逻辑函数的标准形式及公式化简法

DigitalLogicCircuit第3讲逻辑函数的标准形式、公式化简法内容：最大项和最小项的定义及其性质逻辑函数的标准形式及其求取方法逻辑函数的公式化简法目的与要求：理解并掌握最大项和最小项之间的关系；掌握逻辑函数的标准形式及其求取方法；理解化简的意义和标准。重点与难点：重点：最大项和最小项之间的关系；难点：运用代数化简法对逻辑函数进行化简。DigitalLogicCircuit第3讲逻辑函数的标准形式、公式化简法课堂讨论：最大项与最小项之间的关系。现代教学方法与手段：投影PowerPoint幻灯课件复习（提问）：逻辑函数的表示形式。逻辑变量的取值特点。三种基本逻辑运算。反演律与三个规则。DigitalLogicCircuit第3讲逻辑函数的标准形式、公式化简法1.二进制转换为Gray的规则前二讲内容复习1iiiBBG例：DigitalLogicCircuit第3讲逻辑函数的标准形式、公式化简法2.建立逻辑函数前二讲内容复习例：建立飞机允许滑跑信号的逻辑函数表达式，滑跑条件为：1）发动机开关接通；2）飞行员入座，保险带已扣上；3）乘客入座，保险带已扣上，或座位上无乘客。解：假设1）发动机开关接通S=12）飞行员入座A=1，保险带已扣上B=1；3）乘客入座Mi=1，保险带已扣上Ni=1。4）允许滑跑F=1)()22)(11()()222)(111(),,,,(MnNnMNMNSABMnMnNnMNMMNMSABNiMiBASfFDigitalLogicCircuit第3讲逻辑函数的标准形式、公式化简法3.反演规则前二讲内容复习例：已知，求其反函数。解：1）用反演规则2）用反演律变换)]([GEDCBAF))((GEDCBAF))(()()]([GEDCBAGEDCBAGEDCBAGEDCBAGEDCBAFDigitalLogicCircuit第3讲逻辑函数的标准形式、公式化简法（1）与或表达式：ACBAY（2）或与表达式：Y))((CABA（3）与非-与非表达式：YACBA（4）或非-或非表达式：YCABA（5）与或非表达式：YCABA一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、与非-与非表达式、或非-或非表达式、与或非表达式5种表示形式。一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽管一个逻辑函数表达式的各种表示形式不同，但逻辑功能是相同的。逻辑函数的表达式DigitalLogicCircuit第3讲逻辑函数的标准形式、公式化简法逻辑函数的标准形式一个逻辑函数具有唯一的真值表，但它的逻辑表达式不是唯一的。逻辑函数存在一个唯一的表达式形式即标准形式。一、最小项与最大项1.最小项设一逻辑函数为利用互补律A+=1对函数进行扩展变换得CAABCBAF),,(A)()(),,(BBCACCABCBAFCBABCACABABC最小项：与项中包含了全部的输入逻辑变量，每个输入逻辑变量在与项中可以以原变量的形式出现，也可以以反变量的形式出现，且只出现一次。又称为标准与项。DigitalLogicCircuit第3讲逻辑函数的标准形式、公式化简法对于有n个输入变量（自变量）的逻辑函数，变量有2n种取值组合，因此有2n个最小项。全部由最小项构成的与—或表达式称为函数的最小项表达式，又称为标准与—或表达式或标准积之和式。为简化书写，用mi来表示一个最小项。m的下标i实际上是该最小项将其原变量用1、反变量用0代入构成的二进制数转换为的十进制数。前述逻辑函数F可用最小项的代号表示为：F（A，B，C）=m1+m3+m6+m7=∑m（1，3，6，7）DigitalLogicCircuit第3讲逻辑函数的标准形式、公式化简法最小项具有下列性质：①n个变量构成的任何一个最小项mi，有且仅有一种变量取值组合使其值为1，该种变量取值组合即序号i对应的二进制数。换言之，在输入变量的任何取值组合下必有一个最小项，并且只有一个最小项的值为1。②任意两个不同最小项相与为0，即mi·mj=0（i≠j）。③n个变量的全部最小项相或为1，即。④n个变量的任何一个最小项有n个相邻最小项。所谓相邻最小项是指两个最小项中仅有一个变量不同，且该变量分别为同一变量的原变量和反变量。因此两个相邻最小项相加一定能合并成一项并消去一对以原变量和反变量形式出现的因子。如1201niimDigitalLogicCircuit第3讲逻辑函数的标准形式、公式化简法2.最大项)7,6,3,1(),,(mCBABCACABABCCBAF继续讨论前式。因为所以)5,4,2,0(),,(mCBACBACBACBACBAF54205420),,(),,(mmmmmmmmCBAFCBAFCBACBACBACBA))()()((CBACBACBACBA最大项：或项中包含了全部的输入逻辑变量，每个输入逻辑变量在或项中可以以原变量的形式出现，也可以以反变量的形式出现，且只出现一次。这种包含所有输入逻辑变量的或项称为最大项（或标准或项）。DigitalLogicCircuit第3讲逻辑函数的标准形式、公式化简法对于有n个输入变量（自变量）的逻辑函数，变量有2n种取值组合，因此有2n个最大项。全部由最大项构成的或—与表达式称为函数的最大项表达式，又称为标准或—与表达式或标准和之积式。为了简化书写，用Mi来表示一个最小项。M的下标i实际上是该最大项将其原变量用0、反变量用1代入构成的二进制数转换为的十进制数。逻辑函数F的最大项代号表示F（A，B，C）=M0M2M4M5=∏M（0，2，4，5）DigitalLogicCircuit第3讲逻辑函数的标准形式、公式化简法最大项具有如下性质：①n个变量构成的任何一个最大项Mi，有且仅有一种变量取值组合使其值为0，该种变量取值组合即序号i对应的二进制数。换言之，在输入变量的任何取值组合下必有一个最大项，并且只有一个最大项的值为0。②相同变量构成的两个不同最大项相或为1，即Mi+Mj=1（i≠j）。③n个变量的全部最大项相与为0，即。④n个变量的任何一个最大项有n个相邻最大项。1200niiMDigitalLogicCircuit第3讲逻辑函数的标准形式、公式化简法列出函数F的真值表及其最小项和最大项代号如下表。通过比较可以发现相同编号的最小项和最大项之间存在互补关系，即：所以：mi+Mi=1mi·Mi=0DigitalLogicCircuit第3讲逻辑函数的标准形式、公式化简法因此，同一函数的最小项表达式和最大项表达式之间的关系为：F（A，B，C）=∑m（1，3，6，7）=∏M（0，2，4，5）推广到一般情况，同一逻辑函数从一种标准形式变换为另一种标准形式时，只需将∑m和∏M符号互换，并在其后的括弧中填入原标准形式缺少的数字即可。如：F（A，B，C，D）=∑m（1，3，6，7，11，12，14）=∏M（0，2，4，5，8，9，10，13，15）二、逻辑函数标准形式的求取方法代数变换法和真值表法。DigitalLogicCircuit第3讲逻辑函数的标准形式、公式化简法1.代数变换法求函数的最小项表达式首先将函数变换成一般与—或表达式。从一般与—或表达式得到最小项表达式只须利用互补律（A+=1）将每个与项乘上未出现的变量的原变量与反变量和的形式，展开后即得到最小项表达式。例1求F（A，B，C）=AB+BC+AC的最小项表达式。AACBCABCBAF),,()()()(BBACAABCCCABCBAABCBCAABCCABABCABCCABCBABCA)7,6,5,3(7653mmmmmDigitalLogicCircuit第3讲逻辑函数的标准形式、公式化简法2真值表法求函数的最小项表达式将真值表中使函数值为1的变量取值组合对应的最小项相加，即可得到函数F的最小项表达式。例2写出下列真值表对应的最小项表达式。F(A,B,C)=m0+m1+m4+m5+m6=∑m（0，1，4，5，6）DigitalLogicCircuit第3讲逻辑函数的标准形式、公式化简法3代数变换法求函数的最大项表达式首先将函数变换成一般或—与表达式。从一般或—与表达式得到最大项表达式只须利用吸收律（A+B）（A+）=A将每个非最大项的或项A扩展成最大项，即可得到最大项表达式。其中B为非最大项或项中所缺少的变量。4真值表法求函数的最大项表达式作出函数F的真值表。将真值表中使函数值为0的变量取值组合对应的最大项相与，即可得到函数F的最大项表达式。BDigitalLogicCircuit第3讲逻辑函数的标准形式、公式化简法5综合举例例1.如果逻辑函数F（A，B，C，D）=∑m（1，4，9，12），G（A，B，C，D）=∏M（1，4，9，12），求F+G=？解：F和G是具有相同变量个数的两个函数，F（A，B，C，D）=∑m（1，4，9，12）意味着ABCD取值0001、0100、1001、1100时F的值为1，否则F的值为0。G（A，B，C，D）=∏M（1，4，9，12）意味着ABCD取值0001、0100、1001、1100时G的值为0，否则G的值为1。由此可见，F和G互为反函数。所以F+G=1DigitalLogicCircuit第3讲逻辑函数的标准形式、公式化简法例2.已知逻辑函数F（A，B，C）=∏M（0，2，4，7），求其对偶函数的最小项表达式和最大项表达式。解：由F（A，B，C）=∏M（0，2，4，7）可直接求出其反函数但不能导出（A，B，C）=∑m（0，2，4，7）。'F)7,4,2,0(),,(mCBAF'F)7,4,2,0(),,(MCBAF))()()((CBACBACBACBACBABCACBAABCCBAF),,('=∑m（0，3，5，7）=∏M（1，2，4，6）因为：所以：DigitalLogicCircuit第3讲逻辑函数的标准形式、公式化简法逻辑函数的公式法化简1.逻辑函数化简的意义根据逻辑问题归纳出来的逻辑函数式往往不是最简逻辑函数式。对逻辑函数进行化简和变换，可以得到最简的逻辑函数式和所需要的形式，设计出最简洁的逻辑电路。这对于节省元器件、降低成本和提高系统的可靠性、提高产品的市场竞争力都是非常重要的。2.逻辑函数式的几种常见形式和变换常见的逻辑函数式主要有下列5种形式。以为例：CBABYDigitalLogicCircuit第3讲逻辑函数的标准形式、公式化简法利用逻辑代数的基本定律，可以实现上述五种逻辑函数式之间的变换。现将Y1的与-或表达式变换为Y2的或-与表达式进行说明如下。利用摩根定律将Y1式变换为Y2式：3.逻辑函数的最简式——1）最简与-或式乘积项个数最少。每个乘积项变量最少。CABACBCABADCBCBECACABAEBAY最简与或表达式DigitalLogicCircuit第3讲逻辑函数的标准形式、公式化简法2）最简与非-与非表达式非号最少、并且每个非号下面乘积项中的变量也最少的与非-与非表达式。CABACABACABAY①在最简与或表达式的基础上两次取反②用摩根定律去掉下面的大非号3）最简或与表达式括号最少、并且每个括号内相加的变量也最少的或与表达式。CABAYACBACBACBACABACABAY))(())((CABAY①求出反函数的最简与或表达式②利用反演规则写出函数的最简或与表达式DigitalLogicCircuit第3讲逻辑函数的标准形式、公式化简法4）最简或非-或非表达式非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少的或非-或非表达式。CABACABACABACABAY))(())((①求最简或非-或非表达式②两次取反５）最简与或非表达式非号下面相加的乘积项最少、