数学（理科）本试卷共4页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：圆锥侧面积公式：rlS，其中r为底面圆的半径，l为母线长。第Ⅰ卷（选择题部分共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集UR，集合{lg}Axyx，集合{1}Byyx，那么()UACB（）A．B．(0,1]C．(0,1)D．(1,)2．若复数321zi，其中i为虚数单位，则复数z的虚部是（）A．-1B．iC．1D．i3．已知,均为第一象限的角，那么是sinsin的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．设某中学的高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据(,)iixy（1,2,3,i…，n），用最小二乘法近似得到回归直线方程为^0.8585.71yx，则下列结论中不正确．．．的是（）A．y与x具有正线性相关关系B．回归直线过样本的中心点(,)xyC．若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该中学某高中女生身高为160cm，则可断定其体重必为50.29kg.5．若圆锥曲线C：221xmy的离心率为2，则m（）A．33B．33C．13D．136．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．2log101B．22log31C．92D．67．已知函数()sin()fxAx（0,0,02A）的周期为，若()1f，则3()2f（）A．-2B．-1C．1D．228．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线21yx与圆224xy相交于,AB两点，则cosAOB=（）A．510B．510C．910D．9109．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十（意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱）；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（）钱.A．28B．32C．56D．7010．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（）A．323B．643C．16D．3211．抛物线28yx的焦点为F，设11(,)Axy，22(,)Bxy是抛物线上的两个动点，若122343xxAB，则AFB的最大值为（）A．3B．34C．56D．2312．定义在R上的偶函数()fx满足(2)()fxfx，且当[1,2]x时，()ln1fxxx，若函数()()gxfxmx有7个零点，则实数m的取值范围为（）A．1ln21ln2(,)86ln21ln21(,)68B．ln21ln21(,)68C．1ln21ln2(,)86D．1ln2ln21(,)86第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在多项式65(12)(1)xy的展开式中，3xy项的系数为．14．已知单位向量12,ee的夹角为3，122aee，则a在1e上的投影是．15．如图，直角梯形ABCD中，ADDC，//ADBC，222BCCDAD，若将直角梯形绕BC边旋转一周，则所得几何体的表面积为．16．已知224xy，在这两个实数,xy之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为．3三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分12分)已知等差数列{}na的前n项和为nS，且11a，345SSS.（I）求数列{}na的通项公式；（II）令11(1)nnnnbaa，求数列{}nb的前2n项和2nT.18.(本小题满分12分)某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）空气质量指数(0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](250,300]空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染该社团将该校区在2016年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率.（I）请估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数（未满一天按一天计算）；（II）该校2017年6月7、8、9日将作为高考考场，若这三天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这三天净化空气总费用X元，求X的分布列及数学期望.19.(本小题满分12分)如图，四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，//ABCD，2ADDCBC，4AB，PAD为正三角形.（I）求证：BD平面PAD；（II）设AD的中点为E，求平面PEB与平面PDC所成二面角的平面角的余弦值.420.(本小题满分12分)已知椭圆2222:1xyCab（0ab）的左、右顶点分别为12,AA，左、右焦点分别为12,FF，离心率为12,点(4,0)B，2F为线段1AB的中点.（1）求椭圆C的方程；（2）若过点B且斜率不为0的直线l与椭圆C的交于,MN两点，已知直线1AM与2AM相交于点G，试判断点G是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数2()(24)(2)xfxxeax（0,xaR,e是自然对数的底数）.（1）若()fx是(0,)上的单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）当1(0,)2a时，证明：函数()fx有最小值，并求函数()fx最小值的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线1C过点(,1)Pa，其参数方程为212xatyt（t为参数，aR），以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2cos4cos0.（1）求曲线1C的普通方程和曲线2C的直角坐标方程；（2）已知曲线1C与曲线2C交于,AB两点，且2PAPB，求实数a的值.23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()21fxxax，aR.（1）若不等式()21fxx有解，求实数a的取值范围；（2）当2a时，函数()fx的最小值为3，求实数a的值.5数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号123456789101112答案CCDDCBBDBADA二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．13．120;14.32;15.(32);16.3102三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.17.【解析】（Ⅰ）设等差数列na的公差为d，由345SSS可得1235aaaa，即253aa，所以3(1)14dd，解得2d．1(1)221nann．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：112(1)(21)(21)(1)(41)nnnbnnn.22222122(411)(421)(431)(441)(1)4(2)1nnTn22222241234(21)(2)nn22(21)4(1234212)4842nnnnnn．18.【解析】（Ⅰ）由直方图可估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数为(0.10.2)3650.3365109.5110（天）．（Ⅱ）由题可知，X的所有可能取值为：0，10000，20000，30000，40000，50000，60000，则：3464(0)()5125PX，1231424(10000)()105125PXC221233141410827(20000)()()()()105105500125PXCC31132111449(30000)()10101051000PXCC222233111427(40000)()()10101051000PXCC223113(50000)()10101000PXC311(60000)()101000PX．X的分布列为X0100002000030000400005000060000P641252412527125491000271000310001100064482749273101000020000300004000050000600001252501251000100010001000EX9000（元）．19.【解析】（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，过点D作DEAB于点E，如图所示：有1,3,23AEDEBD6∴在ABD中，有222ABADBD，即ADBD又因为平面PAD平面ABCD且交线为AD，∴BD平面PAD.（Ⅱ）由平面PAD平面ABCD，且PAD为正三角形,E为AD的中点，∴PEAD，得PE平面ABCD．如图所示，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，过点D平行于PE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系.由条件2ADDCBC，则1AEDE，3PE，23BD．则(0,0,0)D，(1,0,0)E，(0,23,0)B，(1,0,3)P．-------6分在等腰梯形ABCD中，过点C作BD的平行线交AD延长线于点F如图所示：则在RtCDF中，有3CF，1DF，∴(1,3,0)C．（另解:可不做辅助线，利用2ABDC求点C坐标）∴(1,3,0)CD，(1,0,3)PD，设平面PDC的法向量1111(,,)nxyz则1111113030nCDxynPDxz，取13x，则11y，11z，∴面PDC的法向量1(3,1,1)n．同理有(0,0,3)PE，(1,23,3)PB，设平面PBE的法向量2222(,,)nxyz则222222302330nPEznPBxyz，取21y，则223x，20z，∴面PBE的法向量2(23,1,0)n．--10分7设平面PEB与平面PDC所成二面角的平面角为，∴123231765coscos,65311121nn．即平面PEB与平面PDC所成二面角的余弦值为76565．20.【解析】（Ⅰ）设点12(,0),(,0)AaFc，由题意可知：42ac，即42ac①又因为椭圆的离心率12cea，即2ac②联立方程①②可得：2,1ac，则2223bac所以椭圆C的方程为22143yx．（Ⅱ）方法一：根据椭圆的对称性猜测点G是与y轴平行的直线0xx上．假设当点M为椭圆