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高等数学期末复习资料第1页（共9页）高等数学第一章函数与极限第一节函数○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★）○邻域（去心邻域）（★）,|Uaxxa,|0Uaxxa第二节数列的极限○数列极限的证明（★）【题型示例】已知数列nx，证明limnxxa【证明示例】N语言1．由nxa化简得gn，∴Ng2．即对0，Ng，当Nn时，始终有不等式nxa成立，∴axnxlim第三节函数的极限○0xx时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数xf，证明Axfxx0lim【证明示例】语言1．由fxA化简得00xxg，∴g2．即对0，g，当00xx时，始终有不等式fxA成立，∴Axfxx0lim○x时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数xf，证明Axfxlim【证明示例】X语言1．由fxA化简得xg，∴gX2．即对0，gX，当Xx时，始终有不等式fxA成立，∴Axfxlim第四节无穷小与无穷大○无穷小与无穷大的本质（★）函数xf无穷小0limxf函数xf无穷大xflim○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）（定理三）假设xf为有界函数，xg为无穷小，则lim0fxgx（定理四）在自变量的某个变化过程中，若xf为无穷大，则1fx为无穷小；反之，若xf为无穷小，且0fx，则xf1为无穷大【题型示例】计算：0limxxfxgx（或x）1．∵fx≤M∴函数fx在0xx的任一去心邻域,0xU内是有界的；（∵fx≤M，∴函数fx在Dx上有界；）2．0lim0xgxx即函数xg是0xx时的无穷小；（0limxgx即函数xg是x时的无穷小；）3．由定理可知0lim0xxfxgx（lim0xfxgx）第五节极限运算法则○极限的四则运算法则（★★）（定理一）加减法则（定理二）乘除法则关于多项式px、xq商式的极限运算设：nnnmmmbxbxbxqaxaxaxp110110则有0lim00baxqxpxmnmnmn000lim00xxfxgxfxgx0000000,00gxgxfxgxfx（特别地，当00lim0xxfxgx（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）【题型示例】求值233lim9xxx高等数学期末复习资料第2页（共9页）【求解示例】解：因为3x，从而可得3x，所以原式23333311limlimlim93336xxxxxxxxx其中3x为函数239xfxx的可去间断点倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：解：00233323311limlimlim9269xLxxxxxxx○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★）（定理五）若函数xf是定义域上的连续函数，那么，00limlimxxxxfxfx【题型示例】求值：93lim23xxx【求解示例】22333316limlim9966xxxxxx第六节极限存在准则及两个重要极限○夹迫准则（P53）（★★★）第一个重要极限：1sinlim0xxx∵2,0x，xxxtansin∴1sinlim0xxx0000lim11limlim1sinsinsinlimxxxxxxxxxx（特别地，000sin()lim1xxxxxx）○单调有界收敛准则（P57）（★★★）第二个重要极限：exxx11lim（一般地，limlimlimgxgxfxfx，其中0limxf）【题型示例】求值：11232limxxxx【求解示例】211121212122121122122121lim21221232122limlimlim121212122lim1lim121212lim121xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解：12lim1212121212122lim121xxxxxxxxxeeee第七节无穷小量的阶（无穷小的比较）○等价无穷小（★★）1．~sin~tan~arcsin~arctan~ln(1)~1UUUUUUUe2．UUcos1~212（乘除可替，加减不行）【题型示例】求值：xxxxxx31ln1lnlim20【求解示例】3131lim31lim31ln1lim31ln1lnlim,0,000020xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx所以原式即解：因为第八节函数的连续性○函数连续的定义（★）000limlimxxxxfxfxfx○间断点的分类（P67）（★））无穷间断点（极限为第二类间断点可去间断点（相等）跳越间断点（不等）限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）【题型示例】设函数xaexfx2，00xx应该怎样选择数a，使得xf成为在R上的连续函数？【求解示例】1．∵2010000feeefaafa2．由连续函数定义efxfxfxx0limlim00∴ea高等数学期末复习资料第3页（共9页）第九节闭区间上连续函数的性质○零点定理（★）【题型示例】证明：方程fxgxC至少有一个根介于a与b之间【证明示例】1．（建立辅助函数）函数xfxgxC在闭区间,ab上连续；2．∵0ab（端点异号）3．∴由零点定理，在开区间ba,内至少有一点，使得0，即0fgC（10）4．这等式说明方程fxgxC在开区间ba,内至少有一个根第二章导数与微分第一节导数概念○高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（★★）【题型示例】已知函数baxexfx1，00xx在0x处可导，求a，b【求解示例】1．∵0010fefa，00001120012feefbfe2．由函数可导定义0010002ffafffb∴1,2ab【题型示例】求xfy在ax处的切线与法线方程（或：过xfy图像上点,afa处的切线与法线方程）【求解示例】1．xfy，afyax|2．切线方程：yfafaxa法线方程：1yfaxafa第二节函数的和（差）、积与商的求导法则○函数和（差）、积与商的求导法则（★★★）1．线性组合（定理一）：()uvuv特别地，当1时，有()uvuv2．函数积的求导法则（定理二）：()uvuvuv3．函数商的求导法则（定理三）：2uuvuvvv第三节反函数和复合函数的求导法则○反函数的求导法则（★）【题型示例】求函数xf1的导数【求解示例】由题可得xf为直接函数，其在定于域D上单调、可导，且0xf；∴11fxfx○复合函数的求导法则（★★★）【题型示例】设2arcsin122lnxyexa，求y【求解示例】2222222arcsin122arcsin122222arcsin1222arcsin1222arcsin1222arcsin122arcsiarcsin12211121121221221xxxxxxxyexaexaxxaexaxexaxxxexxaexaeexa解：2n1222212xxxxxxa第四节高阶导数○1nnfxfx（或11nnnndydydxdx）（★）【题型示例】求函数xy1ln的n阶导数【求解示例】1111yxx，12111yxx，2311121yxx„„1(1)(1)(1)nnnynx！第五节隐函数及参数方程型函数的导数○隐函数的求导（等式两边对x求导）（★★★）【题型示例】试求：方程yexy所给定的曲线C：xyy在点1,1e的切线方程与法线方程【求解示例】由yexy两边对x求导即yyxe化简得1yyey∴eey11111高等数学期末复习资料第4页（共9页）∴切线方程：exey1111法线方程：exey111○参数方程型函数的求导【题型示例】设参数方程tytx，求22dxyd【求解示例】1.ttdxdy2.22dydydxdxt第六节变化率问题举例及相关变化率（不作要求）第七节函数的微分○基本初等函数微分公式与微分运算法则（★★★）dxxfdy第三章中值定理与导数的应用第一节中值定理○引理（费马引理）（★）○罗尔定理（★★★）【题型示例】现假设函数fx在0,上连续，在0,上可导，试证明：0,，使得cossin0ff成立【证明示例】1．（建立辅助函数）令sinxfxx显然函数x在闭区间0,上连续，在开区间0,上可导；2．又∵00sin00fsin0f即003．∴由罗尔定理知0,，使得cossin0ff成立○拉格朗日中值定理（★）【题型示例】证明不等式：当1x时，xeex【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数xfxe，则对1x，显然函数fx在闭区间1,x上连续，在开区间1,x上可导，并且xfxe；2．由拉格朗日中值定理可得，1,x使得等式11xeexe成立，又∵1ee，∴111xeexeexe，化简得xeex，即证得：当1x时，xeex【题型示例】证明不等式：当0x时，ln1xx【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数ln