【教育资料】人教版九年级上第22章二次函数精品课堂22.1二次函数的图象和性质导学案(有答案)学习精

教育资源教育资源二次函数精品课堂-二次函数的图象和性质【问题探索】还记得一次函数和反比例函数图象是如何画的么？它们是如何根据图象理解其性质的？那么二次函数的图象是什么形状？它有什么性质？【新课引入】用描点法画出二次函数2xy的图象，并观察图象的特征。（1）列表：根据函数2xy的自变量x可以是任意实数，所以选取自变量x的值，并计算出对应值y，并填入下表：x…-3-2-10123…2xy…..(2)描点法：表中每个x为点的横坐标，对应的y值为点的纵坐标，在图（1）平面直角坐标系中描出相应的点；（3）连线：用平滑的曲线顺次连接所描的点，即为二次函数2xy的图象。注意：一般地，选点越多，图象越精确，但也要具体情况具体分析。提问：1、二次函数2xy的图象和性质是什么？2、在上图（2）的平面直角坐标系中，画出二次函数2xy的图象；3、二次函数2xy与2xy图象有什么共同特征？回答：通过画图象，并分析观察，我们知道二次函数2xy与2xy的图象都是关于y轴对称的曲线，它们的开口方向向上或者向下，但形状都是抛物线。回顾与反思抛物线是轴对称图形，每条抛物线都有一条对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。探索二次函数)0(2aaxy的图象和性质。通过画图我们可以知道二次函数)0(2aaxy具体如下性质：图（1）图（2）教育资源教育资源)0(2aaxy0a0a图象开口方向向上向下顶点坐标（0，0）（0，0）对称轴y轴所在的直线y轴所在的直线增减性当0x时，y随x的增大而增大；当0x时，y随x的增大而增小。当0x时，y随x的增大而减小；当0x时，y随x的增大而增大。最大（小）值0x时，0最小y0x时，0最大y说明：（1）抛物线的性质是从它的开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性和最大（小）值几个方面来探索的。（2）抛物线开口向上时，顶点坐标是最低点；抛物线开口向下时，顶点坐标是最高点。（3）抛物线)0(2aaxy的形状是由a来确定的，一般来说，a越大，抛物线的开口就越小；（4）抛物线的对称轴是一条直线，抛物线)0(2aaxy的对称轴是y轴，也可以说是直线0x。探索抛物线)0()(2ahxay与)0(2aaxy的关系。抛物线)0()(2ahxay与)0(2aaxy的形状相同，但位置不同。当0h时，)0()(2ahxay可由抛物线)0(2aaxy沿x轴向右平移h个单位长度；当0h时，)0()(2ahxay可由抛物线)0(2aaxy沿x轴向左平移h个单位长度。探索抛物线)0()(2akhxay与)0(2aaxy的关系。抛物线)0()(2ahxay与)0(2aaxy的形状相同，但位置不同。抛物线)0(2aaxy的图象经过平移（向左或向右平移h个单位长度，再向上或向下平移k个单位长度），可以得到抛物线)0()(2akhxay。教育资源教育资源图象【总结归纳】一、二次函数cbxaxy2的最值问题和增减性：系数a的符号abx2时，最值abac442增减性a＞0最小值2bxyxa时，随的增大而增大；2bxa时y随x的增大而减小.a＜0最大值2bxyxa时，随的增大而减小；2bxa时y随x的增大而增大.二、二次函数的平移平移不改变抛物线的形状和大小，改变的只是位置，下面以抛物线2axy为例简单说明（1）上下平移：2axy向下平移向上平移0k0kkaxy2（2）左右平移：2axy向左平移向右平移0h0h2)-(hxay（3）符合平移：2axy个单位上下平移kkaxy2个单位左右平移hkhxay2)-(抛物线khxay2)-(的顶点是点)(kh，，对称轴时hx，形状、开口方向与抛物线2axy相同，由上可知抛物线平移的过程中a不变，只有顶点的位置改变，也可以用这一点解决相关问题。三、二次函数五种情况的图象的特征：函数图象特征函数的最大值或最小值开口方向顶点坐标对称轴2axy0a向上)00(，y轴所在的直线当0x时，0最值y0a向下kaxy20a向)0(k，过点)0(k，且平当0x时，教育资源教育资源上行于y轴的直线ky最值0a向下2)-(hxay0a向上)0(，h过点)0(，h且平行于y轴的直线当hx时，0最值y0a向下khxay2)-(0a向上)(kh，过点)(kh，且平行于y轴的直线当hx时，ky最值0a向下cbxaxy20a向上)442(2abacab，过点)442(2abacab，且平行于y轴的直线当abx2时，abacy442最值0a向下【精选例题】（一）根据二次函数关系式得出图象的性质：例1、抛物线25xy开口，当x＝时，y有最值，是。当x时，y随x的增大而减小。解析：05a，25xy开口向下；当0x时，y有最大值，最大值为0；当0x时，y随x的增大而减小。所以，抛物线25xy开口向下，当x＝0时，y有最大值，是0。当x0时，y随x的增大而减小。例2、抛物线322xxy开口，当x＝时，y有最值，是。当x时，y随x的增大而增大。教育资源教育资源解析：02a，322xxy开口向上；方法一：直接套用顶点公式当412abx时，y有最小值，最小值为825442abac；当41x时，y随x的增大而增大。方法二：用配方法，将二次函数关系式转化为顶点式由上可知：当412abx时，y有最小值，最小值为825442abac；当41x时，y随x的增大而增大。所以，抛物线322xxy开口向上，当x＝41时，y有最小值，是825。当x41时，y随x的增大而增大。前思后想：1、根据二次函数关系式得出图象的性质，可以直接套用二次函数顶点坐标公式；2、用配方法，将二次函数关系式转化为顶点式。牛刀小试：1、分别说出下列函数图象的开口方向、顶点坐标与对称轴（1）23xy；（2）2212xy；（3）2)1(22xy2、填空：（1）对于函数24xy，当0x时函数值随自变量x的增大而_______；当x______时，函数有最_____值，最_____值是______；教育资源教育资源（2）对于函数2)1(312xy，当0x时函数值随自变量x的增大而_______；当x______时，函数有最_____值，最_____值是______；3、填空：（1）22______)(______5xxx；（2）22______)(______49xxx；（3）_________)1(294222xxx；（4）__________)(13522xxx。答案：1、（1）23xy：开口方向向上、顶点坐标（0，0）、对称轴为y轴；（2）2212xy：开口方向向下、顶点坐标)20(，、对称轴为y轴；（3）2)1(22xy：开口方向向下、顶点坐标)21(，、对称轴过点)21(，且平行于y轴的直线。2、填空：（1）对于函数24xy，当0x时函数值随自变量x的增大而减小；当x=0时，函数有最大值，最大值是0；（2）对于函数2)1(312xy，当0x时函数值随自变量x的增大而增大；当x=-1时，函数有最小值，最小值是-2；3、填空：（1）22_)25_(_425_5xxx；（2）22_)89_(_6481_49xxx；（3）__7_)1(294222xxx；（4）_477__)25_(13522xxx。（二）知道二次函数图象的性质求抛物线解析式例3、若抛物线mmxmy2)1(开口向下，求m的值和抛物线的关系式解析：mmxmy2)1(是抛物线22mm，解得，2121mm，抛物线的开口向下，10mm，教育资源教育资源将1m代入mmxmy2)1(得，抛物线的关系式为22xy。前思后想：根据图象的性质求抛物线解析式或是求待定系数。牛刀小试1、已知原点是抛物线2)1(xmy的最高点，则m的取值范围是（）A.m＜－1B.m＜1C.m＞－1D.m＞－22、若抛物线102kkkxy中，当0x时y随x的增大而减小，则k＝。3、一条抛物线的开口方向、对称轴与221xy相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式。答案：1、A2、102kkkxy是抛物线，2102kk，解得，4321kk，。当0x时y随x的增大而减小，抛物线的开口向下40kk，即。3、设新抛物线为khxay2)(。因为抛物线221xy开口方向为向上，对称轴为y轴所在的直线，所以0a0，h又因为新抛物线顶点纵坐标是-2，所以-2k所以22axy，且抛物线经过点（1，1），得12a，即3a所以232xy。（三）二次函数的平移技巧例4.抛物线5422xxy经过平移得到22xy，平移方法是（）A、向左平移1个单位长度长度，再向上平移3个单位长度长度B、向右平移1个单位长度长度，再向上平移3个单位长度长度C、向左平移1个单位长度长度，再向下平移3个单位长度长度D、向右平移1个单位长度长度，再向下平移3个单位长度长度解析：二次函数5422xxy通过配方可变形为3)1(22xy，其顶点坐标为（1，3），抛物线22xy的顶点坐标为（0，0），抛物线22xy与5422xxy的形状相同，只是位置不同，把（1，3）先向左平移1个单位长度长度，再向下平移3个单位长度长度，可得到点（0，0）的位置。故选C。教育资源教育资源例5.已知22yx的图象是抛物线，若抛物线不动，把x轴，y轴分别向上、向右平移2个单位长度长度，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（）．Ａ．22(2)2yxＢ．22(2)2yxＣ．22(2)2yxＤ．22(2)2yx解析：因为抛物线22yx不动，把x轴，y轴分别向上、向右平移2个单位长度长度，根据相对平移的方法，x轴向上平移2个单位长度长度，相当于是把抛物线向下平移了2个单位长度长度；y轴向右平移2个单位长度长度，相当于是把抛物线向左平移了2个单位长度长度。所以，新坐标系下抛物线的解析式是2)2(22xy，即选B前思后想：二次函数图象的平移实际上是顶点的平移，只要确定出平移前抛物线顶点的坐标和抛物线平移后的顶点坐标，根据二者之间的位置关系即可判断平移情况。牛刀小试：1、在平面直角坐标系中，将二次函数22xy的图象向上平移2个单位长度长度，所得图象的解析式为（）A222xyB．222xyC．2)2(2xyD．2)2(2xy2、抛物线y=20－12x2可以看作抛物线y=______沿y轴向______平移_____个单位长度长度得到的．3、抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向左平移2个单位长度长度。再向上平移3个单位长度长度，得抛物线y＝x2－2x＋1，求：b与c的值。4、在同一直角坐标系中，画出函数12xy与12xy的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线12xy得到抛物线12xy．答案：1、选B2、20212；右；x3、抛物线y＝x2－2x＋1，配方得21)-(xy由题抛物线cbxaxy2的图象向左平移2个单位长度长度。再向上平移3个单教育资源教育资源位长度长度，得到21)-(xy，可知21)-(xy向右平移2个单位长度长度。再向下平移3个单位长度长度，得到cbxaxy2，即33)-(xy2，整理成一般式为662xxy。所以66cb，。4、画图略；由抛物线12xy图象向下平移2个单位长度长