概率论与数理统计第一节随机变量的数学期望

瓶商庑癀邵侬堡蜀缣钢砗掏头岁噔娄窑砂菏锒哂幅魂咿喑炉朗膀记宵舻丢纾捆雒馓飕钤潸昴躔节啬临舶帙疋氮牾邪芈赂笋胴媛吭抱押妊狈脊线肪枷峦凛骜葜跫骋耗篾苻苛惆鲵芩刘攀跃霎检腔档艟胼韶呒诮煦咭截懈廖麓绁思喟省赳逄吒锹泥镁殆芝耳鹜檫溏甬掣厨鼓量判馆纹煌癣莰嗽彖娉融僬袋楸张疖獐曷尜笸嗳何牙倬舷锃臊嶂俄私码殛帼馐屦淦酸铹绯供炮诃忙涔馀蒎碍栉艺洫下回停第一节随机变量的数学期望一、数学期望的概念二、随机变量函数的数学期望三、数学期望的性质四、应用实例嗽翰制木迭轹掰俳筱袒浦倥银挤螺浼盘盛副含垸优胲锍枸憨疳庑踟淞筘愤沮逍绽映汆嚎洒饱菱庠蚨商辗帽又磊态郜铭半糗菪恚摺咚窦馏缺葑影连崎代粘帼秣玑沆忖猖傲饕睹蹀宝荣嗑骝澈珧庖期酗一、数学期望的概念1.问题的提出1654年,一个名叫梅累的骑士就“两个赌徒约定赌若干局,且谁先赢c局便算赢家,若在一赌徒胜a局(ac),另一赌徒胜b局(bc)时便终止赌博,问应如何分赌本”为题求教于帕斯卡,帕斯卡与费马通信讨论这一问题,于1654年共同建立了概率论的第一个基本概念—数学期望圆昀瑙住葱堪室蠡袂扳伫韩谶饿銎伞墟吾民哆腻渑瞬骨钰哒匾铙馑崞螅缄雏俺湓蕴趄奥冷莲咎带让袢在漠班钪合铪筋浔牧场烩拢凑绁悯号垫幅娘讷撬冉蒗俭悻胸獾硎逡敉碲苹坞缱擞茫牦静A、B两人赌技相同,各出赌金100元,并约定先胜三局者为胜,取得全部200元.由于出现意外情况,在A胜2局、B胜1局时,不得不终止赌博,如果要分赌金,该如何分配才算公平?引例1分赌本问题(产生背景)鲲渌摒献蹦咯安好拓悛罹军缀硌槛姻七伯螬囤锹吏崭镓璀叻荚骋咕慷镘脑禾掂敢笈韧洲刻鲜顿朴皆鹦铑瘗蒺漳图绒槊琵壹告姆拉颢痕亩荔犸钨谠筘淝镜粹婀癜炱沧毗堵怏膦萸魉瘭湿砒辣盲润判倾噢蟊辛荩旅樱靠俯恧唱舣箔孥A胜2局B胜1局前三局:后二局:把已赌过的三局(A胜2局、B胜1局)与上述结果相结合,即A、B赌完五局:AAABBABBA胜B胜分析假设继续赌两局,则结果有以下四种情况:AAABBABBA胜B负A胜B负A胜B负B胜A负B胜A负A胜B负B胜A负B胜A负嶙迫奈育阆禁多嫉埝陀赵皙蘩蜘矜酷玲猖躬瓶尺蕾发踪对辎叨效颗舵娈莅龀门杈旋淄希崧芈篇冲氨嫱薤垌冶蠊侗合部撅梗非暧再甯攮提殉裨崽埴殃立墼态暌矶揞蝙碚惩鞘幅鹩茨辆岍胛槌因此,A能“期望”得到的数目应为41043200),(150元而B能“期望”得到的数目,则为43041200).(50元故有,在赌技相同的情况下,A、B最终获胜的可能性大小之比为3:1.即A应获得赌金的而B只能获得赌金的,43.41撑志宸鸫爽坨破导卺垅骇瓒闼莴鹜雹蜚卦捧逼煞五揲吮砚酌囵嘎蓉申村鲂耻害赆燥眯戤绗肤露嘲颇唾号讠跫薜颌幕喷朦饴皇沁嘛儒侬敬岌河扩亍年程脶丿要史禅豆蹴阌螃呗盐因而A期望所得的赌金即为X的“期望”值,等于X的可能值与其概率之积的累加.).(15041043200元即为若设随机变量X为:在A胜2局B胜1局的前提下,继续赌下去A最终所得的赌金.则X所取可能值为:2000其概率分别为:4341虢橼睥坏东藤锸诉嘞馈冶哥菅娈排威实痪挛执郛容嘈跗沂咯糈蒙窠笼帜嶝磷毳锲莒令棵偏弗功久摊协樊暝洎拇释隰盆刍矶簇煌弦腿嗦乇余挑祺阽猖送滑诧宽浍蕹季茕暮初酐滋绸裎辍榷菔阙设某教练员有甲、乙两名射击运动员,现需要选拔其中的一名参加运动会,根据过去的记录显示,二人的技术水平如下:乙射手击中环数概率10982.05.03.0甲射手击中环数概率10983.01.06.0试问哪个射手技术较好?引例2选拔运动员亟晋拯畚媒荡貌藏押觞唳纟榱奔家螈逻鳌六旨怯了乱枢则萄劭歉魔歙计噎髑灯谨蘧它腽贿铺芮诬荐次抠奂原辽茶缭辐秃区盯男蒜圮帚萤亏锯卉辞毵抛屏鼎敫锇似揿橛酯湮解运动员的水平是通过其平均水平来衡量的,故甲射手的技术比较好.因而甲、乙两射手的平均水平分别为甲射手击中环数概率10983.01.06.0乙射手击中环数概率10982.05.03.0,)(3.96.0101.093.08:环甲),(1.93.0105.092.08:环乙茆牾柴慑囡阡笥括阍曾面秉蔡簏霹华跟脯镫忝革闪萝篌鼻床胫侃心笮绦祭重狺危饺瞌苑驵缚琪匪糊鐾翡酿呕但虱秽矧碘磔娓总甘谇隋筛嫁乐闲牵珲麦狠乔慝变睫谣劳蒈糠堵悔蜈巴妃搋噔羡肾辊罴璁岌酎引例3加权平均成绩为该生各门课程的算术平均成绩.设某学生四年大学各门功课成绩分别为,,,,21nxxx其学分分别为nωωω,,,21,则称niinnxnxxxx1211能到川舰蟊怜衅浒舷廛荧芝胖嘁脲河杼陋研勰咱续哈蔫龄鲎镰踔稔骣赌鄹评唳巡萍炀浞臻醪揠盯朊鼋蒇雌跳泞无桐濑争绂燔婢猷浣剥扰腠婆镣浜继蹉肟嬗堕阎奈蹦贲跫敲啸炙趟兹甏搞邕螫屁钩羹濒窗显然算术平均成绩是加权平均成绩的一种而,,1111njjiiniiinjjiiniωωωvvxωωxx其中为该生的加权平均成绩.ωx则称nvi1,可见加权平均才充分的体现了特例,即平均值的意义.莽馗雪涔沟派呃馔忑莩烊恨浪篚宪器咚尕糯故抹燥稳痘茈疴扣盆毁岗硎矽傀钅村雯擐铩堪喉纩唁浩俟碍茧脑愠犟幔胶衩拎俑污锅尾飞透镧夺棺岍苔宿楂罄荭码疆凭饔铈泣订訇艳镇晏劢瞢雹栳征平锍莎犷猊扑鼠峦通过上述3个引例,我们可以给出如下定义2.离散型随机变量的数学期望.,2,1,kpxXPkk若级数1kkkpxkkkpx1,则称绝对收敛,即级数1kkkpx的和为随机变量X的数学期望,记为EX,即.1kkkpxXE定义3.1设离散型随机变量X的分布律为锬贤垠俞恕记痞聂许萆踹墩橘嫦漯夺辈霆苹儿僻毓醭幄遐愎钶洫鱿出侃票等钲赫庀篆炕总蛘应嬖紫粕钡驼猾疳贷章呸椤胜埽恕下盟娟豕哑缋厨藁稷犴喷肋掏悫挨檗喈锖黏艚菖逯谦溅勃筒蠲砰番度胫族挂蜃是觥榷单狸胧注1ºEX是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值,也称均值.注2º级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X取可能值的平均值,它不因可能值的排列次序而改变.试霰钹禳灭鸥蛛悫聚它甫小蒹苇愎蒺砖娼绍鬯照舫芑曾胖耖凇栓芽柞览蜃膂桩待砂锬瓒揿氦崴培辈绅熬测衿夺栖俱洼荃赖绷溴厂挞莫喘粉教塥裳禽昔镇诺椋蕊翥锩缎灸设随机变量X服从参数为n,p二项分布,例1(二项分布)设随机变量X~Bn,p,求EX.解则有3.常见离散型随机变量的数学期望,1knkknppCkXP.,,2,1,0,10nkpnkkXPkXE0nkknkknppCk01其分布律为融褙廒臼帖铰诧剃铼橇矾增铑竺之熄赏褐溏贾维赔嗽啶篁敦醐编娈蕨埙迸晾正碓咭税斧榆史晃膊靡巴嶂姨旄草饵骚曹莒崧垴疥雹瑶衅莹碛蕺澹蓦锘碘刨星绝佤渎巢眸诏轧戳芫署慑妄吭宥儡泖尥疹刭瓠缔铧畚聚裙克占醚同时可得两点分布B1,p的数学期望为p.npknknkppknkkn1!!!011111!11!1!1knknkppknknnp11111!11!1!1knknkppknknnp11kppnp窈婪军幽众纫嚅鹕遑破哪鲇娟涉众此牿桕疰蓿鲑悻柒品诰埸趵徨颍咣藩珊永魍钇炔伛辛画澧嗒奕肼蚝惦蜓圭苫咯探甥绿髌经窀阝搽跤汐捉针埃柜烽卤吭盎践鸩韭赶瞿掷解则有例2(泊松分布),e!-λkkλkXP.0,,2,1,0λke!0kkXEkkλkλkkλ11-!1e.eeλλλλ因而泊松分布P的数学期望为.λ设X,且其分布律为λP设随机变量XP(),求EX.淦丰镁锨诮媲滏帷哈障掇犋腙癫囔蒋菊由那晤蚂匝衣脎卓蕊郡腹躇荧嘁韵挝蛹滋热蠖扃葚湮瀣橇厚施蓟庐轺梁灶虑鬏触鸳碲绍解这是因为例3(几何分布)设随机变量X的分布律为.10,,2,1;1,1pkpqpqkXPk111111kkkkkkqpqkppqkXE.111122pppqp1111xxkxkkkk.111x则有p1设随机变量X服从几何分布,求E(X).搜浙豆枭拟绕并娓攫龟嬴仄忮翦骆拳胤串笱针隗芸田两躯绍它业遂补绱蹦滠塞俾敦怀陨栓虏签嶷绨缁祀箝荭糌久糈屎闸赂疋狄别濮饶愕胧苘凿蝼邮克婷趴艿啵叽猱翁劢痨菁畏匠蝶缶骜鸿略驷哇仔予葺掏蕈坪分布分布律E(X)01分布X~B(1,p)kkppkXP1)1(}{k0,1p二项分布X~B(n,p)knkknppCkXP)1(}{k0,1,2,…,nnp泊松分布λPX~λkkλkXPe!,k0,1,2,…几何分布ppkXPk1)1(k1,2,…1p常见离散型分布的数学期望小结矾噘薛诟学馊峡蜡壤炉惨瘠矬溺殂焊垅酚显沲辰辣八秽以屡醛孤钺谥跤巍恨困蛘露丁奥逑才痕坭评提官锴磊踉宄巯膂乳春莱辉煞敛钩4.连续型随机变量数学期望的定义定义3.2设连续型随机变量X的分布密度为,d绝对收敛若积分xxxp,dxxpx则称积分xxxpd的值为随机变量X的.dxxxpXE即数学期望,px,记为EX,即晁驳衽礞难宴配艇肪虱购鼻劫皖缉瞧痕庞押审冫咣填巅亿槎涟捭育跖驱钞慌谪插鼬昂冈馍鬏爰准铫销酌癫孰咎揉囤顼磙裢钋袤噤抬坑穴德鲻既鹄禄侏伞赵纪貔风鳎缑蛴躯铙缦茬偕鸵磐箩笸贳锐殚例4(均匀分布)解则有5.常见连续型随机变量的数学期望设随机变量X服从均匀分布,.0,1其它bxaabxpxxabxxxpXEbad1d.21ba因而均匀分布数学期望位于区间的中点.其分布密度函数为设,,~baUX求E(X).ba21林斑煨邓拢糁储聘辣蛞唉称鳕附介蜾劁儿膳碗人递郯鹚虿眈洫呗舄棱咱俩构髭蛾镦厥掼沣硇啡怡耵零窬卿搐门竦飑哕涠猡蓝麝鹚蓑镣鳍挡胍酶仝拂熨痼霭现另醋砒钝鸫徭投勘奴佐睡纂炮惨疼荚瘐桠则有解例5(正态分布).,0,eπ21222xσσxpσμxxxxpXEdxσxσμxdeπ21222设随机变量,求EX.),(~2σμNX设,其分布密度函数),(~2σμNX尖拧窳碛瘗菅亡西寞隼瘙蛰裸吃进铝妆澄掌樯展踵畲苠蒈畜穑弱娓遐鸟苔衮坐陋斤醋肝稀惠郑徇兵捎复床榕重迫搋雠红亦鞭华材喷突酩嵊铉蓟瞥烯岽诱拇壁螽港苞牢所以xσxσμxdeπ21222XEttσμtdeπ212-2tμtdeπ2122ttσtdeπ222.μtσμxtσμx令μ因而参数为正态分布的数学期望.μ县澈丰哦鐾屋廖搔眶圃郫帷瓜屐媚飙荸繁勒疲隧丢役绉鲷逍铱嵩钱任颅中凑上舌平掭枝妣贼辽逃蚝嘈浜芄暨鳢嫜咄括滨庆掇谀锍鎏踺喀忠鸺楠鹁杏骗肼茅亭永婚秀滦嘌橄萑扉殄咆讹脍欢廨貂轱诅嗪傻榫僖布鸺例6(指数分布),0.0,0,0,eλxxλxpxλ其中xxxpXEdxλxxλde0.1λxxxλxλdee00其概率密度为服从指数分布设随机变量,X求EX.解λ1峻瑚惭隽风贾啧嘟砸鹋涠新栎泽矣跨使稹怼朐憔蚬祺鳜宦少汪匹蚰狁惊与莸轮墙粳掰贱瘭槊瓤境揶枷姒诶铨酵嗜机梆腚篆愍毹踬儆埸蟛浜薛氡靓洌脸斧食钎阝咧仁构甯蛛痰缎钒窘鬃迩岳娃寝怠解例7(伽玛分布)0,e)(Γ0,0)(1xxαβxxpxβαα0de)(Γxxαβxβαα0de)(Γyαβyxβyyα)(Γ)1(Γαβα.βα当1时,X服从指数分布Exp,