高等数学第四章不定积分习题课

第四章不定积分习题课一、不定积分的基本概念与性质1．原函数与不定积分的概念(1)原函数的定义：(2)不定积分的定义：设为一个原函数，则()Fx()fx()()fxdxFxC在区间上，若()()Fxfx[,]ab则称是在上原函数。()Fx()fx[,]ab2．不定积分的性质(1)线性性质：1212[()()]()()kfxkgxdxkfxdxkgxdx(2)微分与积分运算：()();dfxdxfxdx()();dfxdxfxdx[]();dF(x)dxFxCdx()()CdFxdxFx二、基本计算方法1．直接积分法首先要对被积函数进行恒等变形，然后利用不定积分的基本性质和基本积分表求出不定积分。2．第一类换元法（凑微分法）：设，则()()Fufu(())()(())()fxxdxfxdx(())FxC3．第二类换元法（变量置换法）：1()()[(())()]txfxdxfttdt第二类换元法：三角代换倒代换简单无理函数代换注意：式中回代。()xt必须单调可导，对t作完积分后,要用反函数1()tx5．有理函数的积分法：积分法要点：若是假分式，先作多项式除法，使4．分部积分法：uvdxuvuvdx或udxuvvdx变为一次分式和二次分式的代数和。之变为：“多项式+真分式”。对真分式进行分项，使之6．万能公式法：如果被积函数是三角函数有理式()(sin,cos)fxRxx则可采用万能公式。令tan2xu则2arctanxu22sin1uxu221cos1uxu221dxduu从而2222212(sin,cos)(,)111uuRxxdxRduuuu☆在具体计算不定积分的过程中，不是一种方法就可以解决，要熟练掌握几种积分法并融会贯通，综合应用。三、典型例题、【例1】设()Fx是sinxx的原函数，求()dFx2()dFx解：由于()Fx是sinxx的原函数，故sin()()xdFxFxdxdxx令2ux，则2()()dFxdFu'()Fudusin2uxdxu22sinxdxx【例2】求不定积分(2)fxdx解：利用不定积分的性质()()fxdxfxC，可知1(2)(2)(2)2fxdxfxdx1(2)2fxC【例3】求不定积分5(32)xdx51(32)(32)2xdx61(32)12xC解：5(32)xdx分析：由于被积函数不能直接利用基本公式和凑微然后可利用基本公式。分法求解，所以应该首先对被积函数进行代数恒等变形，【例4】求不定积分22221(1)xdxxx2222(1)(1)xxdxxx1arctanxCx解：22221(1)xdxxx22111dxdxxx【例5】求不定积分21xdxxx然后利用凑微分法。22222(1)1(1)xxxxxxxx分析：一般情况下首先分母要进行有理化，解：2222(1)(1)1xxxxdxdxxxxx322111(1)32xxdx332211(1)33xxC221xdxxxdx【例6】求不定积分11lndxxx分析：此题属于(ln)fxdxx型，故凑(ln)dxdxx解：11(ln)1ln1lndxdxxxx1(1ln)1lnxdx21lnxC【例7】求不定积分21xdxxx解：2211(12)32xxdxdxxxxx221(12)3[]211()42xdxdxxxx22221()1()322211()()22dxdxxdxxxx23arcsin(21)2xxxC【例8】求不定积分11xIdxe分析：由于被积函数1()1xfxe，不能直接利用基本公式和凑微分法求解，所以应该先对被积函数11(1)xxxxeeee进行代数恒等变形为：或111(1)1xxxxxeeeee，再想到凑微分：xxedxde或(1)xxedxde，然后进行计算。中含有另外，由于1()1xfxe1xe，不能直接计算，可以考虑换元xte或1xte，然后再进行计算。解法1：因为11(1)xxxxeeee11(1)xxxxeIdxdxeee所以1(1)()1xxxxdedeeelnln(1)ln1xxxxeeeCCe1()(1)xxxdeee11()()1xxxdeee解法2：因为111(1)xxxeee所以1(1)111xxxxxedeIdxdxeeeln(1)xeC1xxee解法3：令xte,则ln,xt,xdtedx于是111(1)xIdxdtett11(1)dtdttt11lnlnxxteCCteln(1)lnttC【例9】求不定积分221dxxx(0)x解法1：(倒代换）设1(0),xtt则21dtdxt22211tdxdtxxt2211tdttCt则21xCx【例10】求不定积分2tanxxdx21(tan)2xdxx21tantan2xxxdxx21tanlncos2xxxxC解法2：(三角代换)设tan(0),2xtt则2secdxtdt22222secsectansectan1dxttdtdttttxx解：2(sec1)xxdx2tanxxdx22cos(sin)sinsintdtdttt211sinxCCtx【例11】求不定积分22arctan1xxdxx分析：若取22arctan,1xuxvx积分法计算出结果，但如果注意到被积函数的特点，显然可以利用分部先将被积函数进行恒等变形，则会简化计算。222111arctanarctanarctan11xxdxxdxxdxxx解：原式2arctanarctan(arctan)1xxxdxxdxx2211arctanln(1)(arctan)22xxxxC注意运算中综合使用不同方法往往更有效.]。【例12】求不定积分arcsinxIdxx分析：由于被积函数中含有根式x，所以首先要令tx把根式去掉，然后选择合适的方法计算。另外，观察被积表达式的特点，由于arcsinarcsin()2arcsin()xdxdxxxdxxx所以可应用分部积分法计算。arcsin2arcsinxIdxtdtx解法1：令tx，则2,xt2,dxtdt所以应用分部积分法22arcsin2[arcsin]1tItdtttdtt22(1)2arcsin1dtttt22arcsin21tttC2arcsin21xxxC所以解法2：因为arcsinarcsin()2arcsin()xdxdxxxdxxx所以应用分部积分法arcsinxIdxx2arcsin2(arcsin)xxxdx1112arcsin221xxxdxxx12arcsin1xxdxx2arcsin21xxxC【例13】求不定积分2lnsinsinxdxx2cotlnsin(csc1)xxdxcotlnsincotxxxxC解：lnsin(cot)xdx2lnsinsinxdxx2cotlnsincotxxxdx【例14】求不定积分1(4)Idxxx分析：设1()(4)fxxx，则1(),4fxxx由于()fx中含有x和4x，所以令tx或4x去掉根式，然后选择适当的计算方法。()fx进行恒等变形221111()2(4)4(2)1(1)2fxxxxx然后运用基本积分公式就可以计算。另外，可对2211112(4)4(2)1(1)2xxxx，于是22122(4)41tdxdtdtxxttt2arcsin2arcsin22txCC解法2：因为所以2112(4)1(1)2dxIdxxxx2(1)22arcsin21(1)2xdxCx，则,2dxtdt2xt解法1：令tx4tx注：在本题的计算中同样可以选择其计算的复杂程度与选择tx相同。【例15】求不定积分22(12)xxedx分析：本题中隐含着不能积分的积分项，但在积分的过程中正、负项抵消.222()xxedxxedx22xxedxxde222xxxedxxeedx2xxeC解：22(12)xxedx【例16】设()fx的一个原函数为sinxx，求()xfxdx解：由于sinxx为()fx的原函数，故2sincossin()xxxxfxxx从而()(())()()xfxdxxdfxxfxfxdx2cossinsinxxxxxCxxcossinxxxCxsincos2xxCx【例17】求不定积分5438xxIdxxx把假分式化成一个多项式与一个真分式的和，对真分析：由于被积函数为有理函数，且为假分式，所以首先采用拆项积分。解：542233881xxxxxxxxxx23811xxABCxxxxx设即228(1)(1)(1)xxAxBxxCxx得8,4,3ABC于是54238843(1)11xxIdxxxdxxxxxx3218ln4ln13ln132xxxxxxC【例18】求不定积分25613xIdxxx分析：由于被积函数为有理函数且为真分式，分母是二次是一次式5x，而分母的导数也是一次式，因此将分质因式，即不能分解成一次因式的乘积，注意到分子子变成分母的导数形式，2(613)26xxx所以把分子拆成3x和8两部分，而分子3x可以凑微成21(613)2dxx，进而可以计算。解：222538613613613xxdxIdxxxxxxx2221(613)82613(3)4dxxdxxxx2223()1(613)2432613()12xddxxxxx213ln(613)4arctan22xxxC【例19】求不定积分sinsincosxdxxx分析：(1)由于被积函数为三角函数有理式，所以首先想到用万能公式计算；sintansincos1tanxxxxxtanux(2)对被积函数进行恒等变形为：进行计算；就可以用换元：再利用(3)把被积函数进行恒等变形为：sin1(sincos)(sincos)1sincos(1)sincos2sincos2sincosxxxxxxxxxxxxx(cossin)(sincos)xxdxdxx的关系进行计算.解法1：令tan2xu，则2222212sin,cos,111uuduxxdxuuu，于是22sin4sincos(1)(12)xududxxxuuu2211112uududuuuu2222211(1)1(12)121212duduuduuuuu2211arctanln(1)ln1222uuuuC1lnsincos22xxxC