2015中考数学全景透视+九年级一轮复习课件+第22讲+图形的相似与位似(共87张PPT)(共87张

第六章图形的相似与解直角三角形第22讲图形的相似与位似考点一成比例线段与比例的性质1．对于四条线段a，b，c，d，如果ab＝cd，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．2．表示两个比相等的式子叫做比例式，简称比例．3．比例的基本性质如果ab＝cd，那么ad＝bc，反之也成立．其中a与d叫做比例外项，b与c叫做比例内项．特殊地，ab＝bc⇔b2＝ac.4．比例的合比性质如果ab＝cd，那么a±bb＝c±dd.5．比例的等比性质如果ab＝cd＝…＝mn(b＋d＋…＋n≠0)，那么a＋c＋…＋mb＋d＋…＋n＝ab.考点二平行线分线段成比例定理1．定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等．2．几何语言叙述如图，当l3∥l4∥l5时，有ABBC＝DEEF，ABAC＝DEDF，BCAC＝EFDF等．3．平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．考点三黄金分割如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，ACBC，如果ACAB＝BCAC，则称线段AB被点C黄金分割，点C叫做AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，ACAB＝5－12≈0.618.注意：一条线段有两个黄金分割点．考点四相似多边形的定义及性质1．定义各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形的对应边的比称为相似比．2．性质(1)相似多边形对应角相等，对应边的比相等．(2)相似多边形周长的比等于相似比．(3)相似多边形面积的比等于相似比的平方．考点五位似图形的定义及性质1．如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时相似比又称为位似比．2．性质(1)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．(2)在平面直角坐标系中，如果是以原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k.3．利用位似可以将一个图形放大或缩小．温馨提示：两个位似图形的位似中心可能位于图形的内部、外部、边上或在顶点上.考点一成比例线段与比例的基本性质例1(2014·牡丹江)若x∶y＝1∶3,2y＝3z，则2x＋yz－y的值是()A．－5B．－103C.103D．5【点拨】由x∶y＝1∶3，可得x＝13y；由2y＝3z，可得z＝23y.把x＝13y，z＝23y代入2x＋yz－y，得2x＋yz－y＝2×13y＋y23y－y＝53y－13y＝－5.故选A.【答案】A方法总结：利用比例的基本性质将比例转化为用一个字母表示另一个字母的形式，然后代入约分求值.考点二黄金分割例2(2014·连云港)如图①，折线段AOB将面积为S的⊙O分成两个扇形，大扇形、小扇形的面积分别为S1，S2，若S1S＝S2S1≈0.618，则称分成的小扇形为“黄金扇形”．生活中的折扇(如图②)大致是“黄金扇形”，则“黄金扇形”的圆心角约为________°(精确到0.1)．【点拨】设黄金扇形的圆心角为n°，⊙O的半径为R，根据题意可得360－nπR2360πR2＝360－n360＝0.618，解得n≈137.5，即黄金扇形的圆心角约为137.5°.【答案】137.5考点三相似多边形的定义与性质例3(2014·凉山州)如果两个相似多边形面积的比为1∶5，则它们的相似比为()A．1∶25B．1∶5C．1∶2.5D．1∶5【点拨】相似多边形面积的比等于相似比的平方，∵面积的比为1∶5，则相似比为1∶5.故选D.【答案】D方法总结：两个多边形相似，如果已知相似比、周长比、面积比中任何一个，就能求出另外两个.考点四位似例4(2014·武汉)如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6,6)，B(8,2)．以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的12后得到线段CD，则端点C的坐标为()A．(3,3)B．(4,3)C．(3,1)D．(4,1)【点拨】∵C是A的对应点，位似比是12，C在第一象限，∴点C的坐标为6×12，6×12，即(3,3)．故选A.【答案】A方法总结：若位似变换是以原点为位似中心，位似比为k，则位似图形对应点的坐标的比为k或－k.1．美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近0.618时越给人一种美感．已知某女士身高160cm，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为(D)A．6cmB．10cmC．4cmD．8cm解析：设应穿的高跟鞋的高度为xcm，依题意，得(160＋x)×0.618＝160×0.6＋x，解得x≈8.∴应穿的高跟鞋的高度约为8cm.故选D.2．如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是()A.ADAB＝AEACB.CECF＝EAFBC.DEBC＝ADBDD.EFAB＝CFCB解析：∵DE∥BC，∴ADAB＝AEAC，故A正确；∵EF∥AB，∴CECF＝EAFB，故B正确；∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形BDEF是平行四边形，∴BD＝EF，DE＝BF，∴DEBC＝BFBC＝AEAC＝ADAB，EFAB＝BDAB＝CEAC＝CFCB.故C错误，D正确．故选C.答案：C3．已知a＋bc＝a＋cb＝b＋ca＝k，则k的值是2或－1.解析：根据题意，得a＋b＝ck，a＋c＝bk，b＋c＝ak.∴2(a＋b＋c)＝(a＋b＋c)k.当a＋b＋c≠0时，k＝2a＋b＋ca＋b＋c＝2；当a＋b＋c＝0时，a＋b＝－c，∴k＝a＋bc＝－cc＝－1.故k的值是2或－1.4.在平面直角系中，已知△ABC和△DEF的顶点分别为A(1,0)，B(3,0)，C(2,1)，D(4,3)，E(6,5)，F(4,7)．按下列要求画图：(1)画出△ABC以点O为位似中心，在y轴异侧放大2倍后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；(2)画出△A1B1C1关于x轴的对称图形△A2B2C2.并写出点C2的坐标；(3)指出△A2B2C2经过哪些变换，可以与△DEF拼成一个正方形．解：(1)如图，△A1B1C1即为所求作的三角形，C1(－4，－2)；(2)如图，△A2B2C2即为所求作的三角形，C2(－4,2)；(3)(答案不唯一)如图，将△A2B2C2绕点B2逆时针旋转90°，然后向上平移3个单位，再向右平移10个单位可以与△DEF拼成一个正方形．考点训练一、选择题(每小题4分，共48分)1．已知ba＝513，则a－ba＋b的值是(D)A.23B.32C.94D.49解析：∵ba＝513，∴可设a＝13k(k0)，则b＝5k，∴a－ba＋b＝13k－5k13k＋5k＝8k18k＝49.故选D.2．(2014·包头)如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB，若AD＝2BD，则CFBF的值为()A.12B.13C.14D.23解析：∵DE∥BC，AD＝2BD，∴ADDB＝AEEC＝2.∵EF∥AB，∴CFBF＝ECAE＝12.故选A.答案：A3．(2014·玉林)△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1∶2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是(D)A．3B．6C．9D．12解析：根据位似图形的性质，∵△ABC与△A′B′C′的位似比为1∶2，∴△ABC与△A′B′C′的面积比为1∶4，∴△A′B′C′的面积＝△ABC的面积×4＝12，故选D.4．下列四组图形中，一定相似的是()A．正方形与矩形B．正方形与菱形C．菱形与菱形D．正五边形与正五边形解析：A中，正方形的四条边都相等，而矩形的四条边不一定相等，∴不一定相似；B中，正方形的四个角都是直角，菱形的四个角不一定相等，∴不一定相似；C中，菱形的四条边都相等，即两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，∴不一定相似；D中，正五边形的五条边都相等，五个角都相等，故两个正五边形的对应边的比相等，对应角也相等，∴一定相似．故选D.答案：D5．(2014·东营)下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．其中正确命题的序号是是()A．②③B．①②C．③④D．②③④解析：相似图形不一定是位似图形，故①错；位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比，故④错，其他都正确．故选A.答案：A6．(2014·佛山)若两个相似多边形的面积的比为1∶4，则它们的周长的比为(B)A．1∶4B．1∶2C．2∶1D．4∶1解析：∵相似多边形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比，∴它们周长的比为1∶2.故选B.7．在平面直角坐标系中，已知点E(－4,2)，F(－2，－2)，以原点O为位似中心，位似比为12，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是()A．(－2,1)B．(－8,4)C．(－8,4)或(8，－4)D．(－2,1)或(2，－1)解析：当点E′与点E都在第二象限时，E′的横纵坐标分别为－4×12，2×12，即E′(－2,1)；当点E′在第四象限时，E′的横纵坐标分别为－4×－12，2×－12，即E′(2，－1)．故选D.答案：D8．(2013·青岛)如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A，B的对应点分别为A′，B′，点A，B，A′，B′均在图中格点上，若线段AB上有一点P(m，n)，则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为()A.m2，nB．(m，n)C.m，n2D.m2，n2解析：由图可知A(4,6)，A′(2,3)，B(6,2)，B′(3,1)，∴△ABO和△A′B′O以点O为位似中心，且位似比是12.∴P(m，n)的对应点P′的坐标为m2，n2.故选D.答案：D9.如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2∶1，则下列结论正确的是()A．∠E＝2∠KB．BC＝2HIC．六边形ABCDEF的周长＝六边形GHIJKL的周长D．S六边形ABCDEF＝2S六边形GHIJKL解析：∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，∴∠E＝∠K，故A错误；∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2∶1，∴BC＝2HI，六边形ABCDEF的周长＝六边形GHIJKL的周长×2，S六边形ABCDEF＝4S六边形GHIJKL，故B正确，C错误，D错误．故选B.答案：B10．已知矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD＝()A.5－12B.5＋12C.3D．2解析：∵沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，∴四边形ABEF是正方形．∵AB＝1，设AD＝x(x＞0)，则FD＝x－1，FE＝1，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴EFFD＝ADAB，即1x－1＝x1，解得x1＝1＋52，x2＝1－52(负值舍去)．检验：当x＝1＋52时，x－1≠0.∴x＝1＋52是原分式方程的解．故选B.答案：B11．如图，正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC＝32，若点A′的坐标为(1,2)，则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的位似比是()A.16B.13C.12D.23解析：∵O′是正方形ABCD的对角线AC的中点，AC＝32，∴O′32，32，A(0,3)．∵A′(1,2)，∴O′A′＝22，O′A＝322，∴k＝O′A′O′A＝22322＝13.故选B.答案：B12．如图，在等腰△ABC中，底边BC＝a，∠A＝36°，∠ABC的平分线交AC于点D，∠BCD的平分线交BD于点E.设k＝5－12，则DE＝()A．k2aB．k3aC.ak2D.ak3解析：由题意易证△CDE∽△BDC，