定积分的计算方法上

一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法FormulaforIntegrationbySubstitution微积分电子教案abxyo)(xfy引例：dxxa22求解：dtadxaxcostsint,则令tdtataadxxacossin22222tdta22cosdtta22cos12Ctta)2sin21(22Cttta)cossin(22Caxaaxaxa)(arcsin2222Cxaxaxa2arcsin2222引例dxxaa022tdtadxtaxcos,sin则令2,0,,0tax时且当20222cossintdtataa2022costdta20222cos1dtta202)2sin21(2tta42a42a课前练习一、定积分的换元法1.1、换元公式1.1、换元公式定理6.3设f(x)在[a,b]上连续,函数x=j(t)满足:⑴j(t)在[a,b]上连续、单调,且j(a)=a,j(b)=b;⑵j′(t)在[a,b]上连续.则有证设)(xF是)(xf的一个原函数，),()()(aFbFdxxfba)()]([})]([{ttftFjjj而babajjj|)]([)()]([tFdtttf于是)]([)]([ajbjFF),()(aFbF故有注意当ba时，换元公式仍成立..,从右到左为第一换元法换元法公式中从左到右为第二bajjdtttfdxxfba)()]([)(bajjdtttfdxxfba)()]([)(课前练习一、定积分的换元法1.1、换元公式1.2、换元法两个要点⑴换元必须换限1.2、换元法两个要点（与不定积分换元法区别）⑵换元无须还原用把变量换成新变量时，积分限也相应的改变.)(txjtx求出的一个原函数后，不必象计算不定积分那样再要把变换成原变量的函数，而只要把新变量的上、下限分别代入，然后相减就行了。)()]([ttfjj)(t)(ttx)(t202241adxxaa引例xyoaa22xay定积分几何意义：表示圆心在原点半径为a的圆面积的四分之一22221adxxaaa例4414202dxx例1计算.12ln0dxex解：,1tex令0x且,0t2lnx,1t2ln01dxex10212dttttdtttdx122)1ln(2tx则10221112dttt102)111(2dtt10)arctan(2tt)41(2例2.)1(00)(2012dxxfxexxxfx求，设解：,1tx令时，且当2,0x1,1t20)1(dxxf于是11)(dttfdtdxtx1则dxedxxx10101201103113xexee2311001)()(dxxfdxxfWay1.见前Way2.换元法课前练习一、定积分的换元法1.3、换元法的应用1.1、换元公式1.2、换元法两个要点1.3、换元法的应用1.证明定积分恒等式dtttftxdxxfba)()]([)()(jjjba利用定积分换元法，证明定积分恒等式。——作合适的代换。例3证明解.cossin2020xdxxdxnn,2tx令0x且,2t2x,0tdtdx则0220))(2(sinsindttxdxnn02)2(sindttn20costdtn20cosxdxn得证。1.证明定积分恒等式。；若等式左右被积函数均为不同名三角函数，若等式左右积分区间是对称的，且被积函数是Att:在三角代换中，多用tt或2代换。若等式左右被积函数均为同名三角函数，则多用t则多用t2奇、偶函数，一般利用负代换tx。证,)()()(00aaaadxxfdxxfdxxf例4当f(x)在[-a,a]上连续，且有①f(x)为偶函数时有:aaadxxfdxxf0)(2)(；aadxxf0)(.②f(x)为奇函数时有:0)(adxxf0)(adttf,)(0adttf①)(xf为偶函数，则),()(xfxfaaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20adxxf熟记结论简化计算aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(证例4当f(x)在[-a,a]上连续，且有①f(x)为偶函数时有:aaadxxfdxxf0)(2)(；aadxxf0)(.②f(x)为奇函数时有:②)(xf为奇函数，则),()(xfxfaaaadxxfdxxfdxxf00)()()(.0aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(注：一般称为“对称区间上奇偶函数积分的性质”。上述结论的几何解释：yxa–a0y=f(x)+–偶函数图形关于y轴对称，在[–a,a]上关于y轴两边的图形面积相等.奇函数图形关于原点对称，在[–a,a]上关于x轴上下两边的图形面积相等.yxa–a0y=f(x)奇函数例5计算解.11cos21122dxxxxx原式1122112dxxx11211cosdxxxx偶函数1022114dxxx10222)1(1)11(4dxxxx102)11(4dxx102144dxx.4单位圆的面积例6解：dxxdxx22322232sin)(sin？22232)(sindxx203023)sin()sin(dxxdxxWay1.Way2.22232)(sindxx20232)(sin2dxx203)(sin2dxx)(cos)1(cos2202xdx0)coscos31(223xx34“对称区间上奇偶函数积分的性质”：1.碰到被积函数是奇函数的定积分就不必计算。2.避免一些可能的错误1.3、换元法的应用1.证明定积分恒等式dtttftxdxxfba)()]([)()(jjjba利用定积分换元法，证明定积分恒等式。——作合适的代换。2.用于积分上限函数求导例7解)(,)()(10xdttxfxjj求设duxdtuxtutx1,1,则令xduufxdttxf010)(1)(于是xduufx0)(1,0,0ut时当xut,1时当))(1()(0xduufxxj故2.用于积分上限函数求导)(1)(102xfxduufxx