圆的方程

1圆的方程【知识要点】一、圆的标准方程1、圆的定义圆是到定点的距离等于定长的点的集合.由此我们可知：以点(,)Cab为圆心，以r为半径的圆的标准方程为222()()xaybr.2、圆的标准方程的推导设圆心为(,)Cab，半径为r，点M满足的条件为PMMCr.由两点距离公式可知，点(,)Mxy满足的条件为22()()xaybr.把上式两边平方，得：222()()xaybr即圆的彼岸准方程为222()()xaybr.3、圆的标准方程的特点圆的标准方程显示了圆心的位置和半径的大小.确定圆的要素有两个：圆心和半径，其中圆心确定了圆的位置，半径确定了圆的大小.在确定圆的过程中，如果由已知条件容易求出圆心坐标和半径或需要利用圆心、半径的有关条件列方程时，一般利用圆的标准方程求解.4、圆的几个特殊位置的标准方程（1）圆心在原点(0,0)O，半径为r的圆的标准方程为222xyr；（2）半径为r且与x轴相切于点(,0)a的圆的标准方程为222()()xayrr；（3）半径为r且与y轴相切于点(0,)b的圆的标准方程为222()()xrybr；2（4）半径为r且与x轴、y轴都相切的圆的标准方程为222()()xryrr.二、圆的一般方程1、方程220AxBxyCyDxEyF表示圆的充要条件二元二次方程220AxBxyCyDxEyF表示圆的充要条件为：①0AC；②0B；③2240DEAF.其中，条件①与条件②皆为二元二次方程220AxBxyCyDxEyF表示圆的必要条件.因为若二元二次方程220AxBxyCyDxEyF仅满足条件①与条件②，那么二元二次方程220AxBxyCyDxEyF可以转化为220DEFxyxyAAA.对上式配方可得：222224()()224DEDEAFxyAAA（i）当2240DEAF时，原方程表示一个点(,)22DEAA；（ii）当2240DEAF时，原方程不表示任何图形；（iii）当2240DEAF时，原方程表示一个圆，其圆心为(,)22DECAA，半径为2242DEAFrA.2、圆的一般方程二元二次方程220xyDxEyF表示圆的充要条件为：2240DEF.对二元二次方程220xyDxEyF，配方可得：22224()()224DEDEFxy3（i）当2240DEF时，原方程表示一个点(,)22DE；（ii）当2240DEF时，原方程不表示任何图形；（iii）当2240DEF时，原方程表示一个圆，其圆心为(,)22DEC，半径为2242DEFr.因而，当2240DEF时，我们把方程220xyDxEyF叫作圆的一般方程.3、圆的标准方程与圆的一般方程之间的互化（1）圆的一般方程化为圆的标准方程：把圆的一般方程：220xyDxEyF（注意隐含条件：2240DEF）配方可得圆的标准方程：22224()()224DEDEFxy；（2）圆的标准方程化为圆的一般方程：把圆的标准方程：222()()xaybr展开可得圆的一般方程：22222220xyaxbyabr.三、点与圆的位置关系1、平面内一点与圆的位置关系的判定已知圆的方程为222()()xaybr，显然圆心为(,)Cab，半径为r，那么平面内一点00(,)Pxy与圆222()()xaybr的位置关系有：（1）点P在圆上22200()()xaybrPCr；（2）点P在圆内22200()()xaybrPCr；（3）点P在圆外22200()()xaybrPCr.42、平面内一点到圆上的点的最大距离与最小距离平面内一点P到圆上的点的最大距离为PCr；点P到圆上的点的最小距离为PCr（其中，C为圆的圆心，r为圆的半径）.四、确定圆的方程的方法确定圆的方程的重要方法是待定系数法.1、如果已知条件中圆心的位置易于确定，则可以选择圆的标准方程列方程组、求系数，即列出关于a、b、r的方程组，求出a、b、r的值，或直接求出圆心(,)ab及半径r.一般步骤如下：Step1：根据题意，设所求圆的标准方程为222()()xaybr；Step2：根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；Step3：求解这个方程组，并把它们代入前面所设的方程中去，整理后，即可得到所要求的圆的方程.【注】运用待定系数法去求圆的标准方程时，应尽量利用圆的几何性质去确定其圆心(,)ab及半径r，这样的话，将会大大减少计算量.一般可以利用圆心的三个几何性质：①圆心在过切点且垂直于切线的直线上；②圆心在某一条弦的垂直平分线上；③圆心在圆的任意一条直径上，且为直径的中点.2、如果已知条件中圆心的位置不确定或难以确定，则可以选择圆的一般方程列方程组、求系数.在圆的一般方程220xyDxEyF中，含有三个相互独5立的参数D、E、F，因此，必须具备三个独立的条件才能通过列出关于D、E、F的方程组，求出D、E、F的值，最终确定出圆的一般方程.一般步骤如下：Step1：根据题意，设所求圆的一般方程为220xyDxEyF；Step2：根据已知条件，建立关于D、E、F的方程组；Step3：求解这个方程组，并把它们代入前面所设的方程中去，整理后，即可得到所要求的圆的方程.五、圆的直径式方程的求法设11(,)Axy、22(,)Bxy是圆的某条直径的两个端点，(,)Pxy为圆上任意异于点A、B的一点，则90APB，即PAPB，于是有1PAPBkk，而11PAyykxx，22PByykxx，12121yyyyxxxx，故有1222()()()()0xxxxyyyy，此即圆的直径式方程.六、常见的圆系方程1、过定直线与定圆的交点的圆系方程过定直线l：0AxByC和定圆220xyDxEyF的交点的圆系方程为22()0xyDxEyFaAxByC.2、过两圆的交点的圆系方程过两圆221110xyDxEyF和222220xyDxEyF的交点的圆系方程为2222111222()0xyDxEyFxyDxEyF，特别地，当1时，该方程表示两圆公共弦所在直线的方程.6【例题解析】题型1圆的定义1、若方程222(2)20axayaxa表示圆，则a_______.解：方程222(2)20axayaxa表示圆2122aaaa或（ⅰ）若1a，则原方程即为01222xyx，亦即2)122yx（，表示圆；（ⅱ）若2a，则原方程即为0244422xyx，亦即02122xyx)(这里，21,0,1FED.由于01201422FED因此，方程)(不表示任何图形。故1a题型2圆心到直线的距离2、圆2228130xyxy的圆心到直线10axy的距离为1，则a_______.解：圆34-2228130xyxy的标准方程为3)4()1(22yx，圆心为（1，4）圆心（1，4）到直线10axy的距离为134111412aaa题型3圆的标准方程和一般方程3、经过坐标原点和点)1,1(P，且圆心在直线0132yx上的圆的方程为7_______.解：10101opk，OP中点为)21,21(OP的中垂线方程为21)21(121xxy，即01yx所求圆的圆心在直线0132yx上，而弦OP的中垂线也过圆心联立010132yxyx可得34yx，此即所求圆的圆心为（4，-3）又圆的半径5)03()04(22r故圆的方程为25)3()4(22yx4、经过点)2,3(A，(5,2)B且圆心在直线230xy上的圆的方程为_______.解：2)3(522ABk，AB中点为)0,4(AB的中垂线方程为)4(210xy，即042yx所求圆的圆心在直线230xy上，而弦AB的中垂线也过圆心联立042032yxyx可得12yx，此即所求圆的圆心为（-2，-1）又圆的半径10)21()3(222r故圆的方程为10)1()2(22yx5、若圆心在x轴上、半径为5的O位于y轴左侧，且与直线20xy相切。则O的方程为_______.解：设圆心为)0,(a，由题意知，0a8O与直线20xy相切圆心)0,(a到直线20xy的距离等于半径于是有55210222aa，舍去5a故O的方程为5)5(22yx6、已知圆的半径为10，圆心在直线2yx上，且圆被直线yx所截得的弦长为42。则圆的标准方程为_______.解：由于半径、半弦、弦心距构成一个直角三角形因此弦心距2)224()10(22d又所求圆的圆心在直线2yx上所以可设所求圆的圆心为)2,(aa于是有2211222aaa故所求圆的标准方程为10)4()2(10)4()2(2222yxyx或7、经过(2,4)P，(3,1)Q两点，且在x轴上所截得的弦长为6的圆的方程为_______.解：设所求圆的方程为022FEyDxyx由于圆过(2,4)P，(3,1)Q两点因此02042FED①，0103FED②又圆被x轴所截得的弦长为6，设该弦左端点为)0,(1xA,右端点为)0,(2xB则621xx9由0022yFEyDxyx得，02FDxxFxxDxx2121,于是由621xx，有3642FD③由①②③得，8,4,2FED或0,8,6FED故所求圆的方程为084222yxyx或08622yxyx8、经过)2,4(P，)3,1(Q两点，且在y轴上所截得的弦长为34的圆的方程为_______.解：设所求圆的方程为022FEyDxyx由于圆过)2,4(P，)3,1(Q两点因此02024FED①，0103FED②又圆被y轴所截得的弦长为34，设该弦上顶点为),0(1yA，下顶点为),0(2yB则3421yy由0022xFEyDxyx得，02FEyyEyy21，Fyy21于是由3421yy，有4842FE③由①②③得，12,0,2FED或4,8,10FED故所求圆的方程为012222xyx或0481022yxyx题型4与圆的有关的最值问题9、在圆22260xyxy内，过点(0,1)E的最长弦和最短弦分别为AC和BD。则四边形ABCD的面积为_______.10解：圆22260xyxy，即10)3()1(22yx，圆心为)3,1(F，半径10r5)13()01(22EF圆22260xyxy内过点(0,1)E的最长弦为1022rAC，最短弦为5251022222EFrBEBD.故2105210221212122BDACBEACSSABCABCD四边形【方法总结】（ⅰ）直径是圆内最长弦；在所有过圆内某点的弦当中，垂直于过该点的直径的弦最短。下证：BDAC证明：BEBEBEBEEFBEBFEFBEBEF525521052cos22222DEDEDEDEEFD