几何3空间几何体的表面积和体积

1.3空间几何的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积和体积在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？几何体表面积展开图平面图形面积空间问题平面问题提出问题正方体、长方体是由多个平面围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和．因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积．引入新课棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？h棱柱的展开图正棱柱的侧面展开图棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱锥的展开图/h/h正棱锥的侧面展开图棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱锥的展开图h'h'侧面展开正棱锥的侧面展开图棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？棱锥的展开图侧面展开h'h'正棱台的侧面展开图棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．h'h'例1已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积．DBCAS分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．因为BC=a，aSBSD2360sin所以：243232121aaaSDBCSABC因此，四面体S-ABC的表面积交BC于点D．解：先求的面积，过点作，ABCBCSD典型例题22343.4Saa圆柱的表面积OOr)(2222lrrrlrS圆柱表面积lr2圆柱的侧面展开图是矩形圆锥的表面积圆锥的侧面展开图是扇形)(2lrrrlrS圆锥表面积r2lOr圆台的表面积参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么．)(22rllrrrS圆台表面积r2lOrO’'r'2r圆台的侧面展开图是扇环三者之间关系lOrO’'rlOrlOOr)(2lrrS柱)(lrrS锥)(22rllrrrS台圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？r’＝r上底扩大r’＝0上底缩小例2如图，一个圆台形花盆盆口直径20cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长15cm．那么花盆的表面积约是多少平方厘米（取3.14，结果精确到1）？2cmcm15cm20cm15解：由圆台的表面积公式得花盆的表面积：2225.11522015215215S)(9992cm答：花盆的表面积约是999．2cm典型例题以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及圆柱的体积公式,它们的体积公式可以统一为：ShV（S为底面面积，h为高）．柱体体积一般棱柱体积也是：ShV其中S为底面面积，h为棱柱的高．圆锥的体积公式：ShV31（其中S为底面面积，h为高）圆锥体积等于同底等高的圆柱的体积的．31圆锥体积探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系．棱锥体积三棱锥与同底等高的三棱柱的关系ShV31（其中S为底面面积，h为高）由此可知，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是等于底面面积乘高的．31经过探究得知，棱锥也是同底等高的棱柱体积的．即棱锥的体积：31锥体体积台体体积由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的，因此可以利用两个锥体的体积差．得到圆台(棱台)的体积公式(过程略)．根据台体的特征，如何求台体的体积？ABABCDCDPSShDCBAPABCDPVVVhSSSS)(31棱台（圆台）的体积公式hSSSSV)(31其中，分别为上、下底面面积，h为圆台（棱台）的高．SS台体体积柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？hSSSSV)(31S为底面面积，h为柱体高ShV0SS分别为上、下底面面积，h为台体高ShV31SSS为底面面积，h为锥体高台体体积上底扩大上底缩小例3有一堆规格相同的铁制（铁的密度是）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个（取3.14）？3/8.7cmg解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，即:10)210(14.3106124322V)(29563mm)(956.23cm所以螺帽的个数为252)956.28.7(10008.5（个）答：这堆螺帽大约有252个．典型例题柱体、锥体、台体的表面积各面面积之和rr0r知识小结展开图)(22rllrrrS圆台圆柱)(2lrrS)(lrrS圆锥柱体、锥体、台体的体积ShV31锥体hSSSSV)(31台体柱体ShV'SS0'S知识小结1球的概念和性质2球的体积3球的表面积4例题讲解5课堂练习6课堂小结7课堂作业球球的概念和性质球的性质二do1o2Rr用一个平面（如图中平面）去截一个球，截面是圆面，球的截面有下面的性质：⑴、球心和截面圆心的连线垂直于截面（如图直线o1o2垂直于平面）；⑵、球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：22drR课堂小结了解球的体积、表面积推导的基本思路：分割→求近似和→化为标准和的方法，是一种重要的数学思想方法—极限思想，它是今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一个应用；熟练掌握球的体积、表面积公式：32434①VR②SR例题讲解例1.一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)ORx答:空心钢球的内径约为4.5cm.142]34)25(34[9.733x3351423()11.327.94x由计算器算得:24.2x24.5x解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是生活中常见的球体：思考：一球的概念是什么？二球有哪些性质？三如何求球的体积和表面积？1球的概念和性质2球的体积3球的表面积4例题讲解5课堂练习6课堂小结7课堂作业球球的概念和性质球的概念ABORC一如图所示，半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面.球面所围成的几何体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫球心,图中点O.连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径，图中线段R.连结球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径，图中线段AB.球的概念和性质球的概念一QPO球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆（如图中红色部分），被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆（如图中绿色部分）.球面上两点之间最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点的球面距离（如图中的长度就是P、Q两点之间的球面距离）.PQ球的概念和性质球的性质二do1o2Rr用一个平面（如图中平面）去截一个球，截面是圆面，球的截面有下面的性质：⑴、球心和截面圆心的连线垂直于截面（如图直线o1o2垂直于平面）；⑵、球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：22drR球的体积我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法：联想把一个半径为R的圆分成若干等分后重新拼接起来，就可以近似的看成是边长分别为R和R的矩形，所以圆的面积近似等于.2RAO球的体积类似的，我们也可以用这种方法导出球的体积公式.如图所示，把半球的垂直于底面的半径OA作n等分，过这些等分点用一组平行于底面的平面把半球切割成n层.每一层都近似于圆柱形的“小圆片”，这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积.上面求圆的面积所用的方法为：分割近似求和化成准确值球的体积AOO1O2RriB“小圆片”的厚度为，Rn22ir[(1)],1,2,...,.RRiinn3221[1()],1,2,iiRRiVrinnnn第i层“小圆片”的下底面半径12nVVVV半球3222212(1)[]Rnnnn321(1)(21)[]6Rnnnnnn]6)12)(1(11[23nnnR球的体积]6)12)(11(1[3nnRV半球.01,nn时当.343233RVRV从而半球343VRR半径是的球的体积为：定理：球的表面积我们再次运用推导球的体积公式时的方法，推导球的表面积公式.（1）、分割.如下图.把球O的表面分成n个小网格，设它们的表面积分别是△S1，△S2，…，△Sn，显然，球的表面积是S=△S1+△S2+…+△Sn.把球心O和每个小网格的顶点连接起来，整个球体就被分割成n个“小锥体”.oSi球的表面积以第i个网格为底面的“小锥体”，其底面为球面的一部分，所以是曲的，但如果每个小网格都非常小，就近似于“平”的，每个“小棱体”就近似于棱锥，它们的高近似于球半径R.o球的表面积(2)、近似求和.OiSiV由第一步得：nVVVVV321nnhShShShSV31313131332211iiihSV31球的表面积RSVii31如果网格分的越细,则:“小锥体”就越接近小棱锥.RSRSRSRSVni3131313132RSSSSSRni31)...(3132334RV又球的体积为：23441,33RRSSR从而Rhi的值就趋向于球的半径iSiVihR△Si△Vi（3）、化为准确值例题讲解例1.一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)ORx答:空心钢球的内径约为4.5cm.142]34)25(34[9.733x3351423()11.327.94x由计算器算得:24.2x24.5x解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是例题讲解例2、如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证：（1）球的表面积等于圆柱的侧面积；（2）球的表面积等于圆柱全面积的2/3.OR证明：（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，得OR例题讲解2S4R球，圆柱面2S2R2R=4R.球圆柱面SS.圆柱全222426,SRRR球24.SR球圆柱全2.3SS(2)课堂练习1、已知球O1、球O2、球O3的体积比为1：8：27，则它们的半径比为————.3、火星的半径约是地球半径的一半，地球表面积约是火星表面积的————倍.2、赤道上有A、B两点，它们的经度相差，则它们的球面距离为----------（地球半径约6370km,精确到1km）.1：2：34606667km课堂小结了解球的体积、表面积推导的基本思路：分割→求近似和→化为标准和的方法，是一种重要的数学思想方法—极限思想，它是今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一个应用；熟练掌握球的体积、表面积公式：32434①VR②SR课堂作业作业习题9.9P.763、4、5、8预习小结与复习P.78—P.84