2015中考数学全景透视+九年级一轮复习课件+第24讲+锐角三角函数(共80张PPT)(共80张PP

第24讲锐角三角函数考点一锐角三角函数的定义如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab.温馨提示：1.锐角三角函数是在直角三角形中定义的.2.sinA，cosA，tanA表示的是一个整体，是指两条线段的比，没有单位.3.锐角三角函数的大小仅与角的大小有关，与该角所处的直角三角形的大小无关.4.当A为锐角时，0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.考点二特殊角的三角函数值特殊角α三角函数30°45°60°sinα122232cosα322212tanα3313温馨提示：1.30°，45°，60°角的正弦值的分母都是2，分子从小到大分别是1，2，3，随着角度的增大，正弦值逐渐增大；30°，45°，60°角的余弦值的分母也都是2，而分子从大到小分别是3，2，1，余弦值随角度的增大而减小.2.30°，60°角的正切值互为倒数，都和3有关，45°角的正切值是1，随着角度的增大，正切值也在逐渐增大.考点三三角函数之间的关系1．同角三角函数之间的关系sin2α＋cos2α＝1；tanα＝sinαcosα.2．互余两角的三角函数关系若∠A＋∠B＝90°，则sinA＝cosB，sinB＝cosA，tanA·tanB＝1.3．锐角三角函数的增减性当α为锐角时，0＜sinα＜1,0＜cosα＜1，且sinα，tanα的值都随α的增大而增大；cosα的值随α的增大而减小．温馨提示：这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同时还要注意它们的变形公式.考点一锐角三角函数的定义例1(2014·黄石)如图，⊙O的直径CD＝10cm，且AB⊥CD，垂足为P，AB＝8cm，则sin∠OAP＝________.【点拨】∵AB⊥CD，CD是⊙O的直径，AB＝8cm，∴AP＝12AB＝4(cm)．∵CD＝10cm，∴OA＝5(cm)．在Rt△OAP中，OP＝OA2－AP2＝52－42＝3(cm)．∴sin∠OAP＝OPOA＝35.【答案】35方法总结：根据锐角三角函数的定义，代入边的长度求出三角函数值，若没有图形，最好用数形结合的思想画出图形帮助分析求解.考点二特殊角的三角函数值例2(2014·凉山州)在△ABC中，若cosA－12＋(1－tanB)2＝0，则∠C的度数是()A．45°B．60°C．75°D．105°【点拨】∵cosA－12＋(1－tanB)2＝0，∴cosA＝12，tanB＝1，即∠A＝60°，∠B＝45°.∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－45°＝75°.故选C.【答案】C方法总结：30°，45°，60°角的正弦值、余弦值都可以表示为m2的形式，m的值分别为1，2，3；3，2，1；30°，45°，60°角的正切值都可以表示为m3的形式，m的值分别为3，9，27.考点三三角函数之间的关系例3(2014·巴中)在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝513，则tanB的值为()A.1213B.512C.1312D.125【点拨】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴sinA＝BCAB，又∵sinA＝513，∴BCAB＝513.设BC＝5k(k0)，则AB＝13k，∴AC＝AB2－BC2＝13k2－5k2＝12k，∴tanB＝ACBC＝12k5k＝125.故选D.【答案】D1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝35，则tanA等于(A)A.34B.43C.35D.45解析：在Rt△ABC中，∵sinA＝35，∴BCAB＝35.设BC＝3k(k0)，则AB＝5k，由勾股定理可得AC＝4k，∴tanA＝BCAC＝3k4k＝34.故选A.2．把△ABC三边的长度都扩大到原来的3倍，则锐角A的正弦函数值(A)A．不变B．缩小为原来的13C．扩大到原来的3倍D．不能确定3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA＝ba.则下列关系式中不成立的是()A．tanA·cotA＝1B．sinA＝tanA·cosAC．cosA＝cotA·sinAD．tan2A＋cot2A＝1解析：根据余切的概念可得，A中，tanA·cotA＝ab·ba＝1，故A成立；B中，sinA＝ac，tanA·cosA＝ab·bc＝ac，故B成立；C中，cosA＝bc，cotA·sinA＝ba·ac＝bc，故C成立；而D中，tan2A＋cot2A＝ab2＋ba2＝a2b2＋b2a2＝a4＋b4a2b2≠1，故D不成立．故选D.答案：D4．如图，在Rt△ABO中，斜边AB＝1.若OC∥BA，∠AOC＝36°，则()A．点B到AO的距离为sin54°B．点B到AO的距离为tan36°C．点A到OC的距离为sin36°·sin54°D．点A到OC的距离为cos36°·sin54°解析：∵OC∥BA，∴∠A＝∠AOC＝36°.在Rt△ABO中，AO＝AB·cosA＝cos36°，BO＝AB·sinA＝sin36°.∴点B到AO的距离为BO，即为sin36°.如图，作AE⊥OC于点E，在Rt△AOE中，AE＝AO·sin∠AOC＝cos36°·sin36°＝sin36°·sin54°.∴点A到OC的距离为sin36°·sin54°.故选C.答案：C5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，将△BCD沿BD翻折，点C落在斜边AB上，若AC＝12cm,DC＝5cm，则sinA＝.解析：设点C落在斜边AB上的点E处，连接DE.如图，根据题意，可得∠ABD＝∠CBD，∴DE＝CD＝5cm.∵AC＝12cm，∴AD＝7cm.在Rt△AED中，sinA＝DEAD＝57.答案：576．若1－2cosα＝0，则锐角α＝45°.解析：∵1－2cosα＝0，∴cosα＝22.∴α＝45°.7．已知α是锐角，且sin(α＋15°)＝32.计算：8－4cosα－(π－3.14)0＋tanα＋13－1的值．解：∵α是锐角，sin(α＋15°)＝32，∴α＋15°＝60°，α＝45°.∴原式＝8－4cos45°－(π－3.14)0＋tan45°＋13－1＝22－4×22－1＋1＋3＝3.考点训练一、选择题(每小题4分，共48分)1．(2014·广州)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA＝()A.35B.45C.34D.43解析：在Rt△ABC中，BC＝4，AB＝3，∴tanA＝BCAB＝43.故选D.答案：D2．(2014·汕尾)在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝35，则cosB的值是()A.45B.35C.34D.43解析：由三角函数的定义，可得cosB＝BCAB＝sinA＝35.故选B.答案：B3．(2014·包头)计算sin245°＋cos30°·tan60°，其结果是(A)A．2B．1C.52D.54解析：∵sin45°＝22，cos30°＝32，tan60°＝3，∴sin245°＋cos30°·tan60°＝222＋32×3＝2.故选A.4．如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是(3，m)，且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是43，则sinα的值为()A.45B.54C.35D.53解析：如图，过点P作PE⊥x轴于点E，则可得OE＝3，PE＝m，在Rt△POE中，tanα＝PEOE＝m3＝43，解得m＝4，则OP＝PE2＋OE2＝5，故sinα＝45.故选A.答案：A5．(2014·贵阳)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则sinA的值为(D)A.512B.125C.1213D.513解析：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝13.∴sinA＝BCAB＝513.故选D.6．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC于点D，若BD∶CD＝3∶2，则tanB＝()A.32B.23C.62D.63解析：∵BD∶CD＝3∶2，∴设BD＝3x，CD＝2x(x＞0)．在△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC，易证△ABD∽△CAD，∴ADBD＝CDAD，∴AD2＝BD·CD，即AD2＝3x·2x，解得AD＝6x.在Rt△ABD中，tanB＝ADBD＝6x3x＝63.故选D.答案：D7．在△ABC中，若sinA－12＋cosB－122＝0，则∠C的度数是(D)A．30°B．45°C．60°D．90°解析：由题意，得sinA－12＝0，cosB－12＝0，∴sinA＝12，cosB＝12.解得∠A＝30°，∠B＝60°.∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－30°－60°＝90°.故选D.8．(2014·安顺)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E为线段AB上一点且AE∶EB＝4∶1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于()A.33B.233C.533D．53解析：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，设BC长为x(x0)，则AB＝2x，AC＝3x.又∵AE∶EB＝4∶1，EF⊥AC于点F，∴AF∶FC＝AE∶EB＝4∶1，∴FC＝15AC＝3x5.∴tan∠CFB＝BCCF＝x3x5＝533.故选C.答案：C9．(2013·昭通)如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为()A.12B.13C.14D.24解析：过C点作CD⊥AB，垂足为D.根据旋转的性质可知，∠B′＝∠B.在Rt△BCD中，tanB＝CDBD＝13，∴tanB′＝tanB＝13.故选B.答案：B10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA＝35，则斜边上的高等于()A.6425B.165C.4825D.125解析：根据题意画出图形，如图所示，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ABC中，AB＝4，sinA＝35，∴BC＝AB·sinA＝125，根据勾股定理，得AC＝AB2－BC2＝165.∵S△ABC＝12AC·BC＝12AB·CD，∴CD＝AC·BCAB＝4825.故选C.答案：C11．如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，且tanC＝35，AC上有一点D，满足AD∶DC＝1∶2，则tan∠ABD的值是()A.56B.23C.35D.45解析：如图，过点D作DH⊥BC于点H.在Rt△ABC中，tanC＝ABCB＝35，设AB＝3x，CB＝5x(x0)．∵DH⊥BC，∴DH∥AB，∴△CDH∽△CAB，∠ABD＝∠BDH，∴DHAB＝CHCB＝CDCA.而AD∶DC＝1∶2，∴CDCA＝23，∴DH3x＝CH5x＝23，解得DH＝2x，CH＝10x3，∴BH＝5x3.在Rt△BDH中，tan∠BDH＝BHDH＝53x2x＝56，∴tan∠ABD＝56.故选A.答案：A12．(2014·扬州)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝60°，点M，N分别在AB，AD边上，若AM∶MB＝AN∶ND＝1∶2，则tan∠MCN＝()A.3313B.2511C.239D.5－2解析：如图，连接AC，MN，∵在Rt△ABC和Rt△ADC中，AC＝AC，AB＝AD，∴Rt△ABC≌Rt△ADC，∴∠BAC＝∠DAC＝30°.在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，AB＝6，∴BC＝23，BM＝4.在Rt△BMC中，根据勾股定理，得MC＝27，同理可得NC＝27.在△AMN中，∵AM＝AN，∠MAN＝60°，∴△AMN是等边三角形，∴MN＝2.在△CMN中，MC＝27，NC＝27，MN＝2，过点M作MH⊥CN于点H，并设AC与MN的交点为O，CO＝272－12＝33，由面积相等，可得MN·CO＝CN·MH，即2×33＝27MH，MH＝3217，CH＝()272－32172＝1377.∴在Rt△MHC中，tan∠MCN＝MHCH＝33