等差数列前n项和(北师大版-优质课比赛-优秀获奖课件)

2.2等差数列的前n项和讲课人：张江平如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。无关的数或式子）是与ndaann(14．如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项：_________。2baA复习2．等差数列的通项公式：an＝______________，可变形为_________________或________________．3．等差数列的性质：若m＋n＝p＋q，则______________________(m，n，p，q∈N*)．a1＋(n－1)dan＝am＋(n－m)dan＝nd＋(a1－d)am＋an＝ap＋aq1.等差数列的定义1+2+3+···+100=?高斯，(1777—1855）德国著名数学家。提问:怎样才能快速地计算出一堆钢管有多少根？5+9=146+8=147+7=148+6=149+5=14先算出每层的根数------每层都是14根!再计算层数------共5层!所以共(14×5)/2=35根.在日常生活中，经常会遇到这样的等差数列求和问题。如何计算该等差数列的和呢？请猜想高斯是如何计算得到前100项的和，并尝试是否可以找到求解一般等差数列前n项和的方法。抽象概括设Sn是等差数列{an}的前n项和，即设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，如何求等差数列的前n项和Sn=a1+a2+a3+…+an?.321nnaaaaS解：因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…两式左右分别相加，得倒序相加S=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+anS=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a12Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1)=n(a1+an)变式：能否用a1,n,d表示Sn？an=a1+(n-1)d比较两个公式的异同两个公式共同的已知量是a1和n,不同的已知量是:公式（1）已知an,公式（2）已知d。已知三个量就可以求出Sn，我们要根据具体题目，灵活采用这两个公式。2)(1nnaanSdnnnaSn2)1(1解题思路一般是:建立方程(组)求解在等差数列{an}中，如果已知五个元素a1,an,n,d,Sn中的任意三个,请问:能否求出其余两个量?dnnnaSn2)11（dnaan)1(1结论：知三求二想一想说明：两个等差数列的求和公式及通项公式，一共涉及到5个量，通常已知其中3个，可求另外2个。个连续正整数的和时，特别地，当nda1,11.2)1(321nnnSn等差数列求和公式与梯形面积1ana1adn)1(2)(1naaSnn2)1(1dnnnaSnn补成平形四边形分割成一个平行四边形和一个三角形na1an1aan=a1+(n-1)d.2)121(125312nnnn）（解由等差数列前n项和公式，得例7求前n个正奇数的和.解由等差数列前n项和公式，得推广：求前n个正偶数的和..)1(2)22(2642nnnnn例1.根据下列条件，求相应的等差数列的。nS;10,95,5)1(1naan;50,2,100)2(1nda;14,23,32)3(1naan.32,7.0,5.14)4(1nada2)1nnaanS（.5002)955(1010SdnnnaSn2)11（2550)2(2)150501005050（S2)1nnaanS（.6352)]2/3(3/2[1414Sdnaan)1(1,2617.05.1432n.5.6042)325.14(2626Sna等差数列{an}的首项为a1，公差为d，项数为n，第n项为an，前n项和为Sn，请填写下表：a1dnansn51010-2502550-38-10-36014.526329550010022150.7604.5课堂练习例8在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈.请问：（1）第9圈共有多少块石板？（2）前9圈一共有多少块石板？解（1）设从第1圈到第9圈石板数所成数列为{an},由题意可知{an}是等差数列，其中a1=9，d=9,n=9.由等差数列的通项公式，得第9圈有石板（2）由等差数列的前n项和公式，得前9圈一共有石板答第9圈有81块石板，前9圈一共有405块石板..819)19(91)(919（块）daa).(4059289992)19(9919块daS2)(1nnaanS1.等差数列的前项和公式1：dnnnaSn2)1(12.等差数列的前项和公式2：3.(1)倒序相加法求和(2)“知三求二”方程思想：在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素.作业布置P17.练习1第3题