曲线的极坐标方程

曲线的极坐标方程•5•2曲线的极坐标方程•在极坐标系中，用，=0表示曲线的方•程。•一些基本曲线的方程：•=r=0(0)=0(R)••oxox00rooxxoPP(2，P(，2/3••=2=—23•ooooxxxxc(a，0)c(a，/2)••••c(a，)c(a，-/2)••••P(，)P(，)P(，)P(，)=2acos=2acos(-)=-2acos=2acos(-3/2)=-2asin=2asin•••••••••xxxx••••P(，)P(，)P(，)P(，)ooooaaaa=asec=acsc=asec(-3/2)=-acsc=asec(-)=-asec•••••••c(0，0)raP(，)P(，)余弦定理r2=2+02-20cos(-0)正弦定理————=————sin(-)asin(-)=————asinsin(-)ooxx•P47三种圆锥曲线的统一的极坐标方程•动点M到定点(焦点)F与到定直线(准线)L的•距离的比为e，求点M的极坐标方程。•分析：以焦点F为极点，•如图建立极坐标系。F到L•的离|FK|=p，M，为轨•轨上的任一点。•把条件——=e，用极坐标表示————=e•解出=————KFHM(，)x|MF||MH|P+cosep1-ecos•上述方程统一表示椭圆、双曲线、抛物线•FLxLFxxFL当0e1时，方程表示椭圆，F是左焦点，L是左准线。当1e时，方程表示双曲线，F是右焦点，L是右准线。当e=1时，方程表示抛物线，F是焦点，L是准线，开口向右。•圆锥曲线极坐标方程的应用•例5(1)以抛物线y2=5x的焦点为极点，对称轴•向右的方向为极轴的正方向，且x轴与极轴的•长度单位相同，求抛物线的极坐标方程。•分析：设所求的抛物线的极坐标方程为•=————，基中e=1，p是焦点到准线的•距离，p=—，代入上式得所求的抛物线•=————=————ep1-ecos521-cos1•—252-2cos5•(2)以椭圆—+—=1的左焦点为极点，长轴•向右的方向为极轴的正方向，且x轴与极轴的•长度单位相同，求椭的极坐标方程。•分析：根据已知条件，可设所求的椭圆的•极坐标方程为=———，由椭圆的直角坐标•方程求得a=5，b=4，c=3，e=—，•p=-3+—=—，代入上式=————=•————x2y21625ep1-ecos353253163/5•16/31-3/5•cos165-3cos•例6通过抛物线y2=8x的焦点F，作一条倾斜•角为/4的直线，交抛物线于A、B两点，求•焦点弦|AB|的值。•分析：可用以往学过•的方法求焦点弦的长。•也可建立极坐标系解决。•点F为极点，x轴正半轴•为极轴，它的极坐标方程为•=———，1=————，2=————•|AB|=1+2=…=16oFxABy41-cos1241-cos/441-cos5/4•P525•3极坐标和直角坐标的互化•以直角坐标系xoy的•原点为极点，x轴的正方•向为极轴，点M的直角•坐标为(x，y)，它的极•坐标为(，，根据三角•函数定义，同一点M的两种坐标有下面关系•x=cos，y=sin，•2=x2+y2，tg=—(x=0)•一般，根据M所在象限，取最小的正角。oxyMyx•公式的应用•例把点M的极坐标(-5，—)化成直角坐标•直接代入公式计算•x=cos=-5cos/6=(-5/2)3•y=sin=-5sin/6=-5/2•点M的直角坐标是(-——，-—)•例把点M的直角坐标(-3，-1)化为极坐标•极径取正值=…=2•极角：tg=—，=——…6)Moxy53522oxyM3376•同一条曲线在两个不同坐标系中方程的互化•P54例3化圆的直角坐标方程x2+y2-2ax=0为•极坐标方程。•解题时，应用公式，注意整体替代。把•x2+y2=2，x=cos代入直角坐标方程得•2-2acos=0(-2acos)=0•所示的极坐标方程是=0或-2acos=0•=0是极点，=2acos•表示以(a，0)为圆心，a为•半径，且过极点的圆，所以•=0不必写出来。••ox(a，0)•例5化=-4sin+cos为直角坐标方程•解题注意整体替代。•把原极坐标方程两边同乘•2=-4sin+cos，2=x2+y2，•cos=x，sin=y，它的直角坐标方程•是x2+y2=-4y+x(x-—)2+(y+2)2=——•在直角坐标系xoy中•方程表示的是以(—，-2)为•圆心，——为半径的圆。12417•oxy12214•把极坐标方程2sin2=2tg化为直角坐标方程•解：把原方程化为sin•cos=tg•x=cos，y=sin，—=tg•它的直角坐标方程是•xy=—y(x2-1)=0y(x-1)(x+1)=0•从极坐标方程直接看不出方程表示的曲线•是什么，化为直角坐标方程后知道它表示的•是三条直线：y=0或x=1或x=-1xyyx•P54例4化圆锥曲线的极坐标方程=———•为直角坐标方程。•解：把原极坐标方程化为-ecos=ep•=ecos+p)，=x2+y2，x=cos•x2+y2=e(x+p)，两边平方得•x2+y2=e2(x2+2px+p2)，整理，所求的直角坐•标方程是(1-e2)x2+y2-2pe2x-e2p2=0••ep1-ecos