高数-大一-上学期知识要点

1总复习(上)一、求极限的方法：1、利用运算法则与基本初等函数的极限；①、定理若lim(),lim()fxAgxB,则(加减运算)lim[()()]fxgxAB(乘法运算)lim()()fxgxAB(除法运算)()0,lim()fxABgxB若推论1:lim(),lim[()][lim()]nnnfxAfxfxA(n为正整数)推论2:lim()[lim()]cfxcfx②结论1:,lim,,mmmmnnxnnamnbaxaxaxamnbxbxbxbmn当当当00101110110结论2:()fx是基本初等函数，其定义区间为D，若0xD，则00lim()()xxfxfx2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质；①定义1:若0lim()0xxfx或（lim()0xfx）则称()fx是当0xx(或x)时的无穷小.定义2:,是自变量在同一变化过程中的无穷小:若lim1,则称与是等价无穷小,记为.②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小.性质2:有界函数与无穷小的乘积是无穷小.2推论1:常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2:有限个无穷小的乘积也是无穷小.定理2(等价无穷小替换定理)设~,~,且lim存在,则limlimlimlim.(因式替换原则)常用等价无穷小:sin~,tan~,arcsin~,arctan~,xxxxxxxx2121cos~,1~,11~,ln1~,xxxexxxxx1~ln,xaxa0x3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则；①准则I(夹逼准则)若数列,,nnnxyz(n=1,2,…)满足下列条件:(1)(,,,)nnnyxzn123;(2)limlimnnnnyza,则数列nx的极限存在,且limnnxa.②准则II:单调有界数列必有极限.4、利用两个重要极限。0sinlim1xxx10lim(1)xxxe1lim(1)xxex5、利用洛必达法则。未定式为0,,,0,00类型.3①定理(xa时的00型):设(1)lim()lim()0xaxafxFx;(2)在某(,)Ua内,()fx及()Fx都存在且()0Fx;()(3)lim()xafxFx存在(或为无穷大)()()limlim()()xaxafxfxFxFx则，二、求导数和微分：1.定义①导数：函数()yfx在0xx处的导数：0000000()()()()()limlim.xxxfxfxfxxfxfxxxx函数()yfx在区间I上的导函数：0()()()lim.xfxxfxdyfxxdx②函数的微分：().dyfxdx2.导数运算法则（须记住P140导数公式）①函数和差积商求导法则：函数()ux、()vx可导，则：4(()())()()uxvxuxvx(()())()()()().uxvxuxvxuxvx2(()0)uuvuvvxvv②反函数求导法则：若()xy的导数存在且()0y，则反函数()yfx的导数也存在且为1().()fxy③复合函数求导法则(链式法则)：()ux可导，()yfu可导，则(())yfx可导，且.dydydudxdudx④隐函数求导法则:⑤参数方程求导法则:(),()xtyt若()0t则()()dytdxt.522()()()1()tdydddytdxdxdxdxdtdt3.微分运算法则三、求积分：1.概念：原函数、不定积分。定积分是一个数，是一个和的极限形式。1()lim()nbiiaifxdxfx性质1：()0,()()aababafxdxfxdxfxdx性质2：[()()]()()bbbaaafxgxdxfxdxgxdx性质3：()(),().bbaakfxdxkfxdxk是常数性质4：()()()ccbbaafxdxfxdxfxdx(去绝对值,分段函数积分)性质5：badxba62.计算公式：P186基本积分表；P203常用积分公式；①第一换元法(凑微分)：()()(())()(())()()uxuxfxxdxfxdxfudu221arcsinarccos,1111(),2.dxdxdxxdxddxdxxxx②第二换元法：()2.()(())()xtfxdxfttdt7③分部积分法：3.()()()()()()uxvxdxuxvxuxvxdxudvuvvdu)(反对幂指三”，前,后uv④有理函数积分：循环解出;递推公式分部化简;8混合法(赋值法+特殊值法)确定系数⑤牛顿莱布尼茨公式：4.()()()[()](()())bbaafxdxFbFaFxFxfx其中⑥定积分换元法：5.()(())()(())bafxdxfttdtab＝()=（换元换限，配元(凑微)不换限）⑦定积分分部积分法：6.()()()()()()bbbaaauxvxdxuxvxuxvxdx⑧结论(偶倍奇零)：9①若函数()fx为偶函数，则0()2()aaafxdxfxdx。②若函数()fx为奇函数，则()0aafxdx注意:1.利用“偶倍奇零”简化定积分的计算；2.定积分几何意义求一些特殊的积分(如22204aaaxdx)⑨变限积分求导四、微分和积分的应用1.判断函数的单调性、凹凸性、求其极值、拐点、描绘函数图形①判断单调性：第一步：找使()0fx的点和不可导点。第二步：以驻点和不可导点划分单调区间，在每个区间上讨论()fx的正负，()0,fx函数递增，()0,fx函数递减。②判断凹凸性：第一步：找使()0fx的点和不可导点。10第二步：以这些点划分定义区间，在每个区间上讨论()fx的正负，()0fx，是凹区间，()0fx，是凸区间。（拐点：左右两边()fx的符号相反）③判断函数极值：第一步：找使()0fx的点和不可导点。第二步：判断这些点两边()fx的正负，若左正右负极大值点左负右正极小值点。2.1定积分的几何应用---求面积，体积和弧长所求图形的面积为：[()()]baSfxfxdx下上所求图形的面积为：[()()]dcSyydy右左y=f上(x)y=f下(x)OxyabOxy()xy右()xy左cydydyy11旋转体：由连续曲线yf(x)、直线xa、xb及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体。旋转体：由连续曲线()xy、直线yc、yd及y轴所围曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体2[()]dcVydyOxbayx()yfxyVba[f(x)]2dxba[f(x)]2dx。122.3定积分的物理应用变力沿直线做功；水(侧)压力；引力思路:建立坐标系，选取积分变量(如x)，在[x,x+dx]上给出微元第六空间解析几何1.向量xyzaaiajak在坐标轴上的投影分别为：,,xyzaaa；在坐标轴上的分量分别为：,,xyzaiajak。222||xyzaaaa，(cos,cos,cos)||aaea2.利用坐标作向量的线性运算(,,),xyzaaaa(,,),xyzbbbbab(,,)xxyyzzababab，a(,,)xyzaaa，13数量积(数):||||cos(,)xxyyzzabababababab向量积(向量)xyzxyzijkabaaabbbaba，abb，且ab，,ab构成右手系，||||||sin(,)ababab(几何意义:平行四边形的面积)3．向量之间的关系ab0xxyyzzabababab//00yxzxyzxyzxyzijkaaaababaaabbbbbb（）4．平面图形及其方程平面的法向量：和平面垂直的非零向量。①点法式方程：设平面过点0000(,,)Mxyz法向量(,,)nABC(其中,,ABC不全为0),则平面的方程为14000()()()0AxxByyCzz②一般方程：0AxByCzD[当D=0时,Ax+By+Cz=0表示通过原点的平面;当A=0时,By+Cz+D=0表示平行于x轴的平面;Ax+Cz+D=0表示平行于y轴的平面;Ax+By+D=0表示平行于z轴的平面Cz+D=0表示平行于xoy面的平面;Ax+D=0表示平行于yoz面的平面；By+D=0表示平行于zox面的平面]设平面∏1的法向量为1111(,,)nABC，平面∏2的法向量为2222(,,)nABC，则两平面夹角的余弦为：1212cosnnnn。平面外一点000,,Pxyz到平面0AxByCzD的距离：000222AxByCzDdABC5．空间直线及其方程①一般方程：直线可视为两平面交线，其一般式方程为：151111222200AxByCzDAxByCzD方向向量:12snn②点向式方程方向向量:(,,)smnp③参数方程(求交点),1111111pzznyymxxL：直线0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL：212121ppnnmm④.线与线的关系直线夹角公式:),,(1111pnms),,(2222pnms021ss21LL21//LL021ss2121cossssspzznyymxx000tpzztnyytmxx00016,0DzCyBxACpBnAm平面:L⊥L//夹角公式：0CpBnAmsin,pzznyymxx⑤面与线间的关系直线L:),,(CBAn),,(pnms0ns0nsnsns小结:通过向量的点积和叉积，将对平面和直线的研究转化为法向量和方向向量的研究.