微积分综合练习题及参考答案

1综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题（1）函数)2ln(1)(xxf的定义域是．答案：2x且3x.（2）函数24)2ln(1)(xxxf的定义域是．答案：]2,1()1,2(（3）函数74)2(2xxxf，则)(xf．答案：3)(2xxf（4）若函数0,0,13sin)(xkxxxxf在0x处连续，则k．答案：1k（5）函数xxxf2)1(2，则)(xf．答案：1)(2xxf（6）函数1322xxxy的间断点是．答案：1x（7）xxx1sinlim．答案：1（8）若2sin4sinlim0kxxx，则k．答案：2k2．单项选择题（1）设函数2eexxy，则该函数是（）．A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A．xxsinB．2eexxC．)1ln(2xxD．2xx答案：C（3）函数)5ln(4xxxy的定义域为（）．A．5xB．4xC．5x且0xD．5x且4x答案：D（4）设1)1(2xxf，则)(xf（）A．)1(xxB．2x2C．)2(xxD．)1)(2(xx答案：C（5）当k（）时，函数0,0,2)(xkxexfx在0x处连续.A．0B．1C．2D．3答案：D（6）当k（）时，函数0,0,1)(2xkxxxf，在0x处连续.A．0B．1C．2D．1答案：B（7）函数233)(2xxxxf的间断点是（）A．2,1xxB．3xC．3,2,1xxxD．无间断点答案：A3．计算题（1）423lim222xxxx．解：4121lim)2)(2()1)(2(lim423lim22222xxxxxxxxxxxx（2）329lim223xxxx解：234613lim)1)(3()3)(3(lim329lim33223xxxxxxxxxxxx（3）4586lim224xxxxx解：3212lim)1)(4()2)(4(lim4586lim44224xxxxxxxxxxxxx综合练习题2（导数与微分部分）31．填空题（1）曲线1)(xxf在)2,1(点的切斜率是．答案：21（2）曲线xxfe)(在)1,0(点的切线方程是．答案：1xy（3）已知xxxf3)(3，则)3(f=．答案：3ln33)(2xxxf)3(f=27（)3ln1（4）已知xxfln)(，则)(xf=．答案：xxf1)(，)(xf=21x（5）若xxxfe)(，则)0(f．答案：xxxxfee2)()0(f22.单项选择题（1）若xxfxcose)(，则)0(f=（）．A.2B.1C.-1D.-2因)(cosecos)e()cose()(xxxxfxxx)sin(cosesinecosexxxxxxx所以)0(f1)0sin0(cose0答案：C（2）设yxlg2，则dy（）．A．12dxxB．1dxxln10C．ln10xxdD．1dxx答案：B（3）设)(xfy是可微函数，则)2(cosdxf（）．A．xxfd)2(cos2B．xxxfd22sin)2(cos4C．xxxfd2sin)2(cos2D．xxxfd22sin)2(cos答案：D（4）若3sin)(axxf，其中a是常数，则)(xf（）．A．23cosaxB．ax6sinC．xsinD．xcos答案：C3．计算题（1）设xxy12e，求y．解：)1(ee22121xxxyxx)12(e1xx（2）设xxy3cos4sin，求y.解：)sin(cos34cos42xxxyxxx2cossin34cos4（3）设xyx2e1，求y.解：2121(21exxyx（4）设xxxycosln，求y.解：)sin(cos12321xxxyxxtan2321综合练习题3（导数应用部分）1．填空题（1）函数yx312()的单调增加区间是．答案：),1(（2）函数1)(2axxf在区间),0(内单调增加，则a应满足．答案：0a2．单项选择题（1）函数2)1(xy在区间)2,2(是（）5A．单调增加B．单调减少C．先增后减D．先减后增答案：D（2）满足方程0)(xf的点一定是函数)(xfy的（）.A．极值点B．最值点C．驻点D．间断点答案：C（3）下列结论中（）不正确．A．)(xf在0xx处连续，则一定在0x处可微.B．)(xf在0xx处不连续，则一定在0x处不可导.C．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D．函数的极值点一定发生在不可导点上.答案：B（4）下列函数在指定区间(,)上单调增加的是（）．A．xsinB．xeC．2xD．x3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为xm，高为hm，容器的表面积为ym2。怎样做法所用材料最省即容器如何设计可使表面积最小。由已知22108,108xhhx所以xxxxxxhxy432108442222令043222xxy，解得唯一驻点6x。因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以6x是函数的极小值点也是最小值点。故当6xm，361082hm时用料最省.（2）用钢板焊接一个容积为43m底为正方形的开口水箱，已知钢板的费用为10元/m2，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费用最低？最低总费用是多少？解：设水箱的底边长为xm，高为hm，表面积为Sm2，且有24xh6所以,164)(22xxxhxxS2162)(xxxS令0)(xS，得2x.因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以当2xm,1hm时水箱的表面积最小.此时的费用为1604010)2(S（元）（3）欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为xm，高为hm，所用材料（容器的表面积）为ym2。由已知2232,32xhhx所以xxxxxxhxy12832442222令012822xxy，解得唯一驻点4x。因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以4x是函数的极小值点也是最小值点。故当4xm，24322hm时用料最省.请结合作业和复习指导中的题目进行复习。综合练习题4（一元函数积分部分）1．填空题（1）若)(xf的一个原函数为2lnx，则)(xf.答案：x2（2）若cxxxf2sind)(，则)(xf．答案：x2cos2（3）若______________dosxxc答案：cxsin（4）2dex．答案：cx2e7（5）xxd)(sin．答案：cxsin（6）若cxFxxf)(d)(，则xxfd)32(．答案：cxF)32(21（7）若cxFxxf)(d)(，则xxxfd)1(2．答案：cxF)1(212（8）.______d)2cos(sin112xxxxx答案：32（9）e12d)1ln(ddxxx.答案：0（10）xxde02=．答案：212．单项选择题（1）下列等式成立的是（）．A．)(d)(dxfxxfB．)(d)(xfxxfC．)(d)(ddxfxxfxD．)()(dxfxf答案：C（2）以下等式成立的是（）A．)1d(dlnxxxB．)(cosddsinxxxC．xxxddD．3ln3dd3xxx答案：D（3）xxfxd)(（）A.cxfxfx)()(B.cxfx)(C.cxfx)(212D.cxfx)()1(答案：A8（4）下列定积分中积分值为0的是（）．A．xxxd2ee11B．xxxd2ee11C．xxxd)cos(3D．xxxd)sin(2答案：A（5）设)(xf是连续的奇函数，则定积分aaxxf-d)(（）A．0B．0-d)(axxfC．axxf0d)(D．0-d)(2axxf答案：A（6）下列无穷积分收敛的是（）．A．0dinxxsB．1d1xxC．1d1xxD．02dexx答案：D3．计算题（1）xxd)12(10解：cxxxxx111010)12(221)1d(2)12(21d)12(（2）xxxd1sin2解：cxxxxxx1cos1d1sind1sin2（3）cxdxxxxxe2e2de(4)xxxd)e4(e22ln0解：)ed(4)e4(d)e4(e22ln022ln0xxxxx=3130)125216(31)e4(312ln03x(5)xxxdln51e19解：27)136(101)ln51(101)ln51()ln51(51dln51121e1eexxdxxxx(6)xxxde10解：1eedeede10101010xxxxxxxx(7)20dsinxxx解：1sindcoscosdsin20202020xxxxxxxx综合练习题5（积分应用部分）1．填空题(1)已知曲线)(xfy在任意点x处切线的斜率为x1，且曲线过)5,4(，则该曲线的方程是.答案：12xy(2)由定积分的几何意义知，xxaad022=.答案：42a(3)微分方程1)0(,yyy的特解为.答案：xye(4)微分方程03yy的通解为.答案：xcy3e(5)微分方程xyxyysin4)(7)4(3的阶数为．答案：42.单项选择题(1)在切线斜率为2x的积分曲线族中，通过点（1,4）的曲线为（）．A．y=x2+3B．y=x2+4C．22xyD．12xy答案：A(2)下列微分方程中，（）是线性微分方程．A．yyyxln2B．xxyyye2C．yyxyeD．xyyxyxlnesin答案：D(3)微分方程0y的通解为（）．A．CxyB．CxyC．CyD．0y10答案：C(4)下列微分方程中为可分离变量方程的是（）A.yxxydd；B.yxyxydd；C.xxyxysindd；D.)(ddxyxxy答案：B