2018年高考理科数学全国I卷试题及答案

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设1i2i1iz，则||zA．0B．12C．1D．22．已知集合2{|20}Axxx，则ARðA．{|12}xxB．{|12}xx≤≤C．{|1}{|2}xxxxUD．{|1}{|2}xxxx≤≥3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．记nS为等差数列{}na的前n项和.若3243SSS，12a=，则5a=A．12B．10C．10D．125．设函数32()(1)fxxaxax.若()fx为奇函数，则曲线()yfx在点(0,0)处的切线方程为A．2yxB．yxC．2yxD．yx6．在ABC△中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EBuurA．3144ABACuuuruuurB．1344ABACuuuruuurC．3144ABACuuuruuurD．1344ABACuuuruuur7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为A．217B．25C．3D．28．设抛物线24Cyx=：的焦点为F，过点(2,0)-且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则FMFN?uuuruuurA．5B．6C．7D．89．已知函数e,0,()ln,0,xxfxxx≤()()gxfxxa.若()gx存在2个零点，则a的取值范围是A．[1,0)B．[0,)C．[1,)D．[1,)10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．ABC△的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p，2p，3p，则A．12ppB．13ppC．23ppD．123ppp11．已知双曲线2213xCy：-=，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若OMN△为直角三角形，则||MN=A．32B．3C．23D．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为A．334B．233C．324D．32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若x，y满足约束条件220,10,0,xyxyy≤≥≤则32zxy的最大值为.14．记nS为数列{}na的前n项和.若21nnSa，则6S.15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种.（用数字填写答案）16．已知函数()2sinsin2fxxx，则()fx的最小值是.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）在平面四边形ABCD中，90ADC，45A，2AB，5BD.（1）求cosADB；（2）若22DC，求BC.18．（12分）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC△折起，使点C到达点P的位置，且PFBF.（1）证明：平面PEF平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.19．（12分）设椭圆2212xCy：的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0).（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：OMAOMB.20．（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为(01)pp，且各件产品是否为不合格品相互独立.（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()fp，求()fp的最大值点0p.（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.（ⅰ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？21．（12分）已知函数1()lnfxxaxx.（1）讨论()fx的单调性；（2）若()fx存在两个极值点1x，2x，证明：1212()()2fxfxaxx.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线1C的方程为||2ykx.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为22cos30.（1）求2C的直角坐标方程；（2）若1C与2C有且仅有三个公共点，求1C的方程.23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）已知()|1||1|fxxax.（1）当1a时，求不等式()1fx的解集；（2）若(0,1)x时不等式()fxx成立，求a的取值范围.绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题1．C2．B3．A4．B5．D6．A7．B8．D9．C10．A11．B12．A二、填空题13．614．6315．1616．332三、解答题17．解：（1）在ABD△中，由正弦定理得sinsinBDABAADB.由题设知，52,sin45sinADB所以2sin5ADB.由题设知，90ADB，所以223cos1255ADB.（2）由题设及（1）知，2cossin5BDCADB.在BCD△中，由余弦定理得2222cos22582522525.BCBDDCBDDCBDC所以5BC.18．解：（1）由已知可得，BFPF，BFEF，所以BF平面PEF.又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.（2）作PHEF，垂足为H.由（1）得，PH平面ABFD.以H为坐标原点，HFuuur的方向为y轴正方向，||BFuuur为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.由（1）可得，DEPE.又2DP，1DE，所以3PE.又1PF，2EF，故PEPF.可得32PH，32EH.则(0,0,0)H，3(0,0,)2P,3(1,,0)2D，33(1,,)22DPuuur，3(0,0,)2HPuuur为平面ABFD的法向量.设DP与平面ABFD所成角为，则334sin||43||||HPDPHPDPuuuruuuruuuruuur.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为34.19．解：（1）由已知得(1,0)F，l的方程为1x.由已知可得，点A的坐标为2(1,)2或2(1,)2.所以AM的方程为222yx或222yx.（2）当l与x轴重合时，0OMAOMB.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以OMAOMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为(1)(0)ykxk，11(,)Axy，22(,)Bxy，则12x，22x，直线MA，MB的斜率之和为121222MAMByykkxx.由11ykxk，22ykxk得12121223()4(2)(2)MAMBkxxkxxkkkxx.将(1)ykx代入2212xy得2222(21)4220kxkxk.所以，22121222422,2121kkxxxxkk.则3331212244128423()4021kkkkkkxxkxxkk.从而0MAMBkk，故MA，MB的倾斜角互补.所以OMAOMB.综上，OMAOMB.20．解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为221820()C(1)fppp.因此2182172172020()C[2(1)18(1)]2C(1)(110)fpppppppp.令()0fp，得0.1p.当(0,0.1)p时，()0fp；当(0.1,1)p时，()0fp.所以()fp的最大值点为00.1p.（2）由（1）知，0.1p.（ⅰ）令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知(180,0.1)YB，20225XY，即4025XY.所以(4025)4025490EXEYEY.（ⅱ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于400EX，故应该对余下的产品作检验.21．解：（1）()fx的定义域为(0,)，22211()1axaxfxxxx.（ⅰ）若2a≤，则()0fx≤，当且仅当2a，1x时()0fx，所以()fx在(0,)单调递减.（ⅱ）若2a，令()0fx得，242aax或242aax.当2244(0,)(,)22aaaaxU时，()0fx；当2244(,)22aaaax时，()0fx.所以()fx在24(0,)2aa，24(,)2aa单调递减，在2244(,)22aaaa单调递增.（2）由（1）知，()fx存在两个极值点当且仅当2a.由于()fx的两个极值点1x，2x满足210xax，所以121xx，不妨设12xx，则21x.由于12121221212121222()()lnlnlnln2ln11221fxfxxxxxxaaaxxxxxxxxxx，所以1212()()2fxfxaxx等价于22212ln0xxx.设函数1()2lngxxxx，由（1）知，()gx在(0,)单调递减，又(1)0g，从而当(1,)x时，()0gx.所以22212lnxxx0，即1212()()2fxfxaxx.22．解：（1）由cosx，siny得2C的直角坐标方程为22(1)4xy.（2）由（1）知2C是圆心为(1,0)A，半径为2的圆.由题设知，1C是过点(0,2)B且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为1l，y轴左边的射线为2l.由于B在圆2C的外面，故1C与2C有且仅有三个公共点等价于1l与2C只有一个公共点且2l与2C有两个公共点，或2l与2C只有一个公共点且1l与2C有两个公共点.当1l与2C只有一个公共点时，A到1l所在直线的距离为2，所以2