分数、百分数培优讲义(精品)

小学数学培优讲义：分数、百分数应用题阅读与思考分数、百分数应用题是小学数学的重点内容，它是整数应用题的加深和扩展。同时，它也有其独有的特点和规律，它的数量关系与“量”、“率”相联系。它的最基本类型有三种：1．求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）；2．求一个数的几分之几（百分之几）是多少；3．已知一个数的几分之几（百分之几）是多少，求这个数。解答分数、百分数应用题的关键是：首先要分清哪个量是标准量单位“1”，哪个量是比较量（或部分量），然后找出与之相对应的分率。典型例题例1乙数是甲数的43，丙数是乙数的54，丙数是甲数的几分之几？【分析与解】如下图所示，把甲数看作“1”，用长方形表示。乙数是甲数的43，画斜线表示，丙数是乙数的54，画网线表示。（1）（2）从图看出：丙数是甲数的43和54，即535443。把甲数看作单位“1”，丙数就对应着53。解：535443答：丙数是甲方数53。训练快餐1一根水管，第一次截去全长的41，第二次截去余下的32，两次共截去全长的几分之几？例2甲数的53等于乙数的32，甲数是乙数的几分之几？乙数是甲数的几分之几？【分析与解】根据题中的条件可写出数量关系式：3253＝乙甲，把“甲”、“53”看作两个因数，32乙看作积，则5332甲＝乙。910甲＝乙，所以，求甲数是乙数的几分之几用：9105332。同理，求乙数是甲数的几分之几用：1093253。解91053321093253答：甲数是乙数的910，乙数是甲数的109。训练快餐2六年级学生人数的43等于五年级学生人数的65，六年级学生人数是五年级的几分之几？五年级学生人数是六年级的几分之几？令五年级165143＝六年级9534654365＝＝六年级＝例3红光村修一条水渠，第一周修了全长的41，第二周修了余下的52，第二周比第一周多修了15米。这条水渠全长多少米？【分析与解】依题意可得，把“第二周修了余下的52”转化成“第二周所修全长的（411）×52即可得出15米占全长的103。解300415241115（米）答：这条水渠全长300米。训练快餐3华联超市购入一批水果，苹果的筐数占总筐数的55%，比其他水果的筐数多10筐。这批水果共有多少筐？例4工人王师傅要加工一批零件，第一天加工的零件比这批零件的81还多21个，第二天加工的零件比这批零件的61少6个，还剩下172个没有加工。王师傅一共加工多少个零件？【分析与解】此题中虽然单位“1”数量没有变化，但“量”与“率”之间搓系不太明显，可画线段图帮助分析。解（172－6＋21）÷26461811（个）答：王师傅一共要加工264个零件。训练快餐4机械厂要加工一批零件，甲车间加工这批零件的20%，乙车间加工余下的25%，丙车间加工的比乙余下的40%少100个，这时还剩下3700个零件没有加工。这批零件共有多少个？例5中百超市水果台上放有一些水果，第一次卖出52后，超市营业员又放入60千克水果，第二次又卖出水果台上水果的31后，水果台上还剩下水果180千克，问水果台上原有水果多少千克？【分析与解】根据“第二次又卖出水果台上水果的31”可知，剩下的180千克是放入60千克水果后水果台上水果的311，则第一次卖出后水果有21060311180千克。而这210千克是原有水果的521，由此可得原有水果的总重量。解：35052160311180（千克）答：水果台原有水果350千克。训练快餐5张强看一本故事书，第一天看了全书的52，第二天看了剩下的85，还有36页没有看，这本故事书一共有多少页？21个6个“1”172个8161例6某工厂把制衣任务按5:3分给甲、乙两个车间，甲车间实际制衣960套，超过原分配任务的20%，原计划乙车间要制衣多少套？解：960÷（1＋20%）＝800048053800（件）答：原计划乙车间要制衣480套。例7两个车间，甲车间人数是乙车间的85，乙车间调走48人后，甲车间人数比乙车间少41，甲车间多少人？方法1：解：154345818015448（人）答：甲车间有180人。方法2：解：设乙车间有X人，4114885xx364385xx288x18085288（人）答：甲车间有180人。能力检测1、某校男生人数是女生人数的43，女生人数是男生人数的几分之几？2、乙数是甲数的43，丙数是乙数的53，丙数是甲数的几分之几？3、甲数是丙数的43，乙数是丙数的52，甲数是乙数的几分之几？4、修一条长2400米的公路，第一天修了全长的41，第二修了余下的31，还剩下多少米没有修完？5、某校六（1）班有学生46人，六（2）班学生人数比全年级人数的31多2人。这两个班人数的和共占全年级人数的75，六年级共有学生多少人？6、王永骑摩托车从家去东湖，走了全程的83后，剩下的路程比已经走过的多3千米。王永家到东湖的路程有多少千米？7、一艘轮船从甲港开往乙港，第一天走了全程的83，第二天走了余下路程的32，第三天走了250千米到达乙港，甲、乙两港相跑多少千米？8、水果店运进一批梨，第一天卖出全部的52。第二天卖出剩下的21，第三天比第一天少卖31，这时还剩下50千克。水果店共运进了多少千克梨？9、某粮食仓库往外发出一批大米，第一次运走总数的51还多60袋，第二次运走总数的41少60袋，不剩220袋没有运走。这批大米一共有多少袋？10、小玲和小聪收集各种卡片，如果小玲拿出41给小聪，小聪再拿出现有的41给小玲，这时两人的卡片张数相等。原来小玲的卡片张数是小聪的几分这几？百分数应用题知识要点与延抻拓展1．表示一个数是另一个数的百分这几的数叫做百分数，百分数也叫百分率或百分比，百分数应用题有三种类型：求一个数是另一个数的百分之几；求一个数的百分之几是多少；已知一个数的百分之几是多少，求这个数。2．一瓶盐水中有多少盐，放多少水和放多少盐才能配成某一浓度的盐水，这就是我们平时所说的浓度问题，在进行浓度问题的计算时都要用到百分数，因此有关浓度的计算也是百分数应用题的一个重要内容。3．商店出焦点商品，总是期望获得利润。通常，利润率也可以用百分数来表示，所以利润问题也是一种常见的百分数应用题。4．求一个数是另一个数的百分之几的应用题，解答时一般从问题入手进行分析，弄清把谁看做单位“1”，谁和“1”比，就用谁去除以单位“1”，这类问题也是“百分率”的问题，如“出勤表”“出粉率”等。5．求一个数的百分之几是多少，或已知一个数的百分之几是多少，求这个数。这种典型的百分数应用题和分数应用题的解题方法是一致的。首先要找出题目中的关键问进行分析，通过分析关键句，确定把什么看做单位“1”，找出解题的数量关系式，再根据分数乘除法的意义列式解答。6、浓度问题是百分数应用题的一个重要部分，解答浓度问题，要理解浓度的含义及相关的数量关系式。浓度＝溶质÷（溶质＋溶剂）溶质＝溶液×浓度7、利润问题与我们平时的生活实际联系十分紧密，解答利润问题首先要理解以下的关系。利润＝卖价（定价）－成本（进价）利润率＝（定价－进价）÷进价竞赛能力要求1．理清求一个数是另一个数的百分之几的应用题的解题思路，体验对不同类型的百分之数应用题的探究过程，总结出百分数应用题的解题规律，并能结合生活实际，灵活运用解题方法来正确解答相关的题目。2．理清稀释、蒸发以及两种溶液混合等相关浓度问题的解题思路，会灵活运用各种方法来正确解答浓度问题，并提高解决实际问题的能力。3．理清求利润、求成本、求利润率等相关利润问题的解题思路，并能结合生活实际，总结利润问题的解题规律。解题技巧与方法1．在解答求一个数是另一个数的百分之几应用题时，要从问题入手进行分析，首先要弄清求谁是谁的百分之几，确定把谁看做单位“1”，谁和“1”去比，最后用除法计算。2．求一个数的百分之几或已知一个数的百分之几是多少，求这个数，这类应用和分数应用题的解题思路是一致的，一方面要找谁是单位“1”，一方面找准具体数量和分率之间的对应关系。3．在商品出售过程中，可能出现降低利润（甚至亏本）减价出售，理解“折扣”的相关意义。列方程解答相关的利润问题是一种比较好的解题方法。4．在解答浓度问题时，首先要理解浓度的含义及相关的数量关系，解答复杂的浓度问题时，要适当地运用分步分析，分步列式的方法，也可以列方程解答。例题解说例1小明家的热水器贮满了水，一天早晨，小明妈妈用去了20%，小明爸爸又用18升，小明用去了剩下水的10%，最后剩下的水只有贮存量的一半还少3升，问小明家的电热水器贮水量是多少升？分析：由题意可知，小明的妈妈用的水是20%，小明的爸爸用水量是18升，小明的爸爸、妈妈用水后剩下80%少18升，这样小明的用水量是80%×10%＝8%少18×10%＝1.8升。三人用水的总量则是20%＋8%再加18－1.8＝16.2（升），三人用水的总量也应该是50%多3升。根据量和分率相对应的关系很容易求出小明家的电热水器贮水量的升数。解：（1－20%）×10%＝8%18×10%＝1.8升（18－1.8－3）÷[50%－（20%＋8%）]＝13.2%÷22%＝60（升）答：小明家的电热水器贮水量是60升。解后反思：在解答百分数应用题时，经常会出现单位“1”不统一的情况，这时，就要采取转化的方法，先统一单位“1”，而且要保证量等率大小不变，再按照量率相对应的关系来解答。例2黄河中学上学年高中男、女生共有300人，这一学年度高中男生增加4%，女生增男增加5%，共增加13人，问这一学处度黄河中学男、女生各有多少人？分析：如果假设这一学年度黄河中学高中男生、女生都增加4%，那么增加的数应为300×4%＝12（人），这与实际增加的13人相差1人，由此可知，这1人应占原女生人数的5%－4%＝1%，再按量率对应关系，求出原来女生的人数。解：300×4%＝12（人）（13－12）÷（5%－4%）＝100（人）100×（1＋5%）＝105（人）（300－100）×（1＋4%）＝208（人）答：这一学年度黄河学男生有208人，女生有105人。解后反思：这道题由于两个部分量增加的分率不同，不利于从局部入手考虑，可以从整体切入，找出量与率的关系，以此为突破口进行解答。例3有两包糖果，每包中都奶糖、水果糖和巧克力糖，第一包糖的粒数是第二包糖的32，第一包糖中奶糖占25%，第二包中水果糖占50%，巧克力在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占百分比的两倍，当两包糖合在一起时，巧克力糖占28%，那么水果糖所占的百分比是多少？分析：如果设第二包糖的粒数是3份，那么第一包糖的粒数为2份，两包糖的总粒数为5份，第二包糖中水果糖的份数是3×50%＝1.5份，两包糖合在一起，巧克力糖的粉数是5×28%＝1.4份，又因为巧克力糖在第一包糖中所占的百分比也是第二包中所占百分比的2售，如果把第一包糖中巧克力糖所占的百分比看做“1”，则可求出第一包糖中巧克力实际据点为百分比是1.4÷（2＋3×21）＝40%，又知道第一包糖中奶糖占25%，所以第一包糖中水果糖所占百分比是1－25%－40%＝35%，即水果糖有2×35%＝0.7份，再根据求百分数的方法算出最后结果。解：设第二包糖的熑数为3份，由第一包的粒数为2份，两包合起来的粒数就是5份。2×25%＝0.5（份）3×50%＝1.5（份）5×28%＝1.4（份）1.4÷（2＋3×21）＝40%2×（1－25%－40%）＝0.7（份）（0.7＋1.5）÷5＝44%答：两包糖合在一起时，水果糖所占的百分比是44%。解后反思：求一个数是另一个数的百分之几（百分比），关键是要知道这两个数（室两数可以是具体的数量，也可以是份数），当条件纷繁复杂时，要学会分数整理，选择条件，反复杂的问题解成几个简单的问题来解答。例4有两堆煤共136吨，某厂从甲堆取走30%，从乙堆中取走41，这时乙堆剩下的煤恰好比原来的总数的