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随机系统的模拟一、随机行走参考书：《计算物理》（第2版）N.J.Giordano,H.Nakanishi,清华大学出版社，影印版主要内容•模拟随机行走•扩散的模拟•扩散中熵的计算•前面我们看到的运动都是确定性的。•比如抛体运动，初始时刻速度的大小和方向给定，那么以后的运动是完全确定的、可以预言。•相似地，在求解电势问题中给定电荷分布和边界条件，电势的解是唯一的、确定的。•前两节讲到的随机数的应用，是把积分转化成求平均，不涉及物理规律。•本节我们考虑一类系统，随机性在其中具有关键性作用。•我们可以把这类系统叫作随机系统。•随机性可以从多个途径产生，例如：–无法观察大量粒子的位置和速度，得到系统运动的完整信息。–系统与一个热源接触，热源可以用概率或者统计力学很好的描述，但是难以作力学描述。•即使系统本质的规律是确定性的，不完整的知识迫使我们求助于统计的、随机的描述。•一个典型的随机问题是扩散。这是一个常见的、重要的过程。•这里我们考虑比较简单的例子。•例如，一滴墨水滴到清水中，逐渐混合均匀。•或者咖啡杯里的一滴奶油。–开始你有一杯黑咖啡，–在杯子中心轻轻的放一滴奶油，–白色的奶油会慢慢传播，充满整个杯子，最终变成均匀的褐色。•从微观尺度上来看，这个过程应当这样描述：–这滴奶油由大量的“奶油粒子”组成。–如果我们有办法看到并追踪每一个粒子穿过咖啡的运动，我们应当看到它经历了一个复杂的轨道。–粗略地说，它在短时间上按照牛顿第一定律沿着一条直线运动，直到和其它粒子发生碰撞。–每次碰撞应当引起这个奶油粒子速度的急剧变化，然后它应当按照这个新速度运动，直到下一次碰撞。•现在我们的目标是建立关于奶油与咖啡混合方式的一种有用的理论上的描述。•原则上说，我们可以通过写出所有粒子的运动方程来做这件事，甚至写下组成奶油和咖啡的所有分子的运动方程。•这样做将给出大量的描述粒子或分子运动的微分方程（牛顿运动方程或者哈密顿方程等）。•原则上，可以解出它们。这些方程的解应当可以告诉我们任何需要知道的事情。•然而这样做有两个缺点。•第一、虽然原则上可解，但是实际上不可能完成这个解。方程太多，计算量太大了。•第二、即使我们有足够强大的计算机，这个计算的结果将是所有粒子的坐标和速度，它们是时间的函数。虽然细节都在其中，但是它并不能给我们关于这个过程的真正的理解。–理解是指，我们可以把这里学到的东西应用到其它相似的情况。–例如，我们的计算表明这杯咖啡的混合用时20秒，那么我们可以预言在两倍大的杯子里需要多久实现混合吗？•一个彻底的计算给出的信息太多了，我们不关心每个粒子的轨道细节•我们真正想要的是粒子行为的统计描述，是粒子群体到达了什么位置。或者我们想要的说是一个理论，而不是大量细节。•要回答这种问题，知道轨道的平均性质已经足够了。•因为我们寻找粒子行为的平均性质，我们将用随机模型代替确定过程。一个粒子的轨道可以用随机行走来模拟：–每次粒子按照给定的规则走一步。–这一步对应两次碰撞之间的匀速直线运动。–碰撞改变速度的方向，在模型中对应为，每一步的方向是随机的。–这个问题中巨大的粒子数目导致这个模型是可行的。–后面将讨论一下近似的程度。随机行走•随机行走有几种不同类型的模拟。•最简单的情况是，粒子可以在一条线上行走，以单位长度为步长。•从x=0开始，随机地选择向左或向右，概率各1/2。•在物理过程中，例如溶液中分子的运动，两步之间的时间近似为常数。所以步数粗略地正比于时间。•我们将把随机行走过程中粒子的位置看作时间的函数。别•关于随机行走粒子统计性质的最基本结果是，粒子在行走n步以后的平均位移。•因为粒子向左和向右的概率相同，这个平均值一定为0。•把它记为。尖括号表示对不同粒子做平均，在模拟中是用一组独立的粒子（walker）做计算。•在前面的程序中使用m=500个粒子，逐个进行随机行走。nx020406080100-0.10.00.10.20.30.40.50.65005000xstep•更有趣和有用的量是，即移动n步以后位移平方的平均值。•在程序中它是x2ave2nx•这个量与时间的关系可以很好得用直线描述•这里的时间t就是步数，•因子D叫做扩散常数。Dtxn22•与自由粒子比较：•自由粒子以恒定速度运动，不与其它粒子的碰撞。•它的位移x=vt，线性地随着时间增长。•随机行走粒子与原点的方均根距离满足•它们逃离原点的过程比自由粒子慢很多。2/12~tx•由公式描述的这类运动叫做扩散。•回到咖啡的问题。–这个结果告诉我们许多信息，可以预测杯子尺寸改变时混合发生得多快。–混合大致完成的情况是与杯子直径相当。–如果我们把杯子直径加倍，我们可以看到需要用4倍时间达到混合。2/12~tx2x•另一个有趣的问题是扩散常数D的值–2*D的值是右图中的斜率。–可以看到它接近1–这个值可以解析得出。•把n步后的位置xn写成n个独立步的和•其中si是第i步的位移，•相应的•因为每一步都是独立的，当时以相等的概率等于。•于是niinsx11isninjjinjjniinssssx11112jijiss1nsxniin122•以上是最简单的随机行走模型。•为了真实，有多种推广这个模型的方法•一种推广是，允许步长是随机的。–仍然能够得到扩散，–但是扩散常数会发生变化。•另一种推广是，允许粒子在三维空间中行走–仍然能够得到扩散。•我们可以通过随机行走模型推导出扩散方程。扩散与熵•现在我们从非平衡统计力学的角度再来看看咖啡杯中的奶油问题。•我们用它来说明一个系统如何趋于平衡。•我们的初始条件仍然是在一杯黑咖啡的中心放一滴奶油。•为了简单，我们考虑一个二维的杯子。•初始时刻，点分布在中点附近。•在模拟中我们假设每个粒子都做随机行走。•随机行走在二维晶格上进行。•每一步只能沿着随机选定的晶格的边走一个晶格长度。•格点上允许多个粒子存在。•在每一个时间步，我们随机的选择一个粒子，让它做随机行走的一步。•像预期的一样，奶油随着时间以扩散的方式传播。•接下来我们讨论它和热力学第二定律的关系，以及和系统趋于平衡的方式之间的关系。•一个有用的做法是，考虑系统的熵。•熵是无序的量度。•一个完全有序的系统，它的熵是零。而一个无序的系统具有大的熵。•统计力学告诉我们封闭系统熵要么增大要么保持不变。•我们的这个模型可以很好地说明这些想法。•初始条件下，所有奶油粒子在杯子的一个小区域中，系统是高度有序的，有较小的熵。•随后，粒子传播，填满整个杯子，它们的组织变得更加无序。•我们可以通过计算熵来描述这个变换。•回忆一下熵的定义•这里求和是对于所有可能的状态进行的。•Pi是发现系统处于状态i的概率。•为了应用这个定义，我们先定义状态。•我们设想系统被分成正方形网格，比如8*8•一个粒子处于每一个区域是一个状态。iiiPPSln•首先考虑系统只包含一个粒子。•编号为i的状态对应着这个粒子处于网格区域i•Pi是任意时刻发现粒子处于这个区域的概率。•我们的模拟中有许多粒子。我们可以使用它们计算Pi。–用m个粒子做模拟，处于格子i的粒子数mi与m的比值正比于一个粒子处于格子i的概率。mmPii随机选择一个粒子，让它随机走一步计算每个格子中的粒子数，从而得出Pi计算熵iiiPPSlnmmPii•这个行为符合熵的性质。•初始时刻系统具有高的有序度，熵比较低。•随后熵增加。•经过长的时候以后，系统的熵达到一个常数。修改下面的程序：让粒子每一步走的距离是[-1,1]之间均匀分布的随机数