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1江西省南昌市第三次模拟测试卷理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，若，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】所以于是所以。故选D2.已知，是虚数单位，若，，则为（）A.或B.C.D.不存在的实数【答案】A【解析】分析：根据共轭复数的定义先求出，再由，即可求出a详解：由题得，故，故选A.点睛：考查共轭复数的定义和复数的四则运算，属于基础题.3.“”是“关于的方程有解”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】分析;：求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．详解：由得，且即，即，则，此时方程无解，即充分性不成立，若，满足方程无解，但不成立，即必要性不成立，即“”是“关于的方程有解”的既不充分也不必要条件.故选D．点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的等价条件求出的值是解决本题的关键．24.下列有关统计知识的四个命题正确的是（）A.衡量两变量之间线性相关关系的相关系数越接近，说明两变量间线性关系越密切B.在回归分析中，可以用卡方来刻画回归的效果，越大，模型的拟合效果越差C.线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点D.线性回归方程中，变量每增加一个单位时，变量平均增加个单位【答案】A【解析】分析：利用“卡方”的意义、相关指数的意义及回归分析的适用范围，逐一分析四个答案的真假，可得答案．详解：A.衡量两变量之间线性相关关系的相关系数越接近，说明两变量间线性关系越密切，正确；B.在回归分析中，可以用卡方来刻画回归的效果，越大，模型的拟合效果越差，错误对分类变量与的随机变量的观测值来说，越大，“与有关系”可信程度越大;故B错误；C.线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点，错误，回归直线可能不经过其样本数据点中的任何一个点；D.线性回归方程中，变量每增加一个单位时，变量平均增加个单位，错误，由回归方程可知变量每增加一个单位时，变量平均增加个单位.学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...故选A.点睛：本题考查回归分析的意义以及注意的问题．是对回归分析的思想、方法小结．要结合实例进行掌握.5.在平面直角坐标系中，已知双曲线与双曲线有公共的渐近线，且经过点，则双曲线的焦距为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：双曲线C与双曲线x2−=1有公共的渐近线，因此设本题中的双曲线C的方程x2−=λ，再代入点P的坐标即可得到双曲线C的方程．然后求解焦距即可．详解：双曲线C与双曲线x2−=1有公共的渐近线，设本题中的双曲线C的方程x2−=λ，因为经过点，所以4-1=λ，解之得λ=3，故双曲线方程为故焦距为：，选D.点睛：本题给出与已知双曲线共渐近线的双曲线经过某个已知点，求该双曲线的方程，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质，属于基本知识的考查．36.执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内应填入的条件是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】S＝0，k＝1，k＝2，S＝2，否；k＝3，S＝7，否；k＝4，S＝18，否；k＝5，S＝41，否；k＝6，S＝88，是．所以条件为k＞5，故选B.7.已知，则的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．详解：由题，的大小关系为故选：D．点睛：本题考查三个数的大小的比较，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8.某几何的三视图如图所示，其中主视图由矩形和等腰直角三角形组成，左视图由半个圆和等腰直角三角形组成，俯视图的实线部分为正方形，则该几何体的表面积为（）4A.B.C.D.【答案】A【解析】由三视图知几何体的上半部分是半圆柱，圆柱底面半径为1，高为2，其表面积为：，下半部分为正四棱锥，底面棱长为2，斜高为，其表面积：，所以该几何体的表面积为本题选择A选项.点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．9.将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，得到图象，若，且，则的最大值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】将函数的图象向左平移个单位，得到，再向上平移1个单位，得到因为，g(x)的最大值为3，所以=3，因为，所以所以所以的最大值为故选C.5点睛：本题的一个关键之处是对且的转化.要从g(x)的最大值为3，推理出这里是解题的关键.10.为培养学生分组合作能力，现将某班分成三个小组，甲、乙、丙三人分到不同组，某次数学建模考试中三人成绩情况如下：在组中的那位的成绩与甲不一样，在组中的那位的成绩比丙低，在组中的那位成绩比乙低.若甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序，则排序正确的是（）A.甲、丙、乙B.乙、甲、丙C.乙、丙、甲D.丙、乙、甲【答案】C【解析】因为在组中的那位的成绩与甲不一样，在组中的那位的成绩比乙低．所以甲、乙都不在B组，所以丙在B组.假设甲在A组，乙在C组，由题得甲、乙、丙三人按数学建模考试成绩由高到低排序是乙、丙、甲.假设甲在C组，乙在A组，由题得矛盾，所以排序正确的是乙、丙、甲.故选C.11.“在两条相交直线的一对对顶角内，到这两条直线的距离的积为正常数的点的轨迹是双曲线，其中这两条直线称之为双曲线的渐近线”．已知对勾函数是双曲线，它到两渐近线距离的积是,根据此判定定理，可推断此双曲线的渐近线方程是（）A.与B.与C.与D.与【答案】A【解析】分析：根据定义设为上任一点，逐次验证四个选项，只有A符合.详解：根据定义设为上任一点，对于A选项，则到直线的距离为，到直线的距离为，由单一可知可知，则显然当时，当时，综上，，符合定义.同理可知B,C，D不符合定义.故选A.点睛：本题考查双曲线的定义，利用定义验证选项是否符合，是基础题12.已知函数，对任意不等实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D6【解析】分析：求出函数的导数，分离参数，结合二次函数的性质，求出的范围即可．详解：对任意两个不等的实数，都有不等式恒成立，则当时，恒成立，即在上恒成立，则故选D．点睛：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数为偶函数，则的解集为__________．【答案】【解析】分析：由函数为偶函数，可得，则，则解之即可.详解：由题函数为偶函数，则即，，故即答案为.点睛：本题考查偶函数的定义，以及利用偶函数的单调性解不等式，属基础题.14.已知，则__________．【答案】【解析】分析：由，展开二项式即可求得．详解：∵故答案为20点睛：本题考查二项式定理的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．15.已知是两个非零向量，且，则的最大值为__________．【答案】【解析】分析：根据题意，设，则，由分析可得7变形可得进而可得，变形可得，由基本不等式分析可得答案．详解：根据题意，设设，则，若，则变形可得：则又由即；则|的最大值为.故答案为．点睛：本题考查向量数量积的计算以及基本不等式的应用，解题的关键是构造关于的模的函数．16.如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发，绕着点逆时针旋转，在旋转分入过程中，记，经过的单位圆内区域（阴影部分）的面积为，记，对函数有如下四个判断：①当时，；②时，为减函数；③对任意，都有；④对任意，都有其中判断正确的序号是__________．【答案】①③【解析】分析：由已知画出图形，再由扇形面积公式及三角形面积公式求得阴影部分的面积，然后逐一核对四个选项得答案．8详解：如图，设圆心为P交圆于另一点，连接，则当时，，故①正确；在上为增函数，故②错误；当时，故③正确；当时，故④错误.故答案为①③．点睛：本题考查直线与圆位置关系的应用，考查了三角函的性质，是中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列的各项均为正数，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）由得，解得或，又数列的各项均为正数，可得．（2）由，所以，9可得，利用错位相减法即可得出．详解：（1）由得，所以或，又因为数列的各项均为正数，负值舍去所以.（2）因为，所以由①②由①-②得：∴点睛：本题考查了数列递推关系、错位相减法、分组求和方法、等比数列的求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.如图，多面体中，为正方形，，二面角的余弦值为，且.（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）.【解析】分析：（1）通过证明AD⊥DE，，推出平面，得到平面平面；；（2）由（1）知，是二面角的平面角．以为坐标原点，所在直线为轴建10立直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得平面与平面所成锐二面角的余弦值．详解：（1）证明：∵，由勾股定理得：又正方形中，且∴平面，又∵面，∴平面平面（2）由（1）知是二面角的平面角作于，则且由平面平面，平面平面，面所以，面取中点，连结，则，如图，建立空间直角坐标系，则∴又，知的一个方向向量设面法向量，则取，得又面一个法向量为：∴设平面与平面所成锐二面角为，则11点睛：本题考查直线与平面垂直的判断，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力．19.质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的个零件质量进行检测．甲、乙两个车间的零件质量（单位：克）分布的茎叶图如图所示．零件质量不超过克的为合格．（1）质检部门从甲车间个零件中随机抽取件进行检测，若至少件合格，检测即可通过，若至少件合格，检测即为良好，求甲车间在这次检测通过的条件下，获得检测良好的概率；（2）若从甲、乙两车间个零件中随机抽取个零件，用表示乙车间的零件个数，求的分布列与数学期望．【答案】（1）（2）见解析【解析】分析：（1）设事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件全合格”；事件表示“检测通过”；事件表示“检测良好”.通过，P（E）=P（B）+P（C），．求解概率即可．（2）由题意知，的所有可能取值为0，1，2，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．详解：（1）设事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件合格，件不合格”；事件表示“件全合格”；事件表示“检测通过”；事件表示“检测良好”.∴∴.故所求概率为.（2）可能取值为分布列为12所以，.点睛：本题考查条件概率的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查分析问题解决问题的能力．20.已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）已知不经过点的直线与椭圆交于两点，关于原点对称点为（与点不重合），直线与轴分别交于两点，证明：【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）第（1）问，根据已知条件得到关于a,b,c的方程，解方程即得椭圆的方程.（2）第（2）问，转化成证明,再转化成证明，再利用韦达定理证明.试题解析：（1）由可得，所以，解得，所以椭圆的方程为：.（2）设，联立方程，得，解得，所以，，∴，分子13.∴,∴．点睛：本题的第（2）问的关键是转化，把证明转化成证明,再转化成证明，再利用韦达定理证明.转化的思想是数学里的用的最普遍的数学思想，大家遇到了复杂的数学问题，大家要学会转化.21.已知函数.（1）若，函数的极大值为，求实数的值；（2）若对任意的，