第十讲功率谱估计随机过程的线性变换

2.随机序列的数字特征估计函数特征名函数名用法均值mean()m=mean(x)方差var()sigma2=var(x),sigma2=var(x,1)互相关xcorr()c=xcorr(x,y)c=xcorr(x)c=xcorr(x,y,’option’)‘biased’,‘unbiased’c=xcorr(x,’option’)‘coeff’,‘none’050100150200250300350400450500-10-5051001002003004005006007008009001000-0.500.51r=xcorr(x,’coeff’)3.功率谱估计(1)自相关法先求自相关函数的估计，然后求傅里叶变换||101ˆ()()()||NmXnRmxnmxnNm||10ˆˆ()()NmjnXXnGRme（2）周期图法10()()NjnnXxne21ˆ()|()|XGXN(Pxx,w)=periodogram(x)00.10.20.30.40.50.60.70.80.91024nx(n)=exp(j*w0*n-j*pi)+exp(j*w1*n-j*0.7*pi)+e(n)050100150200250300350400450500-50050PSDdirectcompute050100150200250300350400450500-100-500periodogramfunction应用实例：01()exp()exp(0.7)()xnjnjjnjen01100,50,10,1000SNRdBFs功率谱估计Periodogram周期图法periodogramWelchAveragedperiodogramsofoverlapped,windowedsignalsectionspwelchYule-WalkerARAutoregressive(AR)spectralestimateofatime-seriesfromitsestimatedautocorrelationfunctionpyulearpburgAutoregressive(AR)spectralestimationofatime-seriesbyminimizationoflinearpredictionerrorspburgCovarianceAutoregressive(AR)spectralestimationofatime-seriesbyminimizationoftheforwardpredictionerrorspcov（4）概率密度估计Ksdensity():估计概率密度Hist()：估计直方图a=0.8;sigma=2;N=5000;u=randn(N,1);x(1)=sigma*u(1)/sqrt(1-a^2);fori=2:Nx(i)=a*x(i-1)+sigma*u(i);endr=xcorr(x,'coeff');[f,xi]=ksdensity(x);subplot(2,1,1)plot(xi,f);subplot(2,1,2);hist(x,-10:0.1:10);-15-10-505101500.050.10.150.2-15-10-5051015020406080第二章学习小结2.1随机过程的基本概念和定义用随机相位信号与接收机噪声说明随机过程的概念定义：对随机试验的结果指定一个时间函数（样本函数）随机过程是时间与随机试验结果的二维函数。2.2随机过程的统计描述概率分布PDFCDF数字特征：均值、方差、相关函数2.3平稳随机过程ssswss循环平稳平稳随机过程的自相关函数的性质2.4随机过程的联合分布和互相关函数2.5随机过程的功率谱定义,维纳-辛钦定理功率谱的性质功率谱的计算随机序列的功率谱2.6典型随机过程白噪声正态随机过程2.7基于Matlab的统计分析随机数的产生iid随机数的产生：用MATLAB函数产生任意分布随机数产生相关正态随机数的产生特征估计：均值，方差相关函数，功率谱PDF2.8信号处理实例图像处理的实例—直方图均衡相移键控的数字调制PAM信号自相关函数与功率谱分析关于相关函数的思考考虑一个随机相位信号()cos(2(0.1))xnAn2()cos(2(0.1))2ARmm()cos(2(0.1))rmm这是一个可预测的过程，即如果知道某个时刻的值，那么未来的值就可以完全预测。如(0)cos()xA1cos((0)/)xA1ˆ()cos(2(0.1)cos((0)/)))xnAnxA但如果采用线性预测00()()xnkaxnb00000ˆ()()()()()enkxnkxnkxnkaxnb00000ˆ()()()()()enkxnkxnkxnkaxnb22000[()]{[()()]}EenkExnkaxnb2000[()]2[()()]0EenkExnkaxnbb000[()][()]bExnkaExnmam0000ˆ()()()[()]xnkaxnbaxnmammaxnm0000000ˆ()()()()()()()[()]enkxnkxnkxnkaxnmamxnkmaxnm22000[()]()[()]EenkExnkmaxnm20000[()]2()[()][()]EenkaExnkmaxnmxnm20000000000[()]2{[()()[()][()]]()}2{[()[()][()[()]]EenkaExnkaxnExnkaExnxnExnkExnkaxnExn0020{[()]()}[()]ExnkbxnaExn000()[()][()]0Exnkmaxnmxnm200220{[()][()]}(){[()](0)XXExnkmxnmRkmaExnmRm00202ˆ()[()]()[()](0)XXxnkmaxnmRkmmxnmRm当m=0时，000()ˆ()()()()(0)XXXRkxnkxnrkxnR对于随机相位信号00ˆ()cos[2(0.1)]()xnkkxnˆ()cos[2(0.1)](0)cos[2(0.1)]cosxkkxka如果n0=00102030405060708090100-1-0.500.510102030405060708090100-1-0.500.51()xnˆ()xn()rn()en1,/4a第三章随机过程的线性变换3.1变换的基本概念与基本定理3.2随机过程的导数与积分3.3随机过程通过线性系统分析3.4随机序列通过离散线性系统分析3.5信号处理实例—最佳线性滤波器3.6线性系统输出端随机过程的概率分布定义：给定一个随机过程X(t)，我们按照某种法则，对它的每一个样本函数x(t),都指定一个对应函数y(t),于是，我们就得到了一个新的随机信号Y(t)，记为Y(t)=T[X(t)]T就叫做从随机信号X(t)到Y(t)的变换。T)(tY)(tX3.1变换的基本概念及基本定理1变换的基本概念确定性变换（DeterministicTransform）如果e1和e2分别为两个随机试验的结果，如果12(,)(,)xtexte12(,)(,)yteyte2线性变换其中A1,A2为随机变量，X1(t),X2(t)为随机过程。对于线性变换若有则称线性变换L是线性时不变的。)]([)]([)]()([22112211tXLAtXLAtXAtXAL)]([)(tXLtY)]([)(tXLtY3线性变换的基本定理定理1：设则)]([)(tXLtY)]([)(tXELtYE()[()][()]EYtELXtLEXt所以算子L、E可以交换次序。由于证明：L()ixt()iyt1212121()()()....()1[()][()]....[()]1()()....()()nnnYtytytytnLxtLxtLytnLxtxtxtnLXt()[()],()[()]nnYtEYtXtEXt定理2：设)]([)(tXLtY)],([),(21212ttRLttRXtXY)],([)],([),(212121211ttRLLttRLttRXttXYtY则21212121212(,)[()()]{()[()]}{[()()]}[(,)]XYtXRttEXtYtEXtLXtLEXtXtLRtt证明：对于线性时不变系统，若X(t)是严平稳的，则Y(t)是严平稳；若X(t)是广义平稳的，则Y(t)是广义平稳的。4性质输出的均值和相关函数可以分别由输入的均值和相关函数确定。[()][()]EYtLEXt121212[()()][()()]ttEYtYtLLEXtXt推广:输出的k阶矩可有输入的k阶矩来确定123123123[()()()][()()()]tttEYtYtYtLLLEXtXtXt1随机过程的极限则称随机变量序列{Xn}依均方收敛于随机变量X，或称变量X是序列{Xn}依均方收敛意义下的极限，记为：l.i.m即LimitinmeansquareXXmilnn3.2随机过程的导数与积分0}){(lim2XXEnn(1)随机变量的极限定义：设随机变量X和Xn(n=1,2,)均有二阶矩，若有22{()}{||}nnEXXPXX由切比雪夫不等式，2{()}0nEXX当n时所以{||}0nPXXXn依概率1收敛于X0}])({[lim20XtXEttXtXmiltt)(0(2)随机过程的极限0})]()({[lim2000tXttXEt)()(000tXttXmilt2随机过程的连续性),(21ttRX如果在(t0,t0)处连续，则X(t)在t=t0处连续平稳随机过程连续的充要条件是在=0处连续()XR二元传输信号的样本是不连续的，()XtT12T3T4T-1t121212||||(,)0XTttttTRttTother()XR在=0处连续，所以X(t)是均方连续。如果X(t)连续，则均值亦连续0lim()()XXtmttmt00lim{()}[()]{()}ttEXttEXtElimXttttXttXmildttdXt)()()(3随机过程的导数可导的充要条件:2121212(,)XRttttttt存在平稳随机过程可导的充要条件：自相关函数在=0处存在一、二阶导数()XtT12T3T4T-1t121212||||(,)0XTttttTRttTother二元传输信号均方连续，但不可导niiinttXYE120}])({[lim4随机过程的积分niiinttXmilY1)(在区间划分为n等份(,)ab()baYXtdt3.3随机过程通过线性系统分析3.3.1冲激响应法h(t)X(t)Y(t))()()()()(tXthdhtXtY系统的输出()Lht()()()[()]YthtXtLXt输出的均值：()[()]()()()()YXXXmtLmthtmthmtd)0()()(HmdhmdhmmXXXY若X(t)平稳•自相关函数11212112(,)[(,)]()(,)YtXYXYRttLRt