高等数学：数列极限

黄山职业技术学院教案第3次课授课课题1.2数列极限授课时数2课型理论课教学方法启发、讲授教学目的1.理解数列极限的概念，能初步根据数列极限的定义确定一些简单数列的极限.2.观察运动和变化的过程，初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，提高的数学概括能力、抽象思维能力和审美能力3.掌握数列极限的性质重点数列极限的概念以及简单数列的极限的求解难点从变化趋势的角度理解数列极限的概念授课班级16三计算机16三数字媒体授课日期2月22日2月22日月日月日月日月日教学过程一．新课导入1.提出问题思考一个初一的数学题：.0.9和1之间用哪个符号“=”、“”、“”连接？2.引言极限这个概念在我们生活中经常出现，有人专门研究人的寿命极限，人的运动极限（包括人的速度极限，人的跳高极限，人的耐力极限等等），而我们今天研究数学中的极限。我们知道，在17世纪有个伟大的数学成果，也就是牛顿和莱布尼茨建立了微积分，解决了当时很多的科学问题。但是随后却爆发了数学史上的第二次数学危机，例如阿斯里基追龟问题。直到100多年后，柯西详细而系统的发展了极限理论，才消除了此次危机。其实，我们中国古代就有了极限思想的萌芽。3.观察（1）战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰日取其半万世不竭”（2）三国时的刘徽提出的“割圆求周”的方法：他把圆周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分…这样继续分割下去，所得多边形的周长就无限接近于圆的周长。即：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”二．新课讲授1.数列的概念（1）定义：如果按照某一法则使得对任何一个正整数n有一个确定的数nx则得到一列有次序的数12,,,,nxxx这一列有次序的数就叫做数列记为{xn}其中第n项xn叫做数列的一般项。例如：1111:1,,,,,23nn2:2,4,8,,2,nn(1):1,1,1,,(1),nn11(1)14(1):2,,,,,23nnnnnn（2）整标函数数列可以理解为正整数n的函数：()1,2,nxfnn，所以，称数列为整标函数,其定义域是正整数集.因此，我们要研究函数的极限可以先从数列极限着手。2.数列的极限（1）观察归纳，形成概念请同学们考察下列几个数列的变化趋势A.1111:1,,,,,23nnB.1341:2,,,,,23nnnn（2）数列极限的定义对于无穷数列{xn}：12,,,,nxxx如果当n无限增大时数列的一般项xn无限地接近于某一确定的常数a则称当n时，数列{xn}以a为极限或称数列nx收敛于a,记作lim(,)nnnxanxa.例如：1lim0nn、1lim1nnn（3）敛散性收敛：如果数列存在极限，则称数列是收敛的发散：如果数列极限不存在，则称数列是发散的（4）经典例题解析例1：观察无穷数列333,,1,,,2n的变化趋势，并写出极限观察无穷数列111(1)1,,,,,23nn的变化趋势，并写出极限注：数列cn的极限为0.例2：讨论无穷数列1[1(1)]2nnx当n无限增大时的变化趋势，说明其极限是否存在例3：讨论无穷数列sinn的极限。例4：讨论nnxq当n无限增大时的变化趋势注：01lim1111nnqqqqq不存在或例5：1lim(1)2nn例6：证明：.0.913.极限的四则运算若lim,limnnnnxayb，则有（1）limnCC（2）代数和：lim()limlimnnnnnnnxyxyab（3）乘积：lim()limlimnnnnnnnxyxyab特别有：lim()limnnnCxCCa（4）除法：limlim(0)limnnnnnnnxxabyyb注：四则运算可以扩充的有限个数列代数和，乘积的极限运算例7：22212lim()nnnnn例8：21lim[(1)]12nnnnn例:9：2222lim321nnnnn例10：2322lim321nnnnn例11：3222lim321nnnnn注：111011100,lim,,nnnnnmmnmmnnmaxxaxaanmbxbxbxbbnm4.课堂练习（1）1(1)lim[1]nnn（2）11lim[(1)]2nnnne（3）222lim421nnnnn（4）322lim421nnnnn（5）232lim421nnnnn（6）将0.36化成分数三．课堂小结1.数列极限的定义2.数列极限的运算法则3.数列极限的性质：保号性、有界性、夹逼性四．课后作业1.课本P14:1(1)、（2）、（3）、（4）；2（1）、（2）2.补充：讨论下列数列的极限（1）(1)13nnnx（2）1nnxn（3）23nnnx（4）41nnxn五．板书设计1.数列的定义eg1：eg2：2.数列的极限3.运算法则（1）lim()limlimnnnnnnnxyxyab（2）lim()limlimnnnnnnnxyxyab（3）limlim(0)limnnnnnnnxxabyyb4.性质课后小结：本节课主要是讲述了有关数列极限的定义，让同学们感受了无限逼近的一种数学思想。参考资料及教具：参考资料：《数学分析》、《高等数学基础》、《数学史》教具：多媒体、粉笔、黑板