(精心整理)二次函数专题讲座

初三数学专题讲座第1页共17页二次函数综合题一览抛物线中的面积问题1.cbxxy2的对称轴在y轴的右侧，抛物线与y轴交于Q（0，-3），与x轴的交点为A、B，顶点为P，S△PAB的面积是8，求解析式。2.已知抛物线12)1(2kkxxky，⑴k为何值时，抛物线与x轴无交点；⑵若抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且△ABC的面积为4，求k的值3.抛物线cbxaxy2与x轴的正半轴交于A、B，与y轴的正半轴交于点C，顶点M在第四象限，已知OA：OB=1：3，∠AMB=90°，S△AMB=16。(1)求抛物线的解析式。(2)若抛物线上有一点P，使S△APB=S△CMB，求P点的坐标。4.已知抛物线22yaxxc与它的对称轴相交于点(14)A，，与y轴交于C，与x轴正半轴交于B．（1）求这条抛物线的函数关系式；（2）设直线AC交x轴于DP，是线段AD上一动点（P点异于AD，），过P作PEx∥轴交直线AB于E，过E作EFx轴于F，求当四边形OPEF的面积等于72时点P的坐标．5.如图，已知抛物线qpxxy2与x轴相交于A(x1,0)，B(x2,0)两点(其中x10，x20，1x2x)，与y轴相交于点C，且∠ACB=90°，AB=22。若D点是C点关于x轴的对称点。(1)求C、D两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)设Q(x，y)是抛物线上的点，使S△QCD=3，求点Q的坐标。初三数学专题讲座第2页共17页6.抛物线的解析式cbxaxy2满足四个条件：3;0cbaabc；4acbcab；.cba⑴求这条抛物线的解析式；⑵设该抛物线与x轴的两交点分别为A、B（A在B的左边），与y轴的交点为C，P是抛物线上第一象限内的点，AP交y轴于点D，5.1OD，试比较AODS与DPCS的大小.7.平面直角坐标系xOy已知抛物线)85(31)25(2122mxmmxy的对称轴为x=21,设抛物线与y轴交于A点,与x轴交于B、C两点（B点在C点的左边），锐角△ABC的高BE交AO于点H．⑴求抛物线的解析式；⑵在（1）中的抛物线上是否存在点P，使BP将△ABH的面积分成1：3两部分？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．8.已知：mn、是方程2650xx的两个实数根，且mn，抛物线2yxbxc的图象经过点A(,0m)、B(0n，).（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；（3）若P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，且直线BC把△PCH分成面积之比为2:3的两部分，请求出P点的坐标.9.已知二次函数的图象过点0,3A、.0,1B（1）当这个二次函数的图象又过点3,0C时，求其解析式.（2）设（1）中所求二次函数图象的顶点为P，求ABCAPCSS:的值.（3）如果二次函数图象的顶点M在对称轴上移动，并与y轴交于点D，ABDAMDSS:的值确定吗？为什么？初三数学专题讲座第3页共17页10.已知开口向下的抛物线cbxaxy2与x轴交于M、N两点（点N在点M的右侧），并且M和N两点的横坐标分别是0322xx的两根，点K是抛物线与y轴的交点，MKN不小于.90（1）求M和N两点的坐标；（2）求系数a的取值范围；（3）在a的取值范围内，当y取得最大值时，抛物线上是否存在点P使得32MPNS？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.11.如图二次函数cbxxy2的图象与x轴只有一个公共点P，与y轴的交点为Q.过点Q的直线mxy2与x轴交于点A，与二次函数的图象交于另一点B.若APQBPQSS3，求这个二次函数的解析式.12.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.BAOyx初三数学专题讲座第4页共17页13.如图，已知抛物线21(0)2yxmxnn与直线y=x交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝OB，BC∥x轴．(1)求抛物线的解析式。(2)设D、E是线段AB上异于A、B的两个动点(点E在点D的上方)，DE＝2，过D、E两点分别作y轴的平行线，交抛物线于F、G，若设D点的横坐标为x，四边形DEGF的面积为y，求x与y之间的关系式，写出自变量x的取值范围，并回答x为何值时，y有最大值．14.已知：抛物线1232122mxmxy与x轴交于0,1xA、0,2xB两点，且,0,021xx抛物线与y轴交于点C，.2AOBO（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上，点A的左侧，求一点E，使ECO与CAO相似，并说明直线EC经过（1）中抛物线的顶点D；（3）过（2）中的点E的直线bxy41与（1）中的抛物线相交于M、N两点，分别过M、N作x轴的垂线，垂足为M’、N’，点P为线段MN上一点，点P的横坐标为t，过点P作平行于y轴的直线交（1）中所求抛物线于点Q，是否存在t值，使,12:35S:QMNN'N'MM梯形S若存在，求出满足条件的t值；若不存在，请说明理由.抛物线与圆15.如图，已知两点)0,8(A、)0,2(B，以AB为直径作⊙P与y轴负半轴交于C点，⑴求过A、C两点的直线解析式和过Ａ、Ｂ、Ｃ三点的抛物线解析式；⑵若点M是⑴中抛物线的顶点，求△ABC的面积及直线MC的解析式；⑶判定⑵中的直线MC与⊙P的位置关系，并说明理由。OyxABCMDP初三数学专题讲座第5页共17页16.如图所示，在直角坐标系中，O为坐标原点，A点坐标为)0,3(，B点坐标)0,12(，以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P，与y轴的负半轴交于点C，抛物线cbxaxy2经过A、B、C三点，其顶点为M⑴求此抛物线的解析式；⑵设点D是抛物线与⊙P的第四个交点（除A、B、C三点外），求直线MD的解析式；⑶判定⑵中的直线MD与⊙P的位置关系，并说明理由。17.抛物线)0(2acbxaxy的顶点为M，与x轴的交点为A、B（点B在点A的右侧），△ABM的三个内角∠M、∠A、∠B所对的边分别为m、a、b。若关于x的一元二次方程0)(2)(2ambxxam有两个相等的实数根。（1）判断△ABM的形状，并说明理由。（2）当顶点M的坐标为（－2，－1）时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大致图形。（3）若平行于x轴的直线与抛物线交于C、D两点，以CD为直径的圆恰好与x轴相切，求该圆的圆心坐标。18.在平面直角坐标系中，一次函数kkxy4的图象与x轴交于点A；抛物线cbxaxy2经过O、A两点.（1）试用含有字母a的代数式表示b；（2）设抛物线的顶点为D，以点D为圆心，以DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分，若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，且它所在的圆恰与OD相切，求⊙D的半径长及抛物线的解析式；19.已知抛物线349592942mmxxy与x轴交于A、B两点，点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上，BO的长是AO的长的2倍，点C为抛物线的顶点；（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线的对称轴上，且⊙P与x轴、直线BC都相切，求点P的坐标.CBMyxADOP·初三数学专题讲座第6页共17页20.已知抛物线2122kxkxy与x轴交于A、B两点，且点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上.（1）求实数k的取值范围；（2）设OA、OB的长分别为a、b，且a∶b＝1∶5，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，以AB为直径的⊙D与y轴的正半轴交于P点，过P点作⊙D的切线交x轴于E点，求点E的坐标.如图，在直角坐标系中，O是坐标原点，A（3，0）、B（m，56）是以OA为直径的⊙M上的两点，且tan∠AOB=21,BH⊥x轴，垂足为H（1）求H点的坐标；（2）求图象经过A、B、O三点的二次函数的解析式；（3）设点C为（2）中的二次函数图象的顶点，问经过B、C两点的直线是否与⊙M相切，请说明理由.注：抛物线y＝ax2＋bx＋c（c≠0）的顶点为abacab4422，抛物线与相似三角形21.已知抛物线cbxaxy2的顶点坐标为1,4，与y轴交于点3,0C，O是原点.⑴求这条抛物线的解析式；⑵设该抛物线与x轴的交点为A、B（A在B的左边），问在y轴上是否存在点P，使以O、B、P为顶点的三角形与AOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.初三数学专题讲座第7页共17页22.如图已知半径为1的1O与x轴交于AB，两点，OM为1O的切线，切点为M，圆心1O的坐标为(20)，，二次函数2yxbxc的图象经过AB，两点．（1）求二次函数的解析式；（2）求切线OM的函数解析式；（3）线段OM上是否存在一点P，使得以POA，，为顶点的三角形与1OOM△相似．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．23.如图所示，已知抛物线21yx与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标．（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MGx轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．二次函数中的线段长度问题24.已知：抛物线y＝x2－（a＋2）x＋9的顶点在坐标轴上．（1）求a的值；（2）求a＞0时，该抛物线与直线y＝x＋9交于A、B两点，且A点在B点左侧，求点A和点B的坐标；（3）P为（2）中线段AB上的点（A、B两端点除外），过点P作x轴的垂线与抛物线交于Q．线段AB上是否存在点P，使PQ的长等于6，若存在，请求出P点坐标；若不存在，说明理由．yxOABMO1CPByAox初三数学专题讲座第8页共17页25.如图，已知(4,0)A，(0,4)B，现以A点为位似中心，相似比为9:4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C．（1）求C点坐标及直线BC的解析式;（2）一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象;（3）现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为32的点P．26.已知一抛物线经过O(0，0)、B(1，1)两点且解析式的二次项系数为a1(a＞0〕(1)求该抛物线的解析式(系数用含a的代数式表示)；(2)已知点A(0，1)，若抛物线与射线AB相交于点M与x轴相交于点N(异于原点)，求点M、N的坐标(用含a的代数式表示)；(3)在(2)的条件下，问：当a在什么范围内取值时，ON+BM的值为常数？当a在什么范围内取值时，ON-BM的值也为常数？27.如图，关于x的二次函数y＝x2-2mx－m的图像与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（x2＞0＞x1），与y轴交于C点，且∠BAC＝∠BCO．（1）求这个二次函数的解析式；（2）以点D(2，0）为圆心作⊙D，与y轴相切于点O．过抛物线上点E（x3，t）（t＞0，x3＜0）作x轴的平行线与⊙D交于F、G两点，与抛物线交于另一点H，问：是否存在实数t，使得EF＋GH=FG？如果存在，求出t的值；如果不存在，请说明理由．初三数学专题讲座第9页共17页yxAOBBYXCADQBO28.已知：如图所示的两条抛物线的解析式分别是211yaxa