全称量词与存在量词

你能判断下列语句是否为命题吗？若是命题，请判断真假．(1)2x－1是整数；(2)x2＋2x－30；(3)存在x∈R，使x2＋2x－30；(4)对任意x∈R，x2＋2x＋30.对于(3)，(4)中的词语“存在”、“任意”你理解了吗？1．全称量词和全称命题全称量词、、、.符号∀全称命题含有的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可简记为.所有的任意一个一切任给全称量词“∀x∈M，p(x)”2.存在量词和特称命题存在量词、、、______.符号表示∃特称命题含有的命题形式“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”，可用符号记为.存在一个至少有一个有些有的存在量词“∃x0∈M；p(x0)”1．将“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是()A．∀x，y∈R，都有x2＋y2≥2xyB．∃x0，y0∈R，使x＋y≥2x0y0C．∀x0，y0，都有x2＋y2≥2xyD．∃x00，y00，使x＋y≤2x0y0解析：这是一个全称命题，且x，y∈R，故选A.答案：A2．下列全称命题中假命题的个数是()①2x＋1是整数(x∈R)②对所有的x∈R，x3③对任意一个x∈Z,2x2＋1为奇数A．0B．1C．2D．3解析：对于①，当x＝14时，2x＋1＝32不是整数，假命题．对于②，当x＝0时，03，假命题．对于③，当x∈Z时，2x2是偶数，进而2x2＋1是奇数，所以①②是假命题，故选C.答案：C3．下列命题，是全称命题的是________；是特称命题的是________．①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．解析：①③是全称命题，②④是特称命题．答案：①③②④4．指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假：(1)当a＞1时，则对任意x，曲线y＝ax与曲线y＝logax有交点．(2)∃x∈R，使得x2－x＋1≤0.(3)被5整除的整数的末位数字都是0.(4)有的四边形没有外接圆．解析：(1)、(3)是全称命题，(2)、(4)是特称命题，对(1)当a＞1时，y＝ax与y＝logax都是增函数且两函数是互为反函数；图象关于直线y＝x对称故没有交点．所以(1)是假命题．对于(2)，∵x2－x＋1＝x－122＋34≥34恒成立∴(2)是假命题．对于(3)，∵末位数字是5的整数也能被5整除．∴(3)是假命题．对于(4)，∵只有对角互补的四边形才有外接圆∴(4)是真命题．判断下列语句是全称命题还是特称命题，并判断真假．(1)有一个实数α，tanα无意义；(2)任何一条直线都有斜率吗？(3)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径；(4)圆内接四边形，其对角互补；(5)指数函数都是单调函数．[解题过程](1)特称命题．α＝π2时，tanα不存在，所以，特称命题“有一个实数α，tanα无意义”是真命题．(2)不是命题．(3)含有全称量词，所以该命题是全称命题，又任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，所以，全称命题“所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径”是真命题．(4)“圆内接四边形，其对角互补”的实质是“所有的圆内接四边形，其对角都互补”，所以该命题是全称命题且为真命题．(5)虽然不含逻辑联结词，其实“指数函数都是单调函数”中省略了“所有的”，所以该命题是全称命题且为真命题．[题后感悟]判定一个语句是全称命题还是特称命题可分三个步骤：(1)首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题．(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题．(3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．1.判断下列语句是全称命题还是特称命题：(1)没有一个实数α，tanα无意义．(2)存在一条直线其斜率不存在．(3)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径吗？(4)圆外切四边形，其对角互补．(5)有的指数函数不是单调函数．解析：(1)为全称命题．(2)为特称命题．(3)不是命题．(4)为全称命题．(5)为特称命题．将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表示，并判断真假．(1)实数的平方是非负数；(2)整数中1最小；(3)方程ax2＋2x＋1＝0(a1)至少存在一个负根；(4)对于某些实数x，有2x＋10；(5)若直线l垂直于平面α内任一直线，则l⊥α.[解题过程]题号符号表示真假判断(1)∀x∈R，x2≥0真(2)∀x∈Z，x≥1假(3)∃x0，有ax2＋2x＋1＝0(a1)真(4)∃x∈R，有2x＋10真(5)若∀a⊂α，l⊥a，则l⊥α真[题后感悟]同一个全称命题或特称命题，可能有不同的表述方法，现列表总结如下，在实际应用中可以灵活选择：命题全称命题“∀x∈A，p(x)”特称命题“∃x∈A，p(x)”表述方法①所有的x∈A，p(x)成立②对一切x∈A，p(x)成立③对每一个x∈A，p(x)成立④任意一个x∈A，p(x)成立⑤凡x∈A，都有p(x)成立①存在x∈A，使p(x)成立②至少有一个x∈A，使p(x)成立③对有些x∈A，p(x)成立④对某个x∈A，p(x)成立⑤有一个x∈A，使p(x)成立2.(1)用“量词”表述下列命题，并判断真假：①存在实数对(x，y)，使2x＋3y＋20成立；②有些三角形不是等腰三角形；③至少有一个实数使不等式x2－3x＋60成立；(2)用文字语言表述下列命题：①∀x∈R，x2≥0；②∃α∈R，sinα＝cosα.解析：(1)①∃x∈R，y∈R,2x＋3y＋20.真命题；②∃x∈{三角形}，x不是等腰三角形，真命题；③∃x∈R，x2－3x＋60.假命题.(2)①a.对任意实数x，都有x2≥0；b．对所有实数x，都有x2≥0；c．对每一个实数x，都有x2≥0.②a.存在角α∈R，使sinα＝cosα成立；b．至少有一个角α，使sinα＝cosα成立；c．对于有些角α，满足sinα＝cosα.判断下列命题的真假：(1)∀x∈R，x2＋2x＋10；(2)∃x0∈R，|x0|≤0；(3)∀x∈N*，log2x0；(4)∃x0∈R，sinx0＝π2.解答本题可根据命题中所含量词的含义进行判断．[规范作答](1)∵当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0，∴原命题是假命题.(2)∵当x＝0时，|x|≤0成立，∴原命题是真命题.(3)∵当x＝1时，log2x＝0，∴原命题是假命题.(4)∵当x∈R时，sinx∈[－1,1]，而π21，∴不存在x0∈R，使sinx0＝π2，∴原命题是假命题.[题后感悟](1)要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是假命题，只要能举出一个反例，即在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．(2)要判定特称命题“∃x0∈M，p(x0)”是真命题，只需要找到集合M中的一个元素x0使p(x0)成立即可．只有当对集合M中的任意一个元素x，p(x)都不成立时，才说明这个特称命题是假命题．3.判断下列命题的真假：(1)∀x∈R，sinx＋cosx≤2.(2)∀x∈{3,5,7},3x＋1是偶数；(3)∃x0∈Q，x20＝3；(4)∃x0∈R，x20－x0＋1＝0.解析：(1)∵sinx＋cosx＝2sinx＋x4≤2恒成立，∴对任意的实数x，sinx＋cosx≤2都成立，故该命题是真命题．(2)因为对集合{3,5,7}中的每一个值，都有3x＋1是偶数，所以“∀x∈{3,5,7},3x＋1是偶数”是真命题．(3)由于使x2＝3成立的实数只有±3，且它们都不是有理数，因此，没有任何一个有理数的平方能等于3，所以“∃x0∈Q，x20＝3”是假命题．(4)因为对于x2－x＋1＝0，Δ0，所以方程x2－x＋1＝0无实数根，所以“∃x0∈R，x20－x0＋1＝0”是假命题．1．如何理解全称命题和特称命题？全称命题是陈述某集合中的所有元素都具有(不具有)某种性质的命题，无一例外，强调“整体、全部”．特称命题是陈述某集合中有(存在)一个元素具有(不具有)某种性质的命题，强调“个别、部分”的特殊性．[特别提醒]全称命题与特称命题中可能存在多个量词，多个变量．如：∀x∈R，y∈R，(x＋y)(x－y)0，∃α0，β0∈R，使sin(α0＋β0)＝sinα0＋sinβ0.2．如何判定全称命题和特称命题的真假？对全称命题，若要判定为真命题，需对每一个x都验证使p(x)成立；若要判定为假命题，只需举一个反例．对特称命题，若要判定为真命题，只需找一个元素x0使p(x0)成立；若要判定为假命题，需证明对每一个x，p(x)不成立.P91—10,11