不动点定理在微分方程中的应用

不动点定理在微分方程中的应用摘要：本文在简介不动点定理的重要结论的基础上,重点研究了利用Banach压缩映射原理来证明Picard定理和Schauder不动点定理来证明Peano解的存在性定理,并且利用Banach压缩映射原理和Schauder定理进一步来研究不动点定理在微分方程中应用.关键词：不动点定理;Banach压缩映射原理;Schauder不动点定理;微分方程一引言不动点定理是泛函分析理论的重要组成部分,我们可以看到多种不同形式的不动点定理,不动点定理在自然科学中有着广泛的应用.在文献[1]中利用Picard的逐次迭代法来证明微分方程初值问题解的存在和唯一性定理;在文献[2]中利用Schauder不动点定理和不等式证明了积分方程解的存在和唯一性;在文献[3]中作者用Banach不动点定理来简化了Picard定理的证明,并且利用Leray—Schauder不动点定理以此说明了不动点定理在微分方程中的应用.在文献[7]中作者用分析方法讨论两类不动点定理即Banach压缩映像原理和Schauder不动点定理分别在Picard解的存在唯一性定理和Peano解的存在性定理证明过程中的应用.二不动点定理的重点结论不动点,是一个函数术语,在数学中是指“被这个函数映射到其自身一个点”.定义1称T：（X,）（X,）是一个压缩映射,如果存在01使得（Tx,Ty）(x,y),,.xyX定理1.1压缩映射原理(C.(C.-)É.皮卡(1890);S.Banach（1922）)：设X是一个完备的度量空间,映射ƒ:Χ→Χ把每两点的距离至少压缩λ倍,即d（ƒ（x）,ƒ(y))≤λd(x,y),这里λ是一个小于1的常数,那么ƒ必有而且只有一个不动点,而且从Χ的任何点x0出发作出序列这序列一定收敛到那个不动点.这条定理是许多种方程的解的存在性、惟一性及迭代解法的理论基础.定理1.2布劳威尔不动点定理(1910):设Χ是欧氏空间中的紧凸集,那么Χ到自身的每个连续映射都至少有一个不动点.用这定理可以证明代数基本定理：复系数的代数方程一定有复数解.把布劳威尔定理中的欧氏空间换成巴拿赫空间,就是绍德尔不动点定理(1930),常用于偏微分方程理论.这些定理可以从单值映射推广到集值映射,除微分方程理论外还常用于对策论和数理经济学.定理1.3莱夫谢茨不动点定理:设Χ是紧多面体,ƒ:Χ→Χ是映射,那么ƒ的不动点代数个数等于ƒ的莱夫谢茨数L(ƒ),它是一个容易计算的同伦不变量.当L(ƒ)≠0时,与ƒ同伦的每个映射都至少有一个不动点.这个定理发展了布劳威尔定理.定理1.4（Schauder不动点定理）：设M是Banach空间X的非空紧凸集,:TMM是连续映射,则T在M中有不动点.三不动点定理的应用本节主要介绍两个原理--Banach压缩映射原理和Schauder不动点定理3.1Banach压缩映射原理的应用对于一阶微分方程的初值问题00,,.dyfxydxyxxy(1)解的存在与唯一问题,有下面的Picard定理：设二元函数,fxy在矩形00,,Dxyxxayyb上连续,且关于y满足Lipschitz条件,即存在常数0,,,,',LxyxyD有,,'',fxyfxyLyy则问题(1)在区间00,xx上有唯一解,这里,10min,,,max,.xyDbaMfxyML证明首先,问题(1)等价于积分方程00,.xxyxyfxyxdx(2)令0~0000,,max,xxCyCxxdyyyyM00,,xxTyxyfxyxdx则~C是Banach空间00,Cxx的闭子空间,故~C也是完备的,而映射~~:.TCC事实上,~yCTy，是00,xx上的连续函数,即00,,TyCxx且有000maxxxTyyTyxy00=max,xxxxfxyxdx00maxxxMxx=M，故~,TyC其次,~12,,yyC20121maxxxTyTyTyxTyx0012=maxxxxxfxyxfxyxdx，，0012maxxxxxLyxyxdx0120maxxxLdyyxx，12=.Lyy因1,L故T是~C上的压缩映射.于是,由压缩映射原理,存在唯一~C，使=T，即积分方程(2)有唯一解,yx也就是问题(1)在区间00,xx上有唯一解yx.例1(Volterra积分方程的解)设,Kts是定义在,atbast上的连续函数,则Volterra积分方程,taxtftKtsxsds(3)对任意的,fCab以及任意常数存在唯一的解0,.xCab证明作,Cab到其自身的映射T：,taTxtftKtsxsds，用M表示,Kts在,atbast上的最大值,d表示,Cab中的距离.对于任意的,,,xyCab则有,taTxtTytKtsxsysds,taKtsxsysdsmaxasbMtaxsys=,,Mtadxy下面用数学归纳法来证明/!,.nnnnnTxtTytMtandxy(4)当=1n时,不等式(4)已经证明.现设=kn时,不等式(4)成立,则当=k+1n时,有11kkTxtTyt,tnnaKtsTxsTysds11/!,tkkkaMksadsdxy111/1!,,kkkMtakdxy故不等式(4)对=k+1n也成立,于是对一切自然数n成立.由(4),maxnnnnatbdTxTyTxtTyt/!,.nnnMbandxy因为对任意常数有,lim/!0,nnnnMban这样我们始终可以选取足够大的自然数n使得,/!1.nnnMban因此,nT是压缩映射,故方程(3)在,Cab上有唯一的解.3.2Schauder不动点定理的应用主要利用JSchauder在1930年给出的一个应用广泛的不动点定理——Schauder不动点定理来证明Peano解的存在性定理,它至今仍是研究非线性微分方程解存在性的有力工具.考察常微分方程(),dxtftxtdt(5)其中f:GnR,GRnR若给定(,)G,(R,nR)则对于方程求一个函数(t)满足,,,dxtftxtdtx(6)的问题称为方程(5)的Cauchy问题,而(t)称为Cauchy问题(6)的一个解..定理3.1(Peano解的存在性定理)设函数,fxt在RnR中的闭区域G:ta,bx上连续,则Cauchy初值问题(5)至少在区间I:th上有解存在,这里,min,,max,txGbhaMftxm证明显然,(6)等价于积分方程tdssxsftx))(,()(的求解.令F：hhChhC,,表示如下：tdssxsftxF))(,())((易证F是连续映象,令Mhxx,当xhhC,()(,())maxtthFxfsxsdsmaxthMtMh又1212()()()()(,())ttFxtFxtfsxsds21Mtt21()ttMFc是相对紧的,故F是全连续映象,且F(),据一般的Schauder定理,F在有不动点,即Cauchy问题问题(6)有解.考察非线性积分方程10()cosx()(01,0)stxtesdst（）这是一个特殊的Hammerstein积分方程,现来证明它有连续解.证明定义映像1,01,0:CCf如下：))((txF10cosx()stesds（）因任取存在00当1212cos(()cos(())xxxsxs时，有故112120,10()()maxcos(())cos(())sttFxFxexsxsds1120,10maxcos(())cos(())sttexsxsds10,10maxstteds所以F是连续的.再者,当有,1,0Cxmax1,0txF）（110cos(())1stexsds.且121120()()()cos(())ststFxFxeexsds1210ststeeds1212tt12(0,1,2)xCtt由Arzela-Ascoli定理,F是全连续映象.如令1xx则显然有F().由Schauder不动点定理,F在有不动点,即积分方程存在连续解.例2设RRRbg,0:是连续,有界的,则两点边值问题22(,(),'())(0)()0dugtututdtuub)0(bt有解.证明令''0,()0Cbxxtb在，连续在'0,Cb上定义'0,max(),()tbxxtxt则'0,Cb是Banach空间.设'(,(),()),gtututM定义F：'0,Cb10,(0,)Cbstb如下'00()()(,(),())()bsFutgvuvuvdvdsfut(*)这里':0,fCbRbuf1)('00(,(),())bsgvuvuvdvds显然f是连续泛函,且221().fuMbMbb现来证明F是全连续映象,由于f是连续的,易证F是连续的,再者,任取1,uCab则0,0,00max()()max()tstbtbFutMdvdsfub22MbMb22Mb'0,0,0max'()()max(,(),())()ttbtbFutgvuvuvdvfuMbMbMb2.令2max2,2,(),MbMbFu即还有121200()()()()tsFutFutMdvdsMbtt122Mbtt''1212()()()()FutFutMtt当112min,,()2ttFCFMbM即是相对紧集，故是全连续映像。如令uu,显然有F(),故存在u,使)(uFu.由(*),显然有0)()0(buu,求两次导就得到s2'2(,(),())dugtututdt即两点边值问题有解.四结论不动点定理除了在微分方程和积分方程中的应用外,在代数方程解的存在和唯一性定理证明中也起着重要的作用.容易看出,利用不动点原理证明微分方程解的存在性问题是个非常简便,巧妙的方法.参考文献：[1]李承治.常微分方程教程[M].北京:高等教育出版社,2001.[2]查淑玲,关文吉.积分方程局部解的存在唯一性[J].渭南师范学院学报,2007,22(2):15-16.[3]余晓娟,钟太勇,李俊华.不动点定理在微分方程中的应用[J].四川理工学院学报:自然科学版,2008,21(3):22-24.[4]张恭庆,林源渠.泛函分析[M].北京:北京大学出版社,1987.[5]游兆永,龚