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第1页（共24页）相似三角形一．选择题（共4小题）1．如图，在钝角△ABC中，AB=5cm，AC=10cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止，点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒，如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（）A．2.5秒B．4.5秒C．2.5秒或4.5秒D．2.5秒或4秒2．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，它们相交于G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对3．如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，连接BE交AC于点F，交AD于点H，连结DF并延长交AB于点G，下列结论中，正确的个数是（）①∠CFD=60°②S△BGF=S△DHF③△AHE≌△FGB④△EDH∽△EFD．A．4B．3C．2D．14．已知一次函数y=2x+2与x轴y轴分别交于A、B两点，另一直线y=kx+3交x轴正半轴于E、交y轴于F点，如△AOB与E、F、O三点组成的三角形相似，那第2页（共24页）么k值为（）A．﹣0.5B．﹣2C．﹣0.5或﹣2D．以上都不对二．填空题（共5小题）5．如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE=45°．若PF=，则CE=．6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D在边AC上，AD=5，DE⊥BC于点E，连结AE，则△ABE的面积等于．7．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F．若CD=5，BC=8，AE=2，则AF=．8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，AP=．第3页（共24页）9．如图，正方形ABCD中，BE=EF=FC，CG=2GD，BG分别交AE，AF于M，N．下列结论：①AF⊥BG；②BN=NF；③=；④S四边形CGNF=S四边形ANGD．其中正确的结论的序号是．三．解答题（共6小题）10．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）求证：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长；11．△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=2，CQ=9时BC的长．第4页（共24页）12．△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF=∠B．（1）如图1，求证：DE•CD=DF•BE（2）D为BC中点如图2，连接EF．①求证：ED平分∠BEF；②若四边形AEDF为菱形，求∠BAC的度数及的值．13．如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC．（1）求证：AB=GD；（2）如图2，当CG=EG时，求的值．14．如图1，在锐角△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC上，且满足∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M．（1）证明：DM=DA；（2）点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图2，求证：△DEG∽△ECF；第5页（共24页）（3）在图2中，取CE上一点H，使得∠CFH=∠B，若BG=5，求EH的长．15．已知△ABC，AC=BC，点E，F在直线AB上，∠ECF=∠A．（1）如图1，点E，F在AB上时，求证：AC2=AF•BE；（2）如图2，点E，F在AB及其延长线上，∠A=60°，AB=4，BE=3，求BF的长．第6页（共24页）参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．如图，在钝角△ABC中，AB=5cm，AC=10cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止，点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒，如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是（）A．2.5秒B．4.5秒C．2.5秒或4.5秒D．2.5秒或4秒【解答】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则AD=t，CE=2t，AE=AC﹣CE=10﹣2t．①当D与B对应时，有△ADE∽△ABC．∴AD：AB=AE：AC，∴t：5=（10﹣2t）：10，∴t=2.5；②当D与C对应时，有△ADE∽△ACB．∴AD：AC=AE：AB，∴t：10=（10﹣2t）：5，∴t=4．∴当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是2.5秒或4秒．故选D．2．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，它们相交于G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有（）第7页（共24页）A．2对B．3对C．4对D．5对【解答】解：∵在▱ABCD中，E、F分别是AD、CD边上的点，连接BE、AF，他们相交于G，延长BE交CD的延长线于点H，∴△AGB∽△FGH，△HED∽△HBC，△HED∽△BEA，△AEB∽△HBC，共4对．故选C．3．如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，连接BE交AC于点F，交AD于点H，连结DF并延长交AB于点G，下列结论中，正确的个数是（）①∠CFD=60°②S△BGF=S△DHF③△AHE≌△FGB④△EDH∽△EFD．A．4B．3C．2D．1【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠BAD=90°，∠BCF=∠DCF=∠BAC=45°，∵△ADE是等边三角形，∴AE=AD=DE=AB，∠DAE=60°，∴∠BAE=150°，∵AB=AE，第8页（共24页）∴∠ABE=∠AEB=15°，∴∠CFB=∠FBA+∠BAF=60°，在△FCB和△FCD中，，∴△FCB≌△FCD，∴∠CFD=∠CFB=60°．故①正确，同理可证△AFB≌△AFD，△AFG≌△AFH，∴S△AFB=S△AFD，S△AFG=S△AFH，∴S△BFG=S△DFH，故②正确，在△BFG中的最长边BF，△AHE中的最长边为AE，显然BF＜AE，∴△AHE与△FGB不全等，故③错误，∵∠AFE=∠BFC=∠CFD=60°，∴∠DFE=60°=∠EDH，∵∠DEH=∠FED，∴△EDH∽△EFD，故④正确．故选B．4．已知一次函数y=2x+2与x轴y轴分别交于A、B两点，另一直线y=kx+3交x轴正半轴于E、交y轴于F点，如△AOB与E、F、O三点组成的三角形相似，那么k值为（）A．﹣0.5B．﹣2C．﹣0.5或﹣2D．以上都不对【解答】解：∵一次函数y=2x+2与x轴y轴交于A、B两点，∴A（﹣1，0），B（0，2），∴OA=1，OB=2，∵直线y=kx+3交y轴于F点，第9页（共24页）∴F（0，3），∴OF=3，∵△AOB与E、F、O三点组成的三角形相似，∴=或=，即=或=，解得OE=或OE=6，当OE=时，y=﹣2x+3，或OE=6时，y=﹣x+3，所以，k=﹣2或﹣．故选：C．二．填空题（共5小题）5．如图，正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P，点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE=45°．若PF=，则CE=．【解答】解：如图，连接EF．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA=2，∠DAB=90°，∠DCP=45°，∴AM=BM=1，第10页（共24页）在Rt△ADM中，DM===，∵AM∥CD，∴==，∴DP=，∵PF=，∴DF=DP=PF=，∵∠EDF=∠PDC，∠DFE=∠DCP，∴△DEF∽△DPC，∴=，∴=，∴DE=，∴CE=CD﹣DE=2﹣=．故答案为．6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D在边AC上，AD=5，DE⊥BC于点E，连结AE，则△ABE的面积等于78．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，∴BC==25，△ABC的面积=AB•AC=×15×20=150，∵AD=5，∴CD=AC﹣AD=15，∵DE⊥BC，∴∠DEC=∠BAC=90°，第11页（共24页）又∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CBA，∴，即，解得：CE=12，∴BE=BC﹣CE=13，∵△ABE的面积：△ABC的面积=BE：BC=13：25，∴△ABE的面积=×150=78；故答案为：78．7．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F．若CD=5，BC=8，AE=2，则AF=．【解答】解：过O点作OM∥AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，∴OM是△ABD的中位线，∴AM=BM=AB=，OM=BC=4，∵AF∥OM，∴△AEF∽△MEO，∴=，∴=，∴AF=，第12页（共24页）故答案为．8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，AP=3．【解答】解：如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．∵∠PQB=∠QBR=∠BRP=90°，∴四边形PQBR是矩形，∴∠QPR=90°=∠MPN，∴∠QPE=∠RPF，∴△QPE∽△RPF，∴==2，∴PQ=2PR=2BQ，第13页（共24页）∵PQ∥BC，∴AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，∴2x+3x=3，∴x=，∴AP=5x=3．故答案为3．9．如图，正方形ABCD中，BE=EF=FC，CG=2GD，BG分别交AE，AF于M，N．下列结论：①AF⊥BG；②BN=NF；③=；④S四边形CGNF=S四边形ANGD．其中正确的结论的序号是①③．【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=CD，∵BE=EF=FC，CG=2GD，∴BF=CG，∵在△ABF和△BCG中，，∴△ABF≌△BCG，∴∠BAF=∠CBG，∵∠BAF+∠BFA=90°，∴∠CBG+∠BFA=90°，即AF⊥BG；①正确；②∵在△BNF和△BCG中，，∴△BNF∽△BCG，∴==，∴BN=NF；②错误；③作EH⊥AF，令AB=3，则BF=2，BE=EF=CF=1，第14页（共24页）AF==，∵S△ABF=AF•BN=AB•BF，∴BN=，NF=BN=，∴AN=AF﹣NF=，∵E是BF中点，∴EH是△BFN的中位线，∴EH=，NH=，BN∥EH，∴AH=，=，解得：MN=，∴BM=BN﹣MN=，MG=BG﹣BM=，∴=；③正确；④连接AG，FG，根据③中结论，则NG=BG﹣BN=，∵S四边形CGNF=S△CFG+S△GNF=CG•CF+NF•NG=1+=，S四边形ANGD=S△ANG+S△ADG=AN•GN+AD•DG=+=，∴S四边形CGNF≠S四边形ANGD，④错误；故答案为①③．第15页（共24页）三．解答题（共6小题）10．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）求证：BD=CE；（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长；【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=∠CAE