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排列与组合一．数学思路方法（一）化归思想化归思想指的是变更转化的解题思想方法，即将条件或结论经过适当的转化，整个命题就可以变更为我们熟知的一些常见问题。例1同室四人各写一张贺年片，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年片，则四张贺年片不同的分配方式有多少种？分析：建立数学模型转化为数学问题，用1，2，3，4这4个数字组成无重复的四位数，其中1不在个位，2不在十位，3不在百位，4不在千位的四位数共有多少个？那么这个问题就同意解决了。解法一：个位只能放2，3，4三种。在放过数字2后，十位只能放1，3，4三种，后两位已确定。类似地，当个位放数字3时，百位只能放1，2，4，其余也已确定。∴共有3×3=9（种）解法二：记四人为甲，乙，丙，丁，则甲送出的贺卡可以且只可以由乙，丙，丁三人之一收到，若乙收到，则有两种情形：①甲收到乙送的卡片，则只有一种情况发生，即丙收丁，丁收丙。②甲收到的不是乙送的，而是收到丙的卡片，则只能是丙收到乙的，丁收丙的，两种情况。这就是说，甲送出的卡片被乙收到有三种情况。而甲送的卡片有三种收卡方式（乙、丙、丁）。故共有3×3=9（种）解法三：将四个数填入四个有序号的空格，共有44A种方法。其中不合要求的有三类：①四个空填写的数字都与格号相同：441C②恰有两个与填写的格号相同：246C③恰有一个与填写的格号相同：11428CC所以所有方法种数为4112444244()9ACCCC解法四：具体填出所有可能情况，即214323412413314234213412412343124321一共9种。点评：①本题虽然属基本题，但她的背景是“乱坐问题”或“错排问题”。②本题考查的不是基本知识、排列组合公式，而是较深刻地考查考生的逻辑思维能力。应努力设法去解决问题，而不是想着如何套用公式。③若在考试中解题，解法四值得注意，采用列举法，醒目直观，简捷有效。（二）对称思想对称思想在数学中有广泛应用，挖掘数学问题中隐含的对称性，运用对称思想解题，往往得到出人意料的简捷的解法。【例2】A，B，C，D，E五人并排站成一排，若B必须站在A的右边（A，B可以相邻），那么不同排法共有多少种？解法一：（分类法）①A在左边第一位时，有444!A种排法②A在左边第二位时，有123333!AA种排法③A在左边第三位时，有132323!AA种排法④A在左边第四位时，有333!A种排法所以共有4!33!23!3!60种排法。解法二：（对称法）不考虑限制，A，B，C，D，E五人并排站成一排共55A种排法，对限制条件可考虑对称性；B在A的右边与B在A的左边机会均等，便茅塞顿开，应得排法为551602A（三）分类思想把一个复杂问题，通过正确划分，转化为若干小问题予以各个击破，这是高考中考查的最重要的数学思想方法之一。【例3】已知集合A和集合B各含12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合的个数。（1）()CAB,且C中含有2个元素；（2）CA（表示空集）分析：本题与“集合A有12个元素，集合B有8个元素，且AB，求在集合AB中取3个元素，其中至少含有A的1个元素构成的集合C的个数”等价。解∵n（A∪B）=n（A）+n（B）-n（A∩B）（其中号n（a）表示集合a中含元素的个数）。∴n（A∪B）＝12+12-4＝20满足题设条件的集合C的个数可划分三类：第一类：A中取1个元素，ICAB中取2个元素有12128CC第二类：A中取2个元素，ICAB中取1个元素有21128CC第三类：A中取3个元素，ICAB中取0个元素有30128CC∴满足题设的要求的集合C的个数为12128CC+21128CC+30128CC=1084（个）（四）逆反思想很多问题正面求解往往困难重重，但若从反面思考，就会“柳暗花明”。【例4】一个小组共有10名同学，其中4名女同学，6名男同学。要从小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法？解考虑其反面是“3名代表中没有女同学”，所以至少有1名女同学的选法有33106100CC（种）（五）整体思想把问题作为一个有机的整体，从整体上考察题中的数量关系和空间形式，对整体结构进行全面、深刻的分析和改造，以探求解题思路或优化和简化解题过程的思想方法。【例5】3本不同的数学书与2本不同的语文书，排列在书架的一层上，使同类书不分开，有多少不同的排法？解：因同类书不分开，故可视作2个整体有22A种排法，又同类书之间课任意排列故有22322324AAA种。例66人站成一排，其中甲不能站在排头，乙不能站在排尾，有多少种不同的站法？解法一：（特殊元素法）第一类：甲先从中间四个位置选一个站好，有14A种站法，，因乙不站排尾，∴乙可以从除排尾之处的4个位置选一个站好，共有14A种站法，其余四人任意排，有种，∴共有114444AAA种。第二类：甲站排尾，此时，乙不再特殊，∴共有55A种站法。由分类计数原理，共有55A+114444AAA=504种说明：此法是从特殊元素开始讨论故称特殊元素法。解法二：（特殊位置法）排头与排尾特殊，故可以从排头排尾入手。第一类：选取除甲乙外的4人站排头、排尾，有2444AA种站法。第二类：甲站排尾，，有55A种站法。第三类：乙站排头有55A种站法，（其中重合一种乙排头，甲排尾）。有分类计数原理，共有55A+55A+2444AA-44A=504种说明：此法是从特殊位置入手，故称特殊位置法。解法三：（间接法）甲站排头或乙站排尾的有552A，甲站排头且乙站排尾的有44A，∴共有6546542504AAA种解排列组合时主要应抓住是排列问题还是组合问题，其次要搞清楚需要分类，还是需要分步。切记：排组分清（有序排列，无序组合），分类分不明确。排列组合应用问题主要有三类：不带限制条件的排列或组合题；带限制条件的排列或组合题；排列组合综合题。具体说。解排列组合的问题，通常有一下途径：（1）以元素为主，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素——特殊元素法。（2）以位置为主，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置——特殊位置法。（3）先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减不合要求的排列数或组合数——间接法。二、数学方法一、特殊优先，一般在后对于问题中的特殊元素、特殊位置要优先安排。在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。例10、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？解法一：(元素优先)分两类：第一类，含0，0在个位有A42种，0在十位有A21·A31种；第二类，不含0，有A21·A32种。故共有(A42+A21A31)+A32A21=30。注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。解法二：(位置优先)分两类：第一类，0在个位有A42种；第二类，0不在个位，先从两个偶数中选一个放个位，再选一个放百位，最后考虑十位，有A21A31A31种。故共有A42+A21A31A31=30。练习1（89年全国）由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有个（用数字作答）。答案：36二、排组混合，先选后排对于排列与组合的混合问题，宜先用组合选取元素，再进行排列。例2(95年全国)4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒内，则恰有一个空盒的放法有几种？解：由题意，必有一个盒内有2个球，同一盒内的球是组合，不同的球放入不同的盒子是排列。因此，有C42A43=144种放法。练习2由数字1，2，3，4，5，6，7组成有3个奇数字，2个偶数字的五位数，数字不重复的有多少个？答案：有C43C32A55=1440（个）三、元素相邻，整体处理对于某些元素要求相邻排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素进行自排。例35个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？解：先把3个女生捆绑为一个整体再与其他5个男生全排列。同时，3个女生自身也应全排列。由乘法原理共有A66·A33种。练习3四对兄妹站一排，每对兄妹都相邻的站法有多少种？答案：A44·24=384四、元素间隔，分位插入对于某些元素要求有间隔的排列，用插入法。例45个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？解：先排无限制条件的男生，女生插在5个男生之间的4个空隙，由乘法原理共有A55A43种。注意：①必须分清“谁插入谁”的问题。要先排无限制条件的元素，再插入必须间隔的元素；②数清可插的位置数；③插入时是以组合形式插入还是以排列形式插入要把握准。练习44男4女站成一行，男女相间的站法有多少种？答案：2A44·A44例5马路上有编号为1、2、3、…、9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？解：由于问题中有6盏亮3盏暗，又两端不可暗，故可在6盏亮的5个间隙中插入3个暗的即可，有C53种。练习5从1、2、…、10这十个数中任选三个互不相邻的自然数，有几种不同的取法？答案：C83。五、元素定序，先排后除或选位不排或先定后插对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其它元素进行排列。也可先放好定序的元素，再一一插入其它元素。例65人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？解法一：先5人全排有A55种，由于全排中有甲、乙的全排种数A22，而这里只有1种是符合要求的，故要除以定序元素的全排A22种，所以有A55/A22=60种。解法二：先在5个位置中选2个位置放定序元素(甲、乙)有C52种，再排列其它3人有A33，由乘法原理得共有C52A33=60种。解法三：先固定甲、乙，再插入另三个中的第一人有3种方法，接着插入第二人有4种方法，最后插入第三人有5种方法。由乘法原理得共有3×4×5=60种。练习6要编制一张演出节目单，6个舞蹈节目已排定顺序，要插入5个歌唱节目，则共有几种插入方法？答案：A1111/A66或C116A55=C115A55或7×8×9×10×11种六、“小团体”排列，先“团体”后整体对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先按制约条件“组团”并视为一个元素再与其它元素排列。例7四名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会，演出的出场顺序要求两名女歌手之间有两名男歌手，则出场方案有几种？解：先从四名男歌手中选2人排入两女歌手之间进行“组团”有A42A22种，把这个“女男男女”小团体视为1人再与其余2男进行排列有A33种，由乘法原理，共有A42A22A33种。练习76人站成一排，其中一小孩要站在爸妈之间的站法有多少种？答案：A22·A44七、不同元素进盒，先分堆再排列对于不同的元素放入几个不同的盒内，当有的盒内有不小于2个元素时，不可分批进入，必须先分堆再排入。例85个老师分配到3个班搞活动，每班至少一个，有几种不同的分法？解：先把5位老师分3堆，有两类：3、1、1分布有C53种和1、2、2分布有C51C42C22/A22种，再排列到3个班里有A33种，故共有(C53+C51C42C22/A22)·A33。注意：不同的老师不可分批进入同一个班，须一次到位(否则有重复计数)。即“同一盒内的元素必须一次进入”。练习8有6名同学，求下列情况下的分配方法数：①分给数学组3人，物理组2人，化学组1人；②分给数学组2人，物理组2人，化学组2人；③分给数学、物理、化学这三个组，其中一组3人，一组2人，一组1人；④平均分成三组进行排球训练。答案：①C63C32C11；②C62C42C22；③C63C32C11·A33；④C62C42C22/A33。八、相同元素进盒，用档板分隔例910张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？解：这里只是票数而已，与顺序无关，故可把10张票看成10个相同的小球放入5个不同的盒内，每盒至少1球，可先把10球排成一列，再在其中9个间隔中选4个