全国初中数学竞赛二次函数问题

《全国初中数学竞赛》二次函数历届考题11（2008）、已知一次函数12yx，二次函数221yx，是否存在二次函数cbxaxy23，其图象经过点（－5,2），且对于任意实数x的同一个值，这三个函数所对应的函数值12,yy，3y，都有123yyy成立？若存在，求出函数3y的解析式；若不存在，请说明理由。解：存在满足条件的二次函数。因为222122(1)21(1)0yyxxxxx，所以，当自变量x取任意实数时，12yy均成立。由已知，二次函数cbxaxy23的图象经过点（－5,2），得2552abc①当1x时，有122yy，3yabc由于对于自变量x取任实数时，132yyy均成立，所以有2≤abc≤2，故2abc②由①，②，得4ba，25ca，所以234(25).yaxaxa……5分当13yy时，有224(25)xaxaxa，即2(42)(25)0axaxa所以，二次函数2(42)(25)yaxaxa对于一切实数x，函数值大于或等于零，故20(42)4(25)0aaaa即20,(31)0,aa所以13a当23yy时，有224(25)1axaxax，即2(1)4(51)0axaxa，所以，二次函数2(1)4(51)yaxaxa对于一切实数x，函数值大于或等于零，故210,(4)4(1)(51)0,aaaa即21,(31)0,aa所以13a综上，141,4,25333abaca所以，存在二次函数23141333yxx，在实数范围内，对于x的同一个值，都有132yyy成立。……………15分11（2009）．函数22(21)yxkxk的图象与x轴的两个交点是否都在直线1x的右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线1x的右侧时k的取值范围．解：不一定，例如，当k＝0时，函数的图象与x轴的交点为（0，0）和（1，0），不都在直线1x的右侧．………………5分设函数与x轴的两交点的横坐标为12,xx，则21212(21),xxkxxk，当且仅当满足如下条件12120,(1)(1)0,(1)(1)0xxxx≥………………10分时，抛物线与x轴的两交点都在直线1x的右侧．由222(21)40,210,20,kkkkk≥解之，得1,41,220.kkkk≤或………………15分所以当2k时，抛物线与x轴的两交点在直线1x的右侧．………………20分12（2010）．如图，抛物线2yaxbx（a0）与双曲线kyx相交于点A，B.已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.（1）求实数a，b，k的值；（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.解：（1）因为点A（1，4）在双曲线kyx上，所以k=4.故双曲线的函数表达式为xy4.设点B（t，4t），0t，AB所在直线的函数表达式为ymxn，则有44mnmtnt，，解得4mt，4(1)tnt.于是，直线AB与y轴的交点坐标为4(1)0,tt，故141132AOBtStt（），整理得22320tt，解得2t，或t＝21（舍去）．所以点B的坐标为（2，2）．因为点A，B都在抛物线2yaxbx（a0）上，所以4422abab，，解得13.ab，…………（10分）（2）如图，因为AC∥x轴，所以C（4，4），于是CO＝42.又BO=22，所以2BOCO.设抛物线2yaxbx（a0）与x轴负半轴相交于点D，则点D的坐标为（3，0）.因为∠COD＝∠BOD＝45，所以∠COB=90.（i）将△BOA绕点O顺时针旋转90，得到△1BOA.这时，点B(2，2)是CO的中点，点1A的坐标为（4，1）.延长1OA到点1E，使得1OE=12OA，这时点1E（8，2）是符合条件的点.（ii）作△BOA关于x轴的对称图形△2BOA，得到点2A（1，4）；延长2OA到点2E，使得2OE＝22OA，这时点E２（2，8）是符合条件的点．所以，点E的坐标是（8，2），或（2，8）.…………（20分）（第12题）（第12题）13（2011）．点A为y轴正半轴上一点，AB，两点关于x轴对称，过点A任作直线交抛物线223yx于P，Q两点.（1）求证：∠ABP=∠ABQ；（2）若点A的坐标为（0，1），且∠PBQ=60º，试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式.解：（1）如图，分别过点PQ，　作y轴的垂线，垂足分别为CD，　.设点A的坐标为（0，t），则点B的坐标为（0，-t）.设直线PQ的函数解析式为ykxt,并设PQ，的坐标分别为PPxy（，）,QQxy（，）.由223ykxtyx，，得2203xkxt，于是32PQxxt，即23PQtxx.于是222323PPQQxtytBCBDytxt22222()333.222()333PPQPPQPQQPQQQPxxxxxxxxxxxxxx又因为PQxPCQDx，所以BCPCBDQD.因为∠BCP∠90BDQ，所以△BCP∽△BDQ，故∠ABP=∠ABQ.（2）设PCa，DQb，不妨设a≥b0，由（1）可知∠ABP=∠30ABQ，BC=3a，BD=3b，所以AC=32a，AD=23b.（第13题）因为PC∥DQ，所以△ACP∽△ADQ.于是PCACDQAD，即3223aabb，所以3abab．由（1）中32PQxxt，即32ab，所以33322abab，，于是可求得23.ab将32b代入223yx，得到点Q的坐标（32，12）.再将点Q的坐标代入1ykx，求得3.3k所以直线PQ的函数解析式为313yx.11（2007）、已知抛物线C1：234yxx和抛物线C2：234yxx相交于A，B两点。点P在抛物线C1上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线C2上，也位于点A和点B之间。（1）求线段AB的长；104（2）当PQ∥y轴时，求PQ长度的最大值。t=0时，PQ=8