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第5章几何证明初步§5.1定义与命题【学习目标】1、明确什么是定义及定义的根本特性2、明确命题的定义和命题的分类3、会判断命题的真假，能正确写出命题的题设和结论【学习重点、难点】能正确写出命题的题设和结论，正确判断命题的真假。【学习过程】一、自主探究探究一：回忆角、平行线、直角三角形的概念以上描述概念的语句有什么共同点？它们是用来说明什么的？归纳总结：（1）、_____________________________叫做定义。（2）、定义常用的叙述方式：____________________________。(3)、定义一方面可以作为使用，另一方面又可以作为的方法，探究二：以下语句有什么共同点？它们是用来说明什么的？（1）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等．（2）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等．（3）如果a=b，那么a+c=b+c.归纳总结：①叫做命题；②命题的一般叙述形式：；③命题组成部分：和；二、典型示例例1、说出下列命题的条件和结论：（1）如果两条直线都垂直与第三条直线，那么这两条直线互相垂直；（2）平面内，两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；（3）全等三角形的对应边相等。三、合作交流：1、例1中哪些命题是错误的？叫做真命题；叫做假命题。2、你是如何说明该命题是错误的？与同伴交流。_____________________________叫做反例。注意：要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可。四、随堂练习1、指出下列命题的条件和结论：①如果两直线相交，那么他们只有一个交点；②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。2、判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由。①两个锐角的和等于直角；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等。五、课堂小结通过这节课你学到了什么知识？提出来交流一下，你还有什么疑问？六、达标检测1.下列命题中，属于定义的是()A.两点确定一条直线B.点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度C.两直线平行，内错角相等D.同角或等角的余角相等2.命题“两直线平行，内错角相等”中，“两直线平行”是命题的________，“内错角相等”是命题的________;命题“直角都相等”的条件是__________，结论是________.3.指出下列命题的条件和结论，说出哪些是假命题？如果是假命题，举出一个反例。①如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角。②两个锐角的和是钝角§5.2为什么要证明【学习目标】1、了解证明的意义，知道要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须一步一步、有根据地进行推理。2、经历观察、验证、归纳等过程，认识证明的必要性，培养推理意识。3、体会检验数学结论的常用方法，培养严谨的学习态度和科学的世界观。【学习重点】要认识证明的必要性，培养推理意识。【学习难点】在判断一个数学结论是否正确时，如何进行推理。【学习过程】一、知识引桥在前面的学习中，我们利用观察、实验、归纳和类比等方法发现了许多数学命题，如（1）“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。（2）四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，六边形有9条对角线，……由此我们可以归纳出n边形有(3)2nn条对角线。（3）运用类比的方法由分数的基本性质得出分式的基本性质。你能举出类似的例子吗？（小组内交流一下）二、合作探究活动一：自读课本第158页-159页(1)-（6），小组内交流、讨论,并完成以下内容：结论：由得到的结论，不一定正确。活动二:小组交流：如何确定命题的正确性？三、学以致用1、观察图（1）（2）（3），回答下列问题：（1）图（1）中的线段a和线段b一样长吗？检验一下。（2）图（2）中的直线a、b平行吗？检验一下。（3）图（3）中圆A与圆B相等吗？检验一下。2、小亮从212,313,414,……归纳出“任何一个正整数都大于它的倒数”，小亮的结论正确吗？3、通过画图，小莹发现三角形的三条中线都在三角形的内部，三角形的三条平分线也都在三角形的内部，于是推断三角形的三条高也都在三角形的内部，小莹的结论正确吗？【自我反思】通过这节课你学到了什么知识？提出来交流一下，你还有什么疑问？21α§5.3什么是几何证明【学习目标】1、了解“证明”的必要性和推理过程中要步步有据．2、了解证明的格式和步骤．3、通过证明步骤中由命题画出图形，写出已知、求证的过程，继续训练学生由几何语句正确画出几何图形的能力【学习重点】几何证明的一般步骤【学习难点】几何证明的推理过程【学习过程】一、自主探究1、什么是基本事实？2、在已学过的几何命题中，哪些可以作为基本事实？3、什么是证明？4、什么是定理？二、合作交流活动一：求证：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。已知：∠AOC和∠BOD是对顶角求证：∠AOC=∠BOD活动二：求证：同角的余角相等。已知：∠1与∠α互余，∠2与∠α互余求证：∠1=∠2活动三：交流提升ACDBO上述命题的真实性通过推理的方法得到了证实，我们把由已知条件、定义、公理或已经证实了的真命题出发，通过推理的方法得到证实的真命题称作定理。由上面定理的证明过程，可知几何证明的过程可分为以下几个步骤：（1）（2）（3）三、学以致用求证：同角的补角相等。【自我反思】通过这节课你学到了什么知识？提出来交流一下，你还有什么疑问？§5.4平行线的性质定理和判定定理【学习目标】1、体会平行线的性质及判定定理，深刻领会其含义。2、会运用平行线的性质及判定解决一些实际问题。【学习重点】正确说出一个命题的逆命题。【学习难点】互逆命题与互逆定理的区别。【学习过程】一、自主整理1、上节课时，我们学习了证明的基本步骤：2、七年级我们学过的平行线的性质和判定方法有哪些？二、合作探究活动一：证明平行线的性质定理：两直线平行，内错角相等。已知：求证：证明：活动二：证明平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行。已知：求证：证明：三、观察探究活动一：（1）两直线平行，内错角相等；（2）内错角相等，两直线平行在上面两个命题中，第一个命题的条件是第二个命题的，而第一个命题的结论是第二个命题的，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫原命题，那么另一个叫它的逆命题。练习：你能说出下列命题的逆命题吗？它们的逆命题分别是真命题还是假命题？（1）同角的补角相等，逆命题：（2）全等三角形的对应边相等，逆命题：活动二：如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题就是原来定理的逆定理。你能举出已学过的定理和逆定理吗？练习：1、有下列命题：（1）同旁内角互补，两直线平行；（2）全等三角形的周长相等；（3）直线都相等；（4）等边对等角。它们的逆命题是真命题的个数是（）A.1B.2C.3D.42、写出命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”的逆命题：四、能力提升已知EC、DF与直线AB分别交于C、D两点，∠1=∠2，求证：CE∥DF【自我反思】这节课学到了什么内容？有什么收获？同学们还有什么疑问？§5.5三角形内角和定理第一课时【学习目标】1、掌握“三角形内角和定理”及其推论的证明和其简单的应用2、通过对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用3、在观察图形、学习定理的意义，证明定理的方法中培养独立思维的能力【学习重点】掌握三角形内角和定理及其推论【学习难点】学会作辅助线来构造三角形，提高解题能力【学具准备】三角板【学习过程】一、交流与发现学生交流探索有哪些方法求三角形的内角和：1、用度量的方法可以发现三角形的内角和是______度；2、折叠三角形的三个内角拼到一起，拼成一个______角：如图：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行，然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果.3、将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起.4、由实验可知：三角形的内角之和正好为一个_____角.但观察与实验得到的结论，并不一定正确、可靠，这样就需要通过数学证明.那么怎样证明呢？二、合作探究，共同提高1、回忆证明一个命题的步骤：2、合作探究，讨论交流：如何证明三角形三个内角的和是多少度？从而得到：三角形内角和定理：。同学们：你还有其它作辅助线的方法吗？用你的方法做一下吧！三、深入探究，更进一步（探究并证明∠ACD与∠A、∠B的数量关系）活动一：三角形的外角与和它不相邻内角的等量关系结论：活动二：三角形的外角与和它不相邻内角的不等关系结论：像这样，由基本事实或定理直接推出的真命题叫做推论，推论可以作为定理使用。四、学以致用已知D是三角形ABC内的一点，求证：∠BDC∠A【自我反思】通过学习这节课你有什么收获？CADB第二课时【学习目标】(2)经历探索直角三角形性质和判定定理的推理的过程，进一步培养学生的推理能力。(3)通过探索直角三角形性质和判定定理的推理的活动，来培养学生的论证能力，从而使他们灵活应用所学知识。【学习重点】掌握直角三角形性质和判定定理【学习难点】在证明及应用中灵活使用此定理【学具准备】三角板【学习过程】一、复习回顾1、三角形内角和定理：2、直角三角形定义：二、合作探究活动一：取一副三角尺，你能说出每个三角尺中两个锐角的度数吗？同一个三角尺的两个锐角的和是多少度？活动二：任意画一个RtΔABC，∠C=90°它的两个锐角∠A、∠B之间有什么数量关系？怎样证明你的结论？结论：直角三角形的性质定理：活动三：你能说出直角三角形性质定理的逆命题吗？它是真命题还是假命题？如果是真命题，请加以证明；如果是假命题，请举出一个反例。结论：三、学以致用1、已知：在RtΔABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D.求证：∠ACD=∠BBCDE2、已知：∠1=∠2，∠3=∠4，∠E=90°12求证：AB∥CD34【自我反思】通过学习这节课你有什么收获？A§5.6几何证明举例第一课时【学习目标】1、通过学习，进一步学会三角形全等的判定方法2、利用三角形全等证明线段和角相等【学习重点、难点】学会判定三角形全等的基本方法并能灵活应用，利用全等三角形的性质证明有关的问题【学习过程】一、知识回顾1、判定三角形全等的基本事实有2、全等三角形的性质：全等三角形的二、探究新知在前面我们已经学过的全等三角形的四个判定方法中，判定方法1、2、4都已经为基本事实，你能够自己证明判定方法3吗？已知：如图，在△ABC和△A’B’C’中，AB=A’B’,∠B=∠B’,∠C=∠C’求证：△ABC≌△A’B’C’证明：由此我们可以把全等三角形的判定方法3作为全等三角形的判定定理：两角分别相等且其中一组等角的对边也相等的两个三角形全等从基本事实SAS,ASA,SSS,以及AAS出发可以判定两个三角形全等,利用全等三角形对应边和对应角的定义，可以进一步推证两个全等三角形的有关线段或角的相等。三、学以致用例题1：已知：如图AB=CB,BC=CD求证：∠B=∠D四、智慧冲浪（1）如图，点P在∠AOB的平分线上，若使△AOP≌△BOP，则需添加的一个条件是（只写一个即可，不添加辅助线）（2）已知如图∠1=∠2，CD∥EF∥AB，AE=CE，求证：AB=CD五、挑战自我作出两个全等三角形，你发现它们对应角的平分线有什么性质?对应边上的中线，对应边上的高有什么性质？证明你的结论。六、自我反思请同学们想一想，通过本节学习，你有什么收获？第二课时【学习目标】1、进一步学习掌握等腰三角形的性质和判定。2、熟悉等腰三角形的性质和判定的证明过程。3、应用等腰三角形的性质和判定解决相应问题。【学习重点、难点】几何证明的步骤。【学习过程】一、交流与发现我们利用等腰三角形的轴对称性质，通过对折的方法探索出等腰三角形的性质：“等腰三角形的两个底角相等。”你能利用基本事实以及已有的定义和定理，通过推理证明它的真实性吗？与同学交流。二、自主探究1、如图：已知：在△ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C证明过程自己完成：由此得出等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相