高数、微积分总复习习题讲义

二、一元函数微分学及其应用三、一元函数积分法及其应用一、研究函数连续与极限的方法（间断）定积分与不定积分导数、中值定理导数应用、函数极限连续研究对象研究桥梁研究工具一个基本概念、两个应用、三个基本运算总复习（一）一、极限xxxsinlim011、重要的极限xxx)11(lime或xxx10)1(limennnlim1或nnalim12、常用的等价无穷小~sinxx~tanxx~cos1x221x~arctanxx~arcsinxx~)1ln(xx~1xex~1xaaxln~1)1(xx)0(x3、求极限的方法及举例(1)利用定义式验证极限(2)利用极限存在准则求极限(3)利用极限或无穷小的运算法则(4)利用函数的连续性求极限(5)利用等价无穷小与重要的极限求极限的基本方法(6)求未定型的极限(洛必达法则)(7)利用导数的定义求极限(8)利用中值定理求极限(9)利用泰勒公式求极限其它方法.0),(0,)()(2为连续的奇函数使函数及函数求常数xxgxkexfxgkx,)(为连续的奇函数要使xf1k)()(xfxf又时当0x)()(xfxg)1(2xe例1：解：0)0(f必须)(xf)(2)(kex21xeex0limeee1])23([lim)2(csc0xxxxe221sinxx解：原式=xexx23lncscxxsin1lim01(ln)21xexx0limxx1)2(1xexxxxexx21lim0)00(xxxxxxcosln)21ln(4arctancoslnlim)4(200limx41224解：原式=24xx)2(x)1cos1ln(x)1cos1ln(x1cos1coslim0xxx(8)解nIlimdxxxannsin利用积分中值定理limIasin0ann(9)nIlimxdxaxn10解利用估值定理0nxax1axdxn10111an00In1nxa12limsin12tanxIxx0limcot2ttttx21令0limtan2ttt2(10)解:原式=的值，确定常数cba,,0x,0c而)(0)1ln(lim30tdttxbx,)1ln(3在定义域恒正tt0)(b知由例3：)0()1ln(sinlim30ccdtttxaxxbx使解：,0sinxax原式0limx2x,1a若1a20cos1limxxx原式21)0()1ln(sinlim30ccdtttxaxxbx使xxtdttxax030)1ln(sinlimxacosxx)1(ln3c,则上极限为的值，确定常数cba,,例3：例5:求100102limxexx提示:采用洛必达法则较麻烦,故变量代换解:原式21xu令uueu50limuueu4950limuue!50lim0例6:求xxxxxeeee2223lim解:原式231lim3xxxee21若用洛必达法则,越来越复杂采用抓大头法,14)1(21lim,21)1()1(0xxfffx存在且设.)21,1()(处的切线方程在点求曲线xfy)1(fxxfx21)1(lim0ttft21)1(lim0ttft4)1(21lim02切线方程)1(221xy例7：解：xfxfx)1()1(lim0)(tx21.函数的连续性、可导性2.函数间断点第一类间断点第二类间断点3.闭区间上连续函数的性质可去间断点跳跃间断点无穷间断点振荡间断点二.连续、可导例9：设,)cos1(2xxa)(xf0x,8,sin0xdtexbxt0x0x连续确定常数ba,解：)(xf连续，)0()0()0(fff)0(f)(lim0xfx20)cos1(limxxaxxxax2sinlim02a)0(f16a)0(f)(lim0xfxxdtexbxtx00sinlim)cos(lim0xxexb1b)0(f7b)(xf的间断点及类型求)(xf可能间断点)(xf)00(f,22)00(f00,4sin2xx0,2cos)1(xxxx例10：解：,0x,2x)1(12kkx;)(0的第一类跳跃间断点为xfx)(lim2xfx4sinlim22xx;)(2的第二类间断点为xfx不存在)(lim1xfx2cos)1(lim1xxxx2;)(1的第一类可去间断点为xfx(21)lim()xkfx(21)(1)limcos2xkxxx不存在(21)()(1);xkfxk为的第二类间断点)(xf的间断点及类型求)(xf0,4sin2xx0,2cos)1(xxxx例10：)(xf设点可导在，使试确定0)(,,xxfcba:解)0()00()00(fff由122ba,0)(21,2点连续在时当xxfba)0()0(ff由41c,0)(,41,21,2点可导在时当xxfcba例11：0,)1ln()2(1xxcebx0,)11(xxxa0,1x.)(,,))((),()(fxxffxf使证明存在上连续，且在设,)()(xxfxF构造函数)())(())((xfxffxfF)(xfx)(xF,0)(xxf若,0)(xxf若,),(0x存在)())((00xFxfF则)())((00xFxfF之间，与在00)(xxf例12：证明：xxf)(,0)(00xxf使,00)(02xF)(,0)(fF即使