数学竞赛辅导专题-二次函数20180105

数学竞赛辅导专题20180105二次函数专题例1.当x为何值时，函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2取最小值。解：f(x)=(x2-2a1x+a12)+(x2-2a2x+a22)+…+(x2-2anx+an2)=nx2-2(a1+a2…+an)x+(a12+a22+…+an2)∴当x=(a1+a2+…+an)/n时，f(x)有最小值.例2.已知x1,x2是方程x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0的两个实数根，x12+x22的最大值是____.解：由韦达定理得：x1＋x2=k-2，x1x2=k2+3k+5.∴x12+x22＝（x1＋x2）2-2x1x2=(k-2)2-2(k2+3k+5)=-k2-10k-6=-(k+5)2+19.已知x1,x2是方程的两个实根，即方程有实数根，此时方程的判别式Δ≥0，即Δ＝(k-2)2-4(k2+3k+5)=-3k2-16k-16≥0解得：-4≤k≤43.∵k=-5[-4,43]，设f(k)=-(k+5)2+19，则f(-4)=18,f()=18.∴当k=-4时，(x12+x22)max=18.例3.已知f(x)=x2-2x+2，在x∈[t,t+1]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式。解：f(x)=(x-1)2+1(1)当t+11即t0时，g(t)=f(t+1)=t2+1(2)当t≤1≤t+1，即0≤t≤1时，g(t)=f(1)=1(3)当t1时，g(t)=f(t)=t2-2t+2综合（1）、（2）、（3）得：221,0()1.0122.1ttgttttt43509例4．（1）当x2+2y2=1时，求2x+3y2的最值；（2）当3x2+2y2=6x时，求x2+y2的最值。解：（1）由x2+2y2=1得2y2=(1-x2)，2x+3y2=2x+(1-x2)=-(x-23)2+又1-x2=2y2≥0，∴x2≤1，－1≤x≤1.∴当x=时，y=，（2x+3y2）max=；当x=-1时，y=0，（2x+3y2）min=－2(2)由3x2+2y2=6x，得y2=x(2-x)，代入x2+y2=x2+x(2-x)=-(x-3)2+又y2=x(2-x)≥0，得0≤x≤2.当x=2，y=0时，（x2+y2）max=4；当x=0，y=0时，(x2+y2)min=0例5．如果方程（1-m2）x2+2mx-1=0的两个根一个小于零，另一个大于1，确定m的范围。解：令f(x)=(1-m2)x2+2mx-1，根据题设条件，f(x)的图形是下列两种情形之一：则（1-m2）f(0)＜0,(1-m2)f(1)＜0；即1-m2＞0,(1-m2)(2m-m2)＜0解得：-1＜m＜03232136321061633232129232例6．当k为什么实数时，关于X的二次方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0的两个实根α和β分别满足0＜α＜1和1＜β＜2？解：设y=f(x)=7x2-(k+13)x+k2-k-2，则因为a=7＞0，且方程f(x)=0有两实根α,β，所以它的图象是开口向上且与X轴相交于两点（α,0）、(β,0)的抛物线。由于0＜α＜1，1＜β＜2，可知在x＜α或x＞β时，f(x)取正值；在α＜x＜β时，f(x)取负值。于是，当x分列取0,1，2时，有：f(0)=k2-k-2＞0，f(1)=k2-2k-8＜0，f(2)=k2-3k＞0解这三个不等式组成的不等式组，可得{k|-2＜k＜-1或3＜k＜4}。例7．若a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn都是实数，求证：（a1b1+a2b2+…+anbn)2≤(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)证明：构造二次函数f(x)=(a1x-b1)2+(a2x-b2)2+…+(anx-bn)2=(a12+a22+…+an2)x2-2(a1b1+a2b2+…+anbn)x+(b12+b22+…+bn2).当a12+a22+…+an2≠0即a1,a2,…,an不全为零时，显然有对x∈R，f(x)≥0，故f(x)＝0的判别式：Δ=4（a1b1+a2b2+…+anbn）2-4(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≤0.即（a1b1+a2b2+…+anbn）2≤(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)。当a1=a2=…=an=0时，结论显然成立，故命题成立。