图形的初步认识讲义及练习

图形的初步认识一、几何图形柱体（圆柱、棱柱）立体图形（体）锥体（圆锥、棱锥）球体点几何图形（点、线、面、体）直线（射线、线段）线平面图形曲线平面（角、三角形、平行四边形、圆等）面曲面点动成线，线动成面，面动成体。二、线段、射线和直线1、概念及记法的区别线段：（1）有两个端点（2）可以度量（3）AaB记作：线段AB或线段BA或线段a射线：（1）有一个端点（2）向一方无限延伸（3）AB记作：射线AB直线：（1）无端点（2）向两方无限延伸（3）ABl记作：直线AB或直线BA或直线l2、相关概念两点间的距离：连接两点的线段的长度线段的中点：分一条线段为两条相等的线段的点。如ACBC为线段AB上一点，且AC＝BC，则C为线段AB的中点，记作AB＝2AC＝2BC或AC＝BC或AC＝BC＝21AB3、线段大小的比较线段长短的比较有两种方法：（1）度量法（用刻度尺量出两线段的长度再比较）（2）叠合法（用圆规）4、相关性质公理直线公理：过两点有且只有一条直线线段公理：两点之间，线段最短三、角的认识1、角的概念静止角度：由公共端点的两条射线组成的图形（公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边）运动角度：由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形（起始位置的射线称为角的始边，终止位置称为角的终边）2、角的表示方法（1）可以用三个大写字母来表示，如AOB（2）在不引起混淆的情况下，可以只用顶点大写字母来表示，如O（3）可以用一个数学或小写希腊字母来表示，如2,1或,3、角的大小角的大小不是看角的两边的长与短，而是由两条射线的位置（张口大小）来决定。(1)计量单位：度，分，秒（时钟的分针，经过一分转6，时针经过一小时转30）)601('1,'601)'601(1,60'1(2)角的大小比较两种方法：①度量法（用量角器）②叠合法（保持顶点和其中一条边重合）（3）两个角的和或差两个角的和是把两个角中的两条边重合后另两条边形成的一个角；两个角的差是在一个较大角中去掉一个较小角后的角。（4）角平分线概念：从角顶点发出的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线表示方法：如图，若OC是AOB的平分线，则①BOCAOC②AOBAOCBOC21③BOCAOCAOB22BOCA性质：角平分线的点到这个角两边的距离相等；到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上（5）角的分类锐角（大于0小于90的角）直角（等于90的角）钝角（大于90小于180的角）平角（180的角，定义：一条射线绕着它的端点旋转，当终边与始边成一条直线时所形成的角）周角（360的角，定义：一条射线绕着它的端点旋转到起始位置所形成的角）1周角＝2平角＝4个直角注：不能说“一个平角是一条直线，一条射线就是周角”（6）补角、余角、对顶角和邻补角补角和余角属于数量关系角，对顶角和邻补角属于位置关系角。①如果两个角的和是一个平角，则这两个角互为补角，即18021，则2,1互为补角，简称互补，1是2的补角或2是1的补角。同角或等角的补角相等。②如果两个角的和是一个直角，则这两个角互为余角，即9021，则2,1互为余角，简称互余，1是2的余角或2是1的余角。同角或等角的余角相等。③两条直线相交形成两类角：一是对顶角，一是邻补角。对顶角相等，邻补角是特殊位置上的补角。如图(a)，两直线AB、CD相交于O，则对顶角有两组：COBAODBODAOC,；邻补角有四组：AOC和BOC，AOC和AOD，AOD和BOD，BOD和BOC(b)(a)(c)（7）方位角方位角是表示方向的角，是确定物体位置的重要因素之一。具体表示时，是南（或北）在先，再说偏东（或偏西）。如上图(b)，OA的方向为北偏东30，OB的方向为南偏西45（即西南方向）四、相交线和平行线同一平面内，两直线的位置关系：相交或平行。1、相交线（1）相关概念两直线相交：若两直线有且只有一个公共点，则称两直线相交，公共点叫做交点。垂直：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。如上图（c），直线AB，CD互相垂直，垂足为O，记作ABCD或CDAB于O，读作“AB垂直于CD，垂足为O”。注：垂线是直线而不是线段。点到直线的距离：从直线外一点向已知直线作垂线，这点和垂足之间的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离。线段的垂直平分线：垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线（亦叫中垂线）。比例尺＝实际距离图上距离（2）相关性质①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直②直线外一点与直线上各点联结的线段中，垂线段最短③线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等，和一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。2、平行线（1）相关概念两直线平行：在同一平面内不相交的两条直线。如在同一平面内a与b不相交，即a平行于b，记作a∥b。两平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离。（2）平行公理及推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。推论：如果同一平面内有两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，即“acbca则,,∥b”五、作图1、过直线l外一点A画直线l的垂线方法一：用三角尺（作法：如下图，三角尺一条直角边和l重合，并移动使得另一直角边过A点，再用铅笔沿另一条边画直线即为所求）方法二：用量角器（作法：如下图，量角器的90线与l重合，并移动使得零刻度线过A点，零刻度线所在直线即为所求）2、过直线a外一点P画一条直线b，使得a∥b方法一：如图，①任意画一条直线l，使al②过点P画直线lb，则a∥b，b即为所求方法二：如图，用三角尺和直尺画a∥b3、画已知AOB的角平分线OP方法一：用量角器量出AOB的度数，以OB为始边用量角器量出AOB21，终边为OP，则OP即为所求方法二：尺规法（同4、（4））4、尺规作图（1）比较两已知线段a和b的大小作法：①将圆规的两脚和线段a的两端点重合②此圆规的一脚和b的一端点重合，进行叠合后若另一脚落在b上，则ba；若落在b外，则ba；若则好跟b另一端点重合，则ba（2）画一线段等于已知线段a和b（ba）的长度的和或差①记c为a和b长度的和，则bac作法：如下图，用直尺延长a（AB）到一定长度，再用圆规往右顺次截取BC＝b，则AC即为所求②记d为a和b长度的差，则bad作法：如下图，用圆规在a上截取AC＝b，则BC即为所求（3）画一已知线段AB的垂直平分线作法：如图（3）①分别以AB为圆心，大于AB21长为半径在AB上下画弧，上面两条弧的交点为C，下面两条弧的交点为D②连接CD，则直线CD即为所求（4）画一已知AOB的角平分线OP作法：如图（4）①以O为圆心，任意长为半径画弧分别交OA，OB于C，D②分别以C，D为圆心，大于CD21长为半径在AOB内画弧，两弧交点为P③连结OP，则OP即为所求图(3)图(4)【探索】1、已知直线l上有n个点，问共有多少条线段和多少条射线？答案：线段有：2)1(123)3()2()1(nnnnn射线有：n22、如果以O为端点有n条射线（构成的角都小于平角），组成的角有多少个？答案：角有：2)1(123)3()2()1(nnnnn3、利用一副三角板可以拼出多少个角（不包括0和180角）？答案：可以拼出11个角（这11个角分别以15递增：165,150,135,45,30,15【练习】单元测试(A)一、填空题（每小题2分，共20分）1．不在同一直线上的四点最多能确定条直线.2．如图，从A地到B地走条路线最近，它根据的是.3．如图，是用对顶角的量角器测量圆锥形零件的锥角的示意图，则此零件的锥角等于度.4．当图中的∠1和∠2满足_________时，能使OA⊥OB（只需填上一个条件即可）.5．从A市开往B市的特快列车，途中要停靠三个站点，如果任意两站间的票价都不相同，那么有种不同的票价6．小明每天下午5:30回家，这时分针与时针所成的角的度数为___________．7．在同一平面内，1个圆把平面分成0×1+2=2个部分，2个圆把平面最多分成1×2+2=4个部分，3个圆把平面最多分成2×3+2=8个部分，4个圆把平面最多分成3×4+2=14个部分，那么10个圆把平面最多分成个部分.8．有边长为1的等边三角形卡片若干张，使用这些三角形卡片拼出边长分别是2，3，4，…的等边三角形(如图所示)．根据图形推断，每个等边三角形所用卡片总数s与边长n的关系式是.9．如图所示的4×4正方形网格中，∠l+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=．二、选择题（每小题3分，共30分）10．若∠α=30°，则∠α的补角为()．A．30°B．60°C．120°D．150°11.平面上有三点A、B、C，如果AB=8，AC=5，BC=3，则（）A．点C在线段AB上B．点B在线段AB的延长线上C．点C在直线AB外D．点C可能在直线AB上，也可能在直线AB外12.在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40度方向，那么这艘船位于这个灯塔的（）A．南偏西50度方向B．南偏西40度方向C．北偏东50度方向D．北偏东40度方向13．如图，115,90AOC,点B、O、D在同一直线上，则2的度数为（）A．75B．15C．105D．165ABCDEO第6题ABCDO12AB①②③14．如图，已知∠AOC＝90º，∠COB＝α，OD平分∠AOB，则∠COD等于（）A．2B．245－C．－45D．－9015．某公司员工分别住在A，B，C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人.三个区在同一条直线上，位置如图所示．该公司的接送车打算在此问只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在()A．A区B．B区C．C区D．A，B两区之间16．一条信息可通过如图的网络线由上(A点)往下向各站点传送．例如信息到b2点可由经al的站点送达，也可由经a2的站点送达，共有两条途径传送．则信息由A点到达d3的不同途径共有()．A．3条B．4条C．6条D．12条17．为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路．现已知各村及电厂之间的距离如图所示（单位：公里），则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是()A．19．5B．20．5C．21．5D．25．518．花园内有一块边长为a的正方形土地，园艺师设计了四种不同的图案，如下图的A、B、C、D所示，其中的阴影部分用于种植花草．种植花草部分面积最大的图案是()．(说明：A、B、C中圆弧的半径均为2a，D中圆弧的半径为a)19．已知α、β是两个钝角，计算16的值，甲、乙、丙、丁四位同学算出了四种不同的答案分别为24°、48°、76°、86°，其中只有一个答案是正确的，则正确的答案是（）A．86°B．76°C．48°D．24°三、解答题（21~25题每题6分，26~27题每题10分，共50分）20．已知∠1与∠2互为补角，且∠2的32比∠1大15°，求∠1的余角．21．如图所示，已知∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=20º,求∠AOB的度数。OABDC22．如图，已知B、C是线段AD上的两点，M是AB的中点，N是CD的中点，MN=a，BC=b，求线段AD的长．23．如图，已知A、O、E三点在一条直线上，OB平分∠AOC，∠AOB+∠DOE=90°，试问：∠COD与∠DOE之间有什么关系?说明理由．24．如图，OA的方向是北偏东15°,OB的方向是西偏北50°．（1）若∠AOC=∠AOB，则OC的方向是___________；（2）OD是OB的反向延长线,OD的方向是_________；（3）