直线和椭圆位置关系总结大全

11.直线和椭圆位置关系判定方法概述1直线斜率存在时221ykxbmxny222()210mknxkbnxb当0时直线和椭圆相交当0时直线和椭圆相切当0时直线和椭圆相离2直线斜率不存在时22221xxyab判断y有几个解注：01无论直线斜率存在与否，关键是看联立后的方程组有几组解，而不是看。02直线和椭圆位置关系的判断只有这种“坐标法”，无几何法。2.直线和椭圆相交时1弦长问题弦长公式22121221111ABkxxkyyak注：2121212()4xxxxxx而12xx和12xx可用韦达定理解决，不必求出1x和2x的精确值，“设而不求”思想初现。2三角形面积01过x轴上一定点H的直线l与椭圆22221xyab交于A、B两点，求AOBS1212AOBSOHyy02过y轴上一定点H的直线l与椭圆22221xyba交于A、B两点，求AOBS1212AOBSOHxx03弦任意，点任意12S弦长×点线距注：仍然蕴含“设而不求”思想。3弦的中点问题01中点弦所在直线方程问题02平行弦中点轨迹03共点弦中点轨迹04其他问题2类型题一：直线与椭圆位置1.已知直线2kxy和椭圆12322yx，当k取何值时，此直线与椭圆：（1）相交；（2）相切；（3）相离。2.已知直线2kxy与椭圆2222yx相交于不同的两点，求k的取值范围。3.点P在椭圆284722yx上，则点P到直线01623yx的距离的最大值为_____，最小值为________．类型题二：弦长公式1.已知椭圆：1922yx，过左焦点1F作倾斜角为6的直线交椭圆于BA,两点，求弦AB的长。32.已知椭圆122nymx与直线1yx相交于BA,两点C为AB的中点。22AB，OC的斜率为22（O为原点），求椭圆方程。3.已知椭圆2241xy及直线yxm．（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为2105，求直线的方程．4.已知直线mxy与椭圆1422yx相交于BA、两点，当m变化时，求AB的最大值。4类型题三：弦中点问题（点差法）1.已知椭圆193622yx，弦AB的中点是)1,3(M,求弦AB所在的直线方程。2.直线1yx被椭圆2224xy所截的弦的中点坐标是（）（A）(31,－32)（B）(－32,31)（C）(21,－31)（D）(－31,21)3.已知椭圆221369xy，椭圆内一点(4,2)P,则以P为中点的弦所在的直线的斜率是（A）21（B）－21（C）2（D）－24．中心在原点，一个焦点为1F50,0的椭圆截直线23:xyl所得的弦的中点的横坐标为21，求椭圆的方程．55．已知椭圆方程为1925:22yxC，求：（1）中点为（4，1）的弦所在直线的方程；（2）斜率为3的直线与椭圆相交所得弦的中点的轨迹；（3）过点（4，3）的直线与椭圆相交所得弦的中点的轨迹。类型题四：与三角形面积有关的问题1.过椭圆22154xy的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于BA,两点，O为坐标原点，求OAB的面积。62.椭圆1204522yx的两个焦点为21,FF，过左焦点作直线与椭圆交于BA,两点，若2ABF的面积为20，求直线的方程。3.已知椭圆)0(1:2222babyaxG的离心率为36，右焦点为)0,22(，斜率为1的直线l与椭圆G交于BA,两点，以AB为底边作等腰三角形顶点为P（-3,2）.（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）求PAB的面积.74.若直线l与椭圆C：x23＋y2＝1交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为32，求△AOB面积的最大值．5.已知椭圆22142xy的两个焦点是1F，2F，点P在该椭圆上．若12||||2PFPF，则△12PFF的面积是______．6.已知21,FF是椭圆)0(1:2222babyaxC的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且21PFPF.若21FPF的面积为9，则______b.87.在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点(30)，，(30)，的距离之和等于4，设点P的轨迹为曲线C，直线l过点(1,0)E且与曲线C交于A，B两点．（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；（Ⅱ）是否存在△AOB面积的最大值，若存在，求出△AOB的面积；若不存在，说明理由.类型题五：与向量有关的问题1.在直角坐标系xOy中，曲线C上的点P到两定点)3,0(，)3,0(的距离之和等于4，直线1kxy与C交于A，B点.若OBOA，求k的值.92.直线2ykx与椭圆2213xy交于不同两点A和B，且1OAOB（其中O为坐标原点），求k的值．3.已知直线1kxy与双曲线1322yx相交于BA、两点，O是坐标原点，如果OBOA,求k的值。104.已知F1、F2是椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限的一点，B也在椭圆上，且满足OA＋OB＝0(O为坐标原点)，2AF·21FF＝0，且椭圆的离心率为22.(1)求直线AB的方程；(2)若△ABF2的面积为42，求椭圆的方程．11类型题六：定值定点问题1.已知椭圆:C22221(0)xyabab的离心率为63，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为523．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知动直线(1)ykx与椭圆C相交于A、B两点．①若线段AB中点的横坐标为12，求斜率k的值；②若点7(,0)3M，求证：MAMB为定值．122.已知椭圆C:22221(0)xyabab,经过点P3(1,)2，离心率是32.(I)求椭圆C的方程；(II)设直线l与椭圆C交于,AB两点，且以AB为直径的圆过椭圆右顶点M，求证：直线l恒过定点．133.已知椭圆2222:1(0)xyCabab经过点3(1,)2，离心率为32．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线(1)(0)ykxk与椭圆C交于,AB两点，点M是椭圆C的右顶点．直线AM与直线BM分别与y轴交于点,PQ，试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．