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1数学思维训练第一讲：数学小知识1、分数的资料：早在人类文化发展的初期，由于度量和均分的实际需要，就引入并使用分数，我国古代把分数叫做“命分”。人类认识分数，也经历了一个漫长的历史过程，开始只使用具体的分数，如一半、一半的一半多，后来逐渐出现三分之一、三分之二等分数，最初分数的表示法跟现在不一样，例如没有分数线，阿拉伯人发明了分数线。我国最早的数学著作《周髀算经》记载了分数算法，我国古代另一部著作《九章算术》里面，已经有完整的分数四则运算2、集合思想：一年级在学习认数和分类知识中，已经有所接触，高年级的公因数和公倍数、三角形和四边形的分类，数的分类（正数、0、负数）3、指南针是用来指示方向的，早在2000年前，我们的祖先就先用磁石制作了指示方向的仪器——司南，后来又发明了罗盘，指南针是我国古代四大发明（造纸术、印刷术、火药、指南针）之一。4、除号“÷”是三百多年前一个瑞士人首先使用的，用一条横线把两个圆点分开，恰好表示了平均分的意思。5、我们居住的地球总是绕着太阳旋转的。地球绕太阳转一圈需要365天5时48分46秒。为了方便，将一年定为365天，叫做平年。这样，每过4年差不多就要多出1天来，把这1天加在2月里，这一年就有366天，叫做闰年。我2国古代就知道一年有365天零天。地球在绕太阳转的同时，自己还不停的旋转。地球自己旋转一圈的时间就定为一日。一日是24时6、早在2000多年前，我国劳动人民就会计算土地的面积。当时用亩做单位。先用走步量出长方形土地的长和宽的步数（一步=5尺），计算出它们的积，然后除以240，就得亩数。亩这个单位现在已经废除，一亩约等于667平方米。7、我国古代用小棒表示小数，就把小数点后面的数放低一格。例如。把3.12摆成，这是世界上最早的小数表示方法。在西方，小数出现很晚。最早使用小圆点作为小数点的是德国数学家克拉维斯。现在，有一部分国家用小圆点“。”表示小数点，还有一部分国家用逗号“，”表示小数点。8、大约在3世纪时，印度人发明了一种特殊的数字，大约12世纪时，阿拉伯人把印度数字带到欧洲。欧洲人称它们为“阿拉伯数字”3第二讲：数学小知识9、求近似数的方法：1四舍五入法2进一法3去尾法10、莫比乌斯带又叫莫比乌斯圈，是德国数学家莫比乌斯在1858年研究“四色定理”时偶然发现的，它属于拓扑学的内容。它在生活中和生产中都有应用。例如，机器上的传动带就可以做出“莫比乌斯带”状，这样传动带就不会只磨损一面了。11、“规”和“矩”是我国古代劳动人民创造和使用的两种测量和画图的工具。规是用来画圆的，相当于现在的圆规；矩是用来画长方形、正方形、直角等工具，相当于现在的角尺。公元前2000年（大禹治水年代），我国劳动人民就开始使用规和矩这些工具了。12、人们经过研究发现，长和宽的比大约是1：0.618的长方形看起来美观、漂亮。这个比叫做黄金比，这样的长方形被称为黄金矩形。黄金比被广泛应用于绘画、摄影、建筑等许多领域中，为我们的生活创造了美。13、中华人民共和国国旗长和宽的比是3：214、最早研究圆的周长与直径关系的数学家是刘徽415、约2000年前，在中国古代的数学著作《周髀算经》中就有“周三径一”的说法，约1500年前，中国的一位伟大的科学家祖冲之计算出圆周率应在3.1415926.1415927之间，他用两个分数（）与（）近似表示圆周率。成为世界上第一次把圆周率的值精确到7位小数的人。他的这项伟大成就比欧洲数学家的计算结果至少要早1000年。现在人们已经能用计算器算出圆周率的小数点后面上亿位。16、早在三千六百多年前，埃及人就会用方程解决数学问题了。在我国古代，大约两千年前成书的《九章算术》中，就记载了用一组方程解决实际问题的史料。一直到三百多年前，法国的数学家笛卡儿第一个提倡用x、y、z等字母代表未知数，才形成了现在的方程。5第三讲：数学小知识17、大约在两千年前，我国数学名著《九章算术》中的“方天章”就论述了平面图形面积的算法。书中说：“方田数曰，广从步数相乘得积步。”其中“方田”是指长方形田地，“广”和“从”是指长和宽。也就是说：长方形面积=长×宽。还说：“圭田术曰，半广以乘正从。”就是说：三角形面积=底×高÷2。18、我国古代数学家刘徽利用出入相补原理来计算平行四边形的面积。出入相补原理就是把一个图形分割、移补，而面积保持不变。来计算出它的面积。19、完全数：6的因数有1,2,3,6，这几个因数的关系是：1+2+3=6.像6这样的数，叫做完全数（也叫做完美数）。28也是完全数，而8则不是，因为1+2+4≠8.完全数非常稀少，到2013年，人们在无穷无尽的自然数里，一共找出了48个完全数，其中较小的有6,28,496,8128等。20、两人一组，一人给出大于2的偶数，另一人找出和为此数的两个质数。从上面的游戏我们看到：4=2+2,6=3+3,8=5+3,10=7+3,12=7+5,14=11+3……那么，是不是所有大于2的偶数，都可以表示为两个质数的和呢？这个问题是德国数学家哥德巴赫最先提出的，所以被称作哥德巴赫猜想。哥德巴赫猜想看似简单，要证明却非常困难，成为数学中一个著名的难题，被称为“数学皇冠上的明珠”。世界各国的数学家都想攻克这一难题，但至今还未解决。我国数学家陈景润在6这一领域取得了举世瞩目的成果。21、几何学和欧几里得：几何学是数学学科的一个重要分支，它源于土地测量等实际需要。古希腊数学家欧几里得被称为“几何之父”，他的著作《原本》在数学发展史上有着深远的影响。该书从17世纪初开始传入我国。22、人们很早就得出了长方体、圆柱等形体的体积计算公式。因为它们是河堤、谷仓等的常见形状，而且还有计算体积的需要。我国古代数学名著《九章算术》中，集中而正确地给出了立体图形的体积计算公式。书中在求底面是正方形的长方体体积时，是这样说的：“方自乘，以高乘之即积尺。”就是说先用边长乘边长得底面积，再乘高就得到长方体的体积。23、化简一个分数时，用2约了两次，用3约了一次，得。原来的分数是多少？24、我国古代的数学著作《九章算术》就介绍了“约分术”：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”意思是说：如果分子、分母全是偶数，就先除以2；否则以较大的数减去较小的数，把所得到的差与上一步中的减数比较，并再以大数减去小数，如此重复进行下去，当差与减数相等即出现“等数”时，用这个等数约分。这种方法被后人称为“更相减损术”。7第四讲：一般应用题（一）例题解析：例题：有两筐苹果，甲筐重42千克，乙筐重36千克。从甲筐中取出多少千克苹果放入乙筐，才能使两筐苹果重量相等？思路分析：由条件可知，甲筐比乙筐多42-36=6（千克）。要使两筐的重量相等，只要把甲筐比乙筐多的6千克平均分成两份，取其中的1份放入乙筐中就行了。所以从甲筐中取6÷2=3（千克）放入乙筐，才能使两筐的苹果重量相等。解：（42-36）÷2=3（千克）答：从甲筐中取出3千克放入乙筐，才能使两筐苹果的重量相等。对应练习1、妈妈去买水果，她所带的钱正好能买18千克苹果或25千克梨。已知每千克梨比每千克苹果便宜0.7元，妈妈一共带了多少钱？2、光华机械厂加工2100个零件，计划平均每天加工75个，6天后改进了技术，平均每天加工150个。这样完成这批零件共需几天？3、加工一批零件，师傅单独做需要10小时，徒弟单独做需要15小时，已知师傅比徒弟多加工了20个。问师徒两人共同加工这批零件需要几小时？8第五讲：一般应用题（二）例题解析：例题：甲组的图书是乙组的3倍，若乙组给甲组6本，则甲组的图书是乙组的5倍。原来甲组有图书多少本？思路分析：甲组的图书是乙组的3倍，若乙组拿出6本，甲组相应地也拿出6×3=18本，则甲组仍是乙组的3倍。事实上甲组不但没拿出18本，反而接受了乙组的6本，（18+6）就正好对应着后来乙组的（5-3）倍。因此，后来乙组有图书（18+6）÷（5-3）=12（本），乙组原来有12+6=18本，甲组原来有18×3=54本。解：（6×3+6）÷（5-3）=12本（12+6）×3=54本答：原来甲组有图书54本。对应练习1、有1800千克的货物，分装在甲、乙、丙三辆车上。已知甲车装的千克数正好是乙车的2倍，乙车比丙车多装200千克。甲、乙、丙三辆车各装货物多少千克？2、有甲、乙、丙三袋面粉，甲、乙两袋共重32千克，乙、丙两袋共重30千克，甲、丙两袋共重22千克。甲、乙、丙三袋各重多少千克？9第六讲：作图法解应用题例题解析：例题：两个数相除，商4余8，被除数、除数、商和余数之和等于415，则余数是多少？思路分析：根据题意：被除数÷除数=4……8，那么，根据除法各部分之间的关系。被除数=除数×4+8，被除数是除数的4倍还多8，就可以用线段图表示出它们之间的关系，如果把除数设为X,则被除数是4X+8.解法一：设除数为X,，则被除数4X+8，列方程得：X+4X+8+4+8=415X=79对应练习：2、两个数相除，商4余1，被除数、除数、商和余数的和是156，除数是多少？3、一个长方形如果宽不变，长增加6米，面积就增加30平方米，如果长不变，宽增加3米，面积就增加24平方米，这个长方形原来有多少平方米？变式练习：1、五（1）班的男生人数和女生人数同样多，选派18名男生和26名女生参加实践活动，剩下的男生是女生的3倍。五（1）班原来有男女生各多少人？10第七讲：排列与组合例题解析：例题：有三张数字卡片，分别0、1、2。从中挑出两张排成一个两位数，一共可以排成多少个两位数？思路分析：排列时要注意“0”不能排在最高位。（1）个位数排1，个位数有两个数字可选，这样的数共有两个10、12.（2）个位上排2，个位上也有两个数字可选，这样的数字也有两个，20、21.从以上列举容易发现，一共可以排成2×2=4（个）两位数。对应练习：1、在一次羽毛球比赛中：（1）5个队进行单循环赛，需比赛多少场？（每两个队之间比赛1次称为1场）（2）40名运动员进行淘汰赛，最后决出冠军，共要打几场球？2、用数字0、5、8、9可以组成多少个没有重复数字的四位数？11第八讲：数的整除例题解析：例题：最高上数字是1，并且能同时被2、3、5整除的最小四位数是多少？思路分析：能同时被2、5整除，个位上数字只能为0，为使这四位数最小，百位数字取0，进而由3的倍数的特征知十位数字为2、5、8，从而最小四位数是1020.对应练习1、用一个数去除35、98、112都能整除，这个数最大是多少？2、一个数用12、18、30除都能整除，这个数最小是多少？3、一张长方形纸长60厘米，宽45厘米，把它剪成若干个同样大的正方形，使边长是整厘米数且不能有剩余，最少能剪多少个？变式练习1、一个两位数，被9除余7，被7除余5，被3除余1，求这个两位数。12第九讲：长方体和正方体例题解析：例题：有甲、乙两个长方体容器，甲长10厘米。宽8厘米，高5厘米；乙长5厘米，宽4厘米，高6厘米。现在甲容器中装满水，而乙容器是空的。要将甲容器中的一部分水倒入乙容器中，使得甲、乙两容器中的水一样深，这时，两容器中的水深多少厘米？思路分析：原来甲容器中的水一共是10×8×5=400（立方厘米）。而此时两容器的底面积和是10×8+5×4=100（平方厘米），我们用体积除以底面积和就可以得到此时的水深。解：10×8×5÷（10×8+5×4）=4厘米答：这时，两容器中的水深4厘米。对应练习1、一个长方体的底面是边长为5厘米的正方形，它的侧面积是160平方厘米，它的体积是多少立方厘米？2、一个长方体，如果高增加2厘米，就变成一个正方体，这时便面积比原来增加56平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？（180页图）13第十讲：包含与排除问题例题解析：例题：一个班有学生45人，参加语文小组的有25人，参加数学小组的有35人，并且每人至少参加一个小组，这个班两个小组都参加的有多少人？解析：如图，左边的椭圆表示参加语文小组的人数，右边的椭圆表示参加数学小组的人数，两个椭圆重叠部分表示两个组都参加的人数，如果我们把25+