相似三角形模型分析大全

1第一部分相似三角形模型分析大全一、相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型）（平行）（不平行）（二）8字型、反8字型（蝴蝶型）（平行）（不平行）（三）母子型（四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景ABCDECBADEJOADBCABCDABCDCAD2（五）一线三直角型：（六）双垂型：二、相似三角形判定的变化模型CAD3旋转型：由A字型旋转得到。8字型拓展共享性一线三等角的变形一线三直角的变形第二部分相似三角形典型例题讲解母子型相似三角形例1、已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上,ABCDEB．求证：（1）DADEDB2；（2）DACDCE．CBEDAGABCEFACDEB4例2、已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：EGEFBE2．点评：本题考查了等腰三角形的性质、等腰三角形三线合一定理、平行线的性质、相似三角形的判定和性质．关键是能根据所证连接CE相关练习：1、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．5求证：OEOAOC2．2、如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FCFBFD2．3、已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．ACBPDE（第4题图）6双垂型1、如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高求证：（1）△ABD∽△ACE；（2）△ADE∽△ABC；(3)BC=2ED解答：证明：（1）∵CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，∴∠AFB=∠AEC，∠A为公共角，∴△ABD∽△ACE（两角对应相等的两个三角形相似）．（2）由（1）得AB：AC=AD：AE，∠A为公共角，∴△ADE∽△ABC（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）(3)∵△ADE∽△ABC∴AD：AB=DE：BC又∵∠A=60°∴BC=2ED共享型相似三角形1、△ABC是等边三角形,D、B、C、E在一条直线上,∠DAE=120，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.DEABC7如图∵△ABC是等边三角形∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°又∵DBCE在一条直线上∴∠ADB+∠DAB=∠CAE+∠AEC=∠ABC=60°∵∠DAE=120°∴∠DAB+∠CAE=∠DAE-∠BAC=120°-60°=60°由上可知∠ADB=∠CAE，∠DAB=∠CAE∴△DAB∽△AEC∵三角形相似对应边成比例∴BD／AC=AB／CE∵BD=1，CE=3∴AB=AC=√32、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．求证：（1）△ABE∽△ACD；（2）CDBEBC22．解答：证明：（1）在Rt△ABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C=45°．（1分）∵∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠DAE=45°，ABCDEEDCAB8∴∠BAE=∠BAD+45°．（1分）而∠ADC=∠BAD+∠B=∠BAD+45°，（1分）∴∠BAE=∠CDA．（1分）∴△ABE∽△DCA．（2分）（2）由△ABE∽△DCA，得．（2分）∴BE•CD=AB•AC．（1分）而AB=AC，BC2=AB2+AC2，∴BC2=2AB2．（2分）∴BC2=2BE•CD．（1分）点评：此题考查了相似三角形的判定和性质，特别是与勾股定理联系起来综合性很强，难度较大．一线三等角型相似三角形例1：如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60°（1）求证：△BDE∽△CFD（2）当BD=1，FC=3时，求BE证明：（1）∵△ABC是等边三角形∴∠B=∠C=60°∵∠EDF=60°∴∠CDF+∠EDB=180°-∠EDF=120°∠BED+∠EDB=180°-∠B=120°∴∠CDF=∠BED∵∠B=∠C∴△BDE相似△CFD2、∵BD=1∴CD=BC-BD=6-1=5∵△BDE相似△CFD∴BE/CD=BD/CFCADBEF9BE/5=1/3BE=5/3例2、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．（1）如图8，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．①求证；△ABP∽△DPC②求AP的长．（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE＝1时，写出AP的长．解答：解：（1）∵ABCD是梯形，AD∥BC，AB=DC．∴∠A=∠D∵∠ABP+∠APB+∠A=180°，∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，∠BPC=∠A∴∠ABP=∠DPC，∴△ABP∽△DPC∴，即：解得：AP=1或AP=4．（2）①由（1）可知：△ABP∽△DPQ∴，即：，∴（1＜x＜4）．②当CE=1时，AP=2或．点评：本题结合梯形的性质考查二次函数的综合应用，利用相似三角形得出线段间的比例关CBADCBADCDABP10系是求解的关键．例3：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，6ABCDBC，3AD．点M为边BC的中点，以M为顶点作EMFB，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，联结EF．（1）求证：△MEF∽△BEM；（2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；（3）若EFCD，求BE的长1.证明:∵AB=CD.∴梯形ABCD为等腰梯形,∠B=∠C;又∠EMF=∠B,则:∠CMF=180度-∠EMF-∠BME=180度-∠B-∠BME=∠BEM.∴⊿CMF∽⊿BEM,MF/EM=CM/BE=BM/BE.∵MF/EM=BM/BE;∠EMF=∠B.∴△MEF∽△BEM.2.解:当BM=BE=3时:MF/ME=BM/BE=1,则MF=ME.∴EF∥BC;又BE=3=AB/2.故EF为梯形的中位线,EF=(AD+BC)/2=9/2;当ME=BM=3时:∠MEB=∠B=∠C=∠FMC.连接DM.BM=BC/2=3=AD,又BM平行BM,则四边形ABMD为平行四边形.∴∠DMC=∠B=∠FMC,即F与D重合,此时EF=CD=6.3.解:∵EF⊥CD;∠CFM=∠BME=∠EFM.∴∠EFM=45°=∠BME.作EG⊥BM于G,则EG=GM;作AH⊥BM于H.BH=(BC-AD)/2=3/2,AH=√(AB²-BH²)=3√15/2.设EG=GM=X,则BG=3-X.BG/BH=EG/AH,(3-X)/(3/2)=X/(3√15/2),X=(45-3√15)/14.BE/BA=EG/AH,即BE/6=[(45-3√15)/14]/(3√15/2),BE=(6√15-6)/7.11练习：如图，已知边长为3的等边ABC，点F在边BC上，1CF，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边EFG，直线,EGFG交直线AC于点,MN，（1）写出图中与BEF相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设,BExMNy，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（4）若1AE，试求GMN的面积．1213一线三直角型相似三角形例：已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作CPPE，交边AB于点E,设yAExPD,，（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。(2)如果△PCD的面积是△AEP面积的4倍，求CE的长；(3)是否存在点P，使△APE沿PE翻折后，点A落在BC上？证明你的结论。EBCADP备用图14解答：（1）解：∵PE⊥CP，∴可得：△EAP∽△PDC，∴，又∵CD=2，AD=3，设PD=x，AE=y，∴，∴y=-，0＜x＜3；（2）解：当△PCD的面积是△AEP面积的4倍，则：相似比为2：1，∴，∵CD=2，∴AP=1，PD=2，∴PE=，PC=2，∴EC=．（3）不存在．作AF⊥PE，交PE于O，BC于F，连接EF∵AF⊥PE，CP⊥PE∴AF=CP=，PE=，∵△CDP∽△POA∴=，OA=，若OA=AF=，3x2-6x+4=0△=62-4×4×3=-12x无解因此，不存在．点评：此题主要考查了相似三角形的判定，以及相似三角形面积比是相似比的平方．15相关练习1、(2009虹口二模）如图，在ABC中，90C，6AC，3tan4B，D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点，作90DEF，EF交射线BC于点F．设BEx，BED的面积为y．（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）如果以B、E、F为顶点的三角形与BED相似，求BED的面积.16