MATLAB中的插值运算

MATLAB中的插值运算在数学中，有时需要查表，如对数表。在具体查表时，需要的数据表中可能没有，这时一般可以先找出它相邻的数，再从表中查出其相应结果，然后按一定的关系把这些相邻的数以及它相应的结果加以修正，就可求出要查数的数据结果的近似值，这个修正关系就是一种插值。在实践中，常常需要测量某些数据，但由于客观条件的限制，所测得的数据可能不够细密，满足不了实践的需要，这时便可以通过插值方法对数据进行加密处理。此外，对于给定的离散数据对，如果要找一个函数来近似描述其对应关系，常常也需要插值。与插值有关的MATLAB函数(一)POLY2SYM函数主要功能：把多项式的系数向量转换为符号多项式。调用格式一：poly2sym(C)调用格式二：f1=poly2sym(C,'V')或f2=poly2sym(C,sym('V')),(二)POLYVAL函数主要功能：估计多项式的值。调用格式：Y=polyval(P,X)(三)POLY函数主要功能：把根转换为多项式的系数向量。调用格式：Y=poly(V)(四)CONV函数主要功能：计算卷积和多项式的和。调用格式：C=conv(A,B)(五)DECONV函数主要功能：计算逆卷积和多项式的除法、商和余式。调用格式：[Q,R]=deconv(B,A)(六)roots(poly(1:n))命令调用格式：roots(poly(1:n))(七)det(a*eye(size(A))-A)命令调用格式：b=det(a*eye(size(A))-A)1.Lagrange插值方法介绍对给定的n个插值点12x,,...nxx及对应的函数值12,,...,nyyy，利用n次Lagrange插值多项式，则对插值区间内任意x的函数值y可通过下式求的：11y()()nnjkkjkjjkxxxyxxMATLAB中没有直接实现拉格朗日算法的函数所以需建立M文件：functiony=lagrange(a,b,x)y=0;fori=1:length(a)l=1;forj=1:length(b)ifj==il=l;elsel=l.*(x-a(j))/(a(i)-a(j));endendy=y+l*b(i);end算例：给出f(x)=ln(x)的数值表，用Lagrange计算ln(0.54)的近似值。x=[0.4:0.1:0.8];y=[-0.916291,-0.693147,-0.510826,-0.356675,-0.223144];lagrange(x,y,0.54)ans=-0.6161优缺点：拉格朗日插值法的公式结构整齐紧凑，在理论分析中十分方便，然而在计算中，当插值点增加或减少一个时，所对应的基本多项式就需要全部重新计算，于是整个公式都会变化，非常繁琐。这时可以用重心拉格朗日插值法或牛顿插值法来代替。此外，当插值点比较多的时候，拉格朗日插值多项式的次数可能会很高，因此具有数值不稳定的特点，也就是说尽管在已知的几个点取到给定的数值，但在附近却会和“实际上”的值之间有很大的偏差。这类现象也被称为龙格现象，解决的办法是分段用较低次数的插值多项式。2、Runge现象和分段插值问题的提出：根据区间[a,b]上给出的节点做插值多项式p(x)的近似值，一般总认为p(x)的次数越高则逼近f(x)的精度就越好，但事实并非如此。反例：21()1fxx在区间[-5,5]上的各阶导数存在，但在此区间上取n个节点所构成的Lagrange插值多项式在全区间内并非都收敛。取n=10,用Lagrange插值法进行插值计算。x=[-5:1:5];y=1./(1+x.^2);x0=[-5:0.1:5];y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+x0.^2);%绘制图形plot(x0,y0,'--r')%插值曲线holdonplot(x0,y1,‘-b')%原曲线为解决Rung问题，引入分段插值。算法分析：所谓分段插值就是通过插值点用折线或低次曲线连接起来逼近原曲线。MATLAB实现：可调用内部函数。命令：interp1功能：一维数据插值（表格查找）。该命令对数据点之间计算内插值。它找出一元函数f(x)在中间点的数值。其中函数f(x)由所给数据决定。格式：yi=interp1(x,Y,xi,method)%用指定的算法计算插值：‘nearest’：最近邻点插值，直接完成计算；‘linear’：线性插值（缺省方式），直接完成计算；‘spline’：三次样条函数插值。‘cubic’：分段三次Hermite插值。例题：对2()1/(125),11fxxx进行Lagrange插值x0=-1+2*[0:10]/10;y0=1./(1+25*x0.^2);x=-1:.01:1;y=lagrange(x0,y0,x);%Lagrange插值ya=1./(1+25*x.^2);plot(x,ya,x,y,':')y1=interp1(x0,y0,x);plot(x,ya,x,y1);