2008年高考文科数学(福建卷)

2008年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2|0Axxx，|03Bxx，则AB等于（）Ａ．|01xxＢ．|03xxＣ．|13xxＤ．2．a=1”是“直线0xy和直线0xay互相垂直”的（）条件Ａ．充分而不必要条件Ｂ．必要而不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件3．设{}na是等差数列，若273,13aa，则数列{}na前8项和为（）Ａ．128Ｂ．80Ｃ．64Ｄ．564．函数3()sin1()fxxxxR，若()2fa，则()fa的值为（）Ａ．3Ｂ．0Ｃ．-1Ｄ．-25．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（）Ａ．12125Ｂ．16125Ｃ．48125Ｄ．961256．如图，在长方体1111ABCDABCD中，2ABBC分别为11AA，则1AC与平面1111ABCD所成的角的正弦值为（）Ａ．223Ｂ．23Ｃ．24Ｄ．137．函数cos()yxxR的图像向左平移2个单位后，得到函数()ygx的图像，则()gx的解析式为（）Ａ．sinxＢ．sinxＣ．cosxＤ．cosx8．在△ABC中，角A,B,C的对应边分别为a,b,c,若2223acbac，则角B的值为（）Ａ．6Ｂ．3Ｃ．6或56Ｄ．3或239．某班级要从4名男生和2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（）Ａ．14Ｂ．24Ｃ．28Ｄ．4810．若实数x,y满足{002xyxy，则yx的取值范围是（）Ａ．(0,2)Ｂ．(0,2]Ｃ．(2,)Ｄ．[2,)11．如果函数()yfx的图像如右图,那么导函数'()yfx的图像可能是（）12．双曲线22221(0,0)xyabab的两个焦点为12,FF，若P为其上一点，且12||2||PFPF，则双曲线离心率的取值范围为（）Ａ．(1,3)Ｂ．(1,3]Ｃ．(3,)Ｄ．[3,)第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．13.91()xx展开式中3x的系数是（用数字作答）14.若直线340xym与圆222440xyxy没有公共点，则实数m的取值范围是15.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是16.设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意,abP，都有,,,aabababPb（除数0b），则称P是一个数域。例如有理数集Q是数域，有下列命题：①数域必含有0，1两个数；②整数集是数域；③若有理数集QM，则数集M必为数域；④数域必为无限域。其中正确的命题的序号是（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知向量(sin,cos),(1,2),mAAn且0mn。（1）求tanA的值；（2）求函数()cos2tansin()fxxAxxR的值域。18.（本小题满分12分）三人独立破译同一份密码，已知三人各自译出密码的概率分别为111,,543，且他们是否破译出密码互不影响。（1）求恰有二人破译出密码的概率；（2）“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由。19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点。（1）求证：PO⊥平面ABCD;（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；（3）求点A到平面PCD的距离20.（本小题满分12分）已知{}na是正整数组成的数列，11a，且点*1(,)()nnaanN在函数21yx的图像上：（1）求数列{}na的通项公式；（2）若数列{}nb满足111,2nannbbb，求证：221nnnbbb21.（本小题满分12分）已知函数32()2fxxmxnx的图像过点（-1，-6），且函数()'()6gxfxx的图像关于y轴对称。（1）求m,n的值及函数()yfx的单调区间；（2）若a0，求函数()yfx在区间(1,1)aa内的极值。22.（本小题满分14分）如图，椭圆C:22221(0)xyabab的一个焦点为F（1，0）且过点（2，0）。（1）求椭圆C的方程；（2）若AB为垂直与x轴的动弦，直线l:x=4与x轴交于N，直线AF与BN交于点M.①求证：点M恒在椭圆C上；②求△AMN面积的最大值。2008年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）文科数学参考答案一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算，每小题5分，满分60分．1．A2．Ｃ3．C4．B5．C6．D7．A8．A9．A10．D11．A12．B二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分．13.8414.(,0)(10,)15.916.①④三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力。满分12分。解：（1）由题意得sin2cos0mnAA,因为cosA≠0，所以tanA=2（2）由（1）知tanA=2得213()cos22sin2(sin)22fxxxx,sin[1,1]xRx当1sin2x，()fx有最大值32；当sin1x，()fx有最小值3。所以所求函数()fx的值域为3[3,]218.解：记“第i个人破译出密码”为事件(1,2,3)iAi，依题意有123111(),(),()543PAPAPA且A1，A2，A3相互独立。（1）设“恰好二人破译出密码”为事件B,则有：B＝A1·A2·3A·A1·2A·A3+1A·A2·A3且A1·A2·3A，A1·2A·A3，1A·A2·A3彼此互斥于是P(B)=P(A1·A2·3A)+P（A1·2A·A3）+P（1A·A2·A3）＝314154314351324151＝203.（2）设“密码被破译”为事件C，“密码未被破译”为事件D，则有：D＝1A·2A·3A，且1A，2A，3A互相独立，则有P（D）＝P（1A）·P（2A）·P（3A）＝324354＝52.而P（C）＝1-P（D）＝53，故P（C）＞P（D）.所以密码被破译的概率比密码未被破译的概率大19.解：解法一：（Ⅰ）证明：在△PAD中PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD,AD=2AB=2BC，有OD∥BC且OD＝BC，所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB∥DC.由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO为锐角，所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.因为AD＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以OB＝2，在Rt△POA中，因为AP＝2，AO＝1，所以OP＝1，在Rt△PBO中，PB＝322OBOP,cos∠PBO=3632PBOB,所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为36.(Ⅲ)由（Ⅱ）得CD＝OB＝2，在Rt△POC中，PC＝222OPOC，所以PC＝CD＝DP，S△PCD=43·2=23.又S△=,121ABAD设点A到平面PCD的距离h，由VP-ACD=VA-PCD，得31S△ACD·OP＝31S△PCD·h，即31×1×1＝31×23×h，解得h＝332.解法二：（Ⅰ）同解法一，（Ⅱ）以O为坐标原点，OPODOC、、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.则A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1）.所以CD＝（-1，1，0），PB＝（t，-1，-1），cos〈PB、CD〉=362311＝＝CDPBCDPB，所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为36，（Ⅲ）设平面PCD的法向量为n＝（x0,y0,x0），由（Ⅱ）知CP=（-1，0，1），CD＝（-1，1，0），则n·CP＝0，所以-x0+z0=0,n·CD＝0，-x0+y0=0，即x0=y0=z0,取x0=1，得平面的一个法向量为n=(1,1,1).又AC=(1,1,0).从而点A到平面PCD的距离d＝.33232nnAC20.解：解法一：（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1,所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列.故an=1+(a-1)×1=n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1-bn=2n.bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+···+（b2-b1）+b1=2n-1+2n-2+···+2+1＝2121n=2n-1.因为bn·bn+2-b21n=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)=-5·2n+4·2n=-2n＜0,所以bn·bn+2＜b21n,解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）因为b2=1,bn·bn+2-b21n=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)-b21n=2n+1·bn-1-2n·bn+1-2n·2n+1＝2n（bn+1-2n+1）=2n（bn+2n-2n+1）=2n（bn-2n）=…=2n（b1-2）=-2n〈0，所以bn-bn+2b2n+121.解：（1）由函数f(x)图像过（-1，-6），得m-n=-3，……①由32()2fxxmxnx，得：2'()32fxxmxn而2()3(26)gxxmxn图像关于y轴对称，所以：26023m，即m=-3,代入①得n=0于是f′(x)＝3x2-6x=3x(x-2).由f′(x)得x2或x0,故f(x)的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）；由f′(x)0得0x2,故f(x)的单调递减区间是（0，2）.(Ⅱ)由（Ⅰ）得f′(x)＝3x(x-2),令f′(x)＝0得x=0或x=2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：X(-∞.0)0(0,2)2(2,+∞)f′(x)+0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗由此可得：当0a1时，f(x)在（a-1,a+1）内有极大值f(O)=-2,无极小值；当a=1时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值；当1a3时，f(x)在（a-1,a+1）内有极小值f(2)＝－6，无极大值；当a≥3时，f(x)在（a-1,a+1）内无极值.综上得：当0a1时，f(x)有极大值－2，无极小值，当1a3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a=1或a≥3时，f(x)无极值.22.解：（1）由题设a=2,c=1,从而：2223,bac所以椭圆C的方程为：22143xy（2）(i)由题意得F(1,0),N(4,0).设A(m,n),则B(m,-n)(n≠0),3422nm=1.……①AF与BN的方程分别为：n(x-1)-(m-1)y=0，n(x-4)-(m-4)y=0.设M(x0,y0),则有n(x0-1)-(m-1)y0=0,……②n(x0-4)+(m-4)y0=0,……③由②，③得x0=523,52850mnymm.所以点M恒在椭圆G上.(ⅱ)设AM的方程为x=ty+1,代入3422yx＝1得（3t2+4）y2+6ty-9=0.