关于解三角形的一些基本方法

解三角形教学目标：1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。教学重点：正、余弦定理的综合运用。教学难点：运用正、余弦定理解决实际应用问题。教学过程：一、知识梳理1、三角形中各元素间的关系：如图在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。（2）三角形三边大小关系：,abcabc（3）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.RCcBbAa2sinsinsin。（R为外接圆半径）（4）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。注意运用正、余弦定理进行边角转化2、三角形的面积公式：（1）△＝21aha＝21bhb＝21chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；（2）△＝21absinC＝21bcsinA＝21acsinB；3、求解三角形条件角角边边边角边边边边角边适用定理正弦定理正弦定理或余弦定理余弦定理余弦定理二、例题讲解：例1、在ABC中，已知2,2,45abA，求角B和边长c。解：22sin12sin22bABa又(0,)30150BB或15018030BABB当时，用正弦定理或者余弦定理两种方法可求得13c说明：⑴若A为锐角时：)(ba),(babsinA)(bsinAasin锐角一解一钝一锐二解直角一解无解Aba⑵若A为直角或钝角时：)(ba锐角一解无解ba例2、在ABC中，sincosAA22，AC2，AB3，求Atan的值和ABC的面积。解法一：先解三角方程，求出角A的值。.21)45cos(,22)45cos(2cossinAAAA又0180A,4560,105.AA13tantan(4560)2313A,.46260sin45cos60cos45sin)6045sin(105sinsinASACABAABC1212232643426sin()。解法二：由sincosAA计算它的对偶关系式sincosAA的值。sincosAA22①.0cos,0sin,180021cossin221)cos(sin2AAAAAAA23cossin21)cos(sin2AAAA,sincosAA62②①+②得sinA264。①－②得cosA264。从而sin264tan23cos426AAA。以下解法略去。点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？练习：在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，且满足25cos25A，3ABAC．（I）求ABC的面积；（II）若6bc，求a的值．解：（1）因为25cos25A，234cos2cos1,sin255AAA，又由3ABAC得cos3,bcA5bc，1sin22ABCSbcA（2）对于5bc，又6bc，5,1bc或1,5bc，由余弦定理得2222cos20abcbcA，25a例3、（2009湖南卷文）在锐角ABC中，1,2,BCBA则cosACA的值等于，AC的取值范围为.解：设,2.AB由正弦定理得,12.sin2sin2coscosACBCACAC由锐角ABC得0290045，又01803903060，故233045cos22，2cos(2,3).AC例4、（2008重庆卷）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=60，c=3b.求：（Ⅰ）ac的值；（Ⅱ）cotB+cotC的值.解：（Ⅰ）由余弦定理得2222cosabcbA＝2221117()2,3329ccccc故7.3ac（Ⅱ）解法一：cotcotBC＝cossincossinsinsinBCCBBC＝sin()sin,sinsinsinsinBCABCBC由正弦定理和（Ⅰ）的结论得227sin12141439··.1sinsinsin9333·3cAaBCAbccc故143cotcot.9BC解法二：由余弦定理及（Ⅰ）的结论有22222271()93cos2723cccacbBaccc＝5.27故2253sin1cos1.2827BB同理可得22222271199cos,27127233cccabcCabcc2133sin1cos1.2827CC从而coscos51143cotcot33.sinsin399BCBCBC例5、（2009全国卷Ⅰ理）在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知222acb，且sincos3cossin,ACAC求b分析：:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)222acb左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)sincos3cossin,ACAC过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.解法一：在ABC中sincos3cossin,ACAC则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22abcbcaacabbc化简并整理得：2222()acb.又由已知222acb24bb.解得40(bb或舍）.解法二：由余弦定理得:2222cosacbbcA.又222acb,0b.所以2cos2bcA①又sincos3cossinACAC，sincoscossin4cossinACACACsin()4cossinACAC，即sin4cossinBAC由正弦定理得sinsinbBCc，故4cosbcA②由①，②解得4b.评析：从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练.例6、根据所给条件，判断△ABC的形状.（1）AcosA=BcosB(2)CcBbAacoscoscos选题意图：本题主要考查利用正、余弦定理判断三角形的形状.解：（1AcosA=BcosB)2()2(222222accbabbcacba0422422bcbaca2222222222222000))((bacbabacbabacba或或∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.解法二：利用正弦定理进行边角转化（2）由正弦定理得：CBcbCAcasinsin,sinsin代入已知等式：sinsinsinsinsincossincossincoscoscoscoscAcBcABCACBCCABC即tanA=tanB=tanC∵A、B、C∈(0,π)∴A=B=C∴△ABC为等边三角形.说明：根据已知条件，适当选取使用的定理.也是应该在解题中注意的问题.例7、如图，为了计算北江岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两个测量点，现测得ADCD，10ADkm，14ABkm，60BDA，135BCD，求两景点B与C的距离（假设,,,ABCD在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据：21.414,31.732,52.236）解：在△ABD中，设BD=x，则BDAADBDADBDBAcos2222，即60cos1021014222xx整理得：096102xx解之：161x，62x（舍去），由正弦定理，得：BCDBDCDBBCsinsin,∴2830sin135sin16BC≈11(km).答：两景点B与C的距离约为11.km.例8、在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角60，在塔底C处测得点A的俯角45，已知铁塔BC部分高32米，求山高CD。解：在△ABC中，∠ABC=30°，∠ACB=135°，∴∠CAB=180°－(∠ACB+∠ABC)=180°－(135°+30°)=15°又BC=32,由正弦定理sinBACsinABCBCAC得sinABC32sin3016sinBACsin15sin15BCAC在等腰Rt△ACD中，22168216(31)22sin15sin15CDAC（m）图1答：山的高度为16(31)米。练习：用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是α和β,已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度.分析：在Rt△EGA中求解EG，只有角α一个条件，需要再有一边长被确定，而△EAC中有较多已知条件，故可在△EAC中考虑EA边长的求解，而在△EAC中有角β，∠EAC＝180°－α两角与BD＝a一边，故可以利用正弦定理求解EA.解：在△ACE中，AC＝BD＝a，∠ACE＝β，∠AEC＝α－β，根据正弦定理，得AE＝asinβsin（α－β）在Rt△AEG中，EG＝AEsinα＝asinαsinβsin（α－β）∴EF＝EG＋b＝asinαsinβsin（α－β）＋b，答：气球的高度是asinαsinβsin（α－β）＋b.例9、(2007年山东卷)如图3，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？【解题思路】解决测量问题的过程先要正确作出图形，把实际问题中的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角.本题应先利用Svt求出边长,再进行进一步分析.解：如图3，连结11AB，由已知22102AB，122030210260AA，1221AAAB，又12218012060AAB∠，122AAB△是等边三角形，1212102ABAA，由已知，1120AB，1121056045BAB∠，在121ABB△中，由余弦定理，22212111212122cos45BBABABABAB22220(102)2201022因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）．答：乙船每小时航行302海里．【点评】解三角形时，通常会遇到两种情况：①已知量与未知量全部集中在一个三角形中，此时应直接利用正弦定理或余弦定理;②已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.练习：甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60o方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？解析：、解:两点甲船和乙船分别到达小时后设经过DCx,,xBDABADxAC1020,8则,,6170.,614800)6170(24440056024421)1020(82)1020()8(60cos222222222取得最小值时当取得最小