巧用反比例函数的对称性解题

巧用反比例函数的对称性反比例函数图象的对称性在解题时常荐会被忽略，但是事实上它的作用无处不在，而且它让我们感受到数形结合是多么的奇妙．一、求代数式的值例1如果一个正比例函数与一个反比例函数6yx的图象交于A11()xy、，22()xy、两点，那么2121()()xxyy的值为方法一设正比例函数的解析式是ykx，与反比例函数6yx联立方程，消去y得到260kx由韦达定理，可知121260,xxxxk又1122.,ykxykx∴2121()()xxyy2121()()xxkxkx221()kxx21212()4kxxxx604kk=24方法二反比例函数和正比例函数都关于原点成中心对称图形，所以，12xx且，12yy∴2121()()xxyy2222()()xxyy22424xy这两种解题方法中明显是第二种方法比较简单、快捷、明了，可见反比例函数图形的对称性不可忽视．反比例函数的对称有两种．一种是关于原点的中心对称，另一种是关于直线yx的轴对称．其实在解题过程中恰当地运用这两种对称性会快捷得多，下面再看几个例子来体验一下．二、求比例系数k例2如图1，已知直线2yx分别与x轴y轴交于A，B两点，与双曲线kyx交于E，F两点，若AB=2EF，则k的值是方法一将直线2yx与反比例函数kyx联立方程，得到220xxk由韦达定理，可知12122,xxxxk又EF=12AB=2=122xx得244411backa解得34k方法二由图形的对称性可知，反比例函数和一次函数2yx都关于直线yx对称，又AB=2EF，故有BF=FM=ME=AE．而A(2，0)，B(0，2)，所以F13(,)22，易得34k．三、图形面积问题例3如图2，过点O作直线与双曲线(0)kykx交于A，B两点，过点B作BC⊥x轴于点c，作BD⊥y轴于点D．在x轴，y轴上分别取点E，F，使点A，E，F在同一条直线上，且AE=AF设图中矩形OCBD的面积为1s，△EOF。的面积为2s，则1s，2s的数量关系是解析设A(m，一n)，过点O的直线与双曲线kyx交于A，B两点，则A，B两点关于原点对称，则B(一m，n)．矩形OCBD中，易得OD=n，OC=m，=mn．在Rt△EOF中，AE=AF，故A为EF中点，OF=2n，OE=2m，则2s=12×OF×OE=2mn，故21s=2s．例4如图3，反比例函数(0)kykx的图象与以原点(0，0)为圆心的圆交于A，B两点，且A(1，3)，图中阴影部分的面积等于．(结果保留π)解析由于反比例函数和圆都是中心对称图形，故阴影部分面积可以看成是扇形AOB的面积．再利用图形关于直线yx对称，可知B(3，1)，所以，∠BOX=30°，∠AOX=60°，易得3S2扇形AOB302=360．从以上例题的分析可观察到，对于反比例函数与一次函数yxb或yxb相结合的问题，利用轴对称比较方便；而当反比例函数与正比例函数ykxy或圆相结合的时候，中心对称必然能发挥作用．总之，利用反比例函数的对称性，要先观察，再计算(数形结合)，这样会比直接代数运算方便很多．