二次函数与x轴的交点情况及与一元二次方程根与系数

1☆二次函数与x轴的交点情况及与一元二次方程根与系数一、选择题1.已知一元二次方程x2+bx-3=0的一根为-3，在二次函数y=x2+bx-3的图象上有三点1,54y、2,45y、3,61y，y1、y2、y3的大小关系是（）A、y1＜y2＜y3B、y2＜y1＜y3C、y3＜y1＜y2D、y1＜y3＜y2考点：二次函数图象上点的坐标特征；一元二次方程的解．分析：将x=-3代入x2+bx-3=0中，求b，得出二次函数y=x2+bx-3的解析式，再根据抛物线的对称轴，开口方向确定增减性，比较y1、y2、y3的大小关系．解答：解：把x=-3代入x2+bx-3=0中，得9-3b-3=0，解得b=2，∴二次函数解析式为y=x2+2x-3，抛物线开口向上，对称轴为x=-1，∴y1＜y2＜y3．故选A．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，一元二次方程解的意义．关键是求二次函数解析式，根据二次函数的对称轴，开口方向判断函数值的大小．2.如图，将二次函数y＝31x2－999x＋892的图形画在坐标平面上，判断方程31x2－999x＋892＝0的两根，下列叙述何者正确（）A．两根相异，且均为正根B．两根相异，且只有一个正根C．两根相同，且为正根D．两根相同，且为负根考点：抛物线与x轴的交点。专题：综合题。分析：由二次函数y＝31x2－999x＋892的图象得，方程31x2－999x＋892＝0有两个实根，两根都是正数，从而得出答案．解答：解：∵二次函数y＝31x2－999x＋892的图象与x轴有两个交点，且与x轴的正半轴相交，∴方程31x2－999x＋892＝0有两个正实根．故选A．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注：抛物线与x轴有两个交点时，方程有两个不等的实根；抛物线与x轴有一个交点时，方程有两个相等的实根；抛物线与x轴无交点时，方程无实根．3.已知二次函数y=x2+bx﹣2的图象与x轴的一个交点为（1，0），则它与x轴的另一个交点坐标是（）A、（1，0）B、（2，0）C、（﹣2，0）D、（﹣1，0）考点：抛物线与x轴的交点。分析：把交点坐标（1，0），代入二次函数y=x2+bx﹣2求出b的值，进而知道抛物线的对称轴，再利用公式x=12122xxx，可求出它与x轴的另一个交点坐标．解答：解：把x=1，y=0代入y=x2+bx﹣2得：20=1+b﹣2，∴b=1，∴对称轴为122bxa，∴12122xxx，∴2x=﹣2，它与x轴的另一个交点坐标是（﹣2，0）．故选C．点评：本题考查了二次函数和x轴交点的问题，要求交点坐标即可解一元二次方程也可用公式12122xxx。4.已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是()A．k＜4B．k≤4C．k＜4且k≠3D．k≤4且k≠3考点：抛物线与x轴的交点；根的判别式；一次函数的性质。专题：计算题。分析：分为两种情况：：①当k－3≠0时，(k－3)x2＋2x＋1＝0，求出△＝b2－4ac＝－4k＋16≥0的解集即可；②当k－3＝0时，得到一次函数y＝2x＋1，与X轴有交点；即可得到答案．解答：解：①当k－3≠0时，(k－3)x2＋2x＋1＝0，△＝b2－4ac＝22－4(k－3)×1＝－4k＋16≥0，k≤4；②当k－3＝0时，y＝2x＋1，与x轴有交点．故选B．点评：本题主要考查对抛物线与x轴的交点，根的判别式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能进行分类求出每种情况的k是解此题的关键．5.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（12，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac﹣b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：二次函数图象与系数的关系。专题：计算题。分析：根据二次函数图象反应出的数量关系，逐一判断正确性．解答：解：根据图象可知：①c＜0，c＞03∴ac＜0，正确；②∵顶点坐标横坐标等于12，∴－b2a=12，∴a+b=0正确；③∵顶点坐标纵坐标为1，∴244acba=1；∴4ac﹣b2=4a，正确；④当x=1时，y=a+b+c＞0，错误．正确的有3个．故选C．点评：本题主要考查了二次函数的性质，会根据图象获取所需要的信息．掌握函数性质灵活运用．6.已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1．其中正确的项是()A．①⑤B．①②⑤C．②⑤D．①③④考点：二次函数图象与系数的关系．专题：数形结合．分析：由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，∵对称轴为02abx，∴a、b异号，即b＜0，又∵c＜0，∴abc＞0，故本选项正确；②∵对称轴为02abx，a＞0，∴﹣b＞2a，4∴2a+b＞0；故本选项错误；③当x=1时，y1=a+b+c；当x=m时，y2=m（am+b）+c，当m＞1，y2＞y1；当m＜1，y2＜y1，所以不能确定；故本选项错误；④当x=1时，a+b+c=0；当x=﹣1时，a﹣b+c＞0；∴（a+b+c）（a﹣b+c）=0，即（a+c）2﹣b2；∴（a+c）2=b2故本选项错误；⑤当x=﹣1时，a﹣b+c=2；当x=1时，a+b+c=0，∴a+c=1，∴a=1+（﹣c）＞1，即a＞1；故本选项正确；综上所述，正确的是①⑤．故选A．点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换；二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式abx2判断符号；（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；（4）b2﹣4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2﹣4ac＞0；1个交点，b2﹣4ac=0，没有交点，b2﹣4ac＜0．7.已知二次函数y＝ax2的图象开口向上，则直线y＝ax－1经过的象限是（）A．第一、二、三象限B．第二、三、四象限C．第一、二、四象限D．第一、三、四象限考点：二次函数图象与系数的关系；一次函数图象与系数的关系专题：二次函数分析：二次函数图象的开口向上时，二次项系数a＞0；一次函数y＝kx＋b（k≠0）的一次项系数k＞0、b＜0时，函数图象经过第一、三、四象限．解答：D点评：本题主要考查了二次函数、一次函数图象与系数的关系．二次函数图象的开口方向决定了二次项系数a的符号．8．设一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=m（m＞0）的两实根分别为α，β，且α＜β，则α，β满足（）A．1＜α＜β＜2B．1＜α＜2＜βC．α＜1＜β＜2D．α＜1且β＞2考点：抛物线与x轴的交点；根与系数的关系。专题：数形结合。分析：先令m=0求出函数y=（x﹣1）（x﹣2）的图象与x轴的交点，画出函数图象，利用数形结合即可求出α，β的取值范围．解答：解：令m=0，则函数y=（x﹣1）（x﹣2）的图象与x轴的交点分别为（1，0），（2，0），5故此函数的图象为：∵m＞0，∴α＜1，β＞2．故选D．点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点，能根据x轴上点的坐标特点求出函数y=（x﹣1）（x﹣2）与x轴的交点，画出函数图象，利用数形结合解答是解答此题的关键．9.分二次函数y=﹣x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2=（）A、1B、﹣1C、﹣2D、0考点：抛物线与x轴的交点。专题：数形结合。分析：先把x1=3代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0，求出k的值，再根据根与系数的关系即可求出另一个解x2的值．解答：解：∵把x1=3代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0得，﹣9+6+k=0，解得k=3，∴原方程可化为：﹣x2+2x+3=0，∴x1+x2=3+x2=﹣12=2，解得x2=﹣1．故选B．点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点，解答此类题目的关键是熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系．10．若x1，x2（x1＜x2）是方程（x-a）（x-b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（）A、x1＜x2＜a＜bB、x1＜a＜x2＜bC、x1＜a＜b＜x2D、a＜x1＜b＜x2考点：抛物线与x轴的交点．6分析：因为x1和x2为方程的两根，所以满足方程（x-a）（x-b）=1，再有已知条件x1＜x2、a＜b可得到x1，x2，a，b的大小关系．解答：解：∵x1和x2为方程的两根，∴（x1-a）（x1-b）=1且（x2-a）（x2-b）=1，∴（x1-a）和（x1-b）同号且（x2-a）和（x2-b）同号；∵x1＜x2，∴（x1-a）和（x1-b）同为负号而（x2-a）和（x2-b）同为正号，可得：x1-a＜0且x1-b＜0，x1＜a且x1＜b，∴x1＜a，∴x2-a＞0且x2-b＞0，∴x2＞a且x2＞b，∴x2＞b，∴综上可知a，b，x1，x2的大小关系为：x1＜a＜b＜x2．故选C．点评：本题考查了一元二次方程根的情况，若x1和x2为方程的两根则代入一定满足方程，对于此题要掌握同号两数相乘为正；异号两数相乘为负．二、填空题1.如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点（0，﹣3），请你确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间．你确定的b的值是.考点：抛物线与x轴的交点.专题：计算题.分析：把（0，－3）代入抛物线的解析式求出c的值，在（1，0）和（3，0）之间取一个点，把它的坐标代入解析式即可求出答案．解答：解：把（0，﹣－3）代入抛物线的解析式得：c=－3，∴y=x2+bx－3.∵确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间，假如过（2，0），代入，得0=4+2b﹣3，∴b=21．故答案为21．点评：本题主要考查对抛物线与x轴的交点的理解和掌握，能理解抛物线与x轴的交点的坐标特点是解此题的关键．2.如图，是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c＞0．其中正确的命题是①③．（只要求填写正确命题的序号）7考点：二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点。专题：计算题。分析：由图象可知过（1，0），代入得到a+b+c=0；根据﹣ab2=﹣1，推出b=2a；根据图象关于对称轴对称，得出与X轴的交点是（﹣3，0），（1，0）；由a﹣2b+c=a﹣2b﹣a﹣b=﹣3b＜0，根据结论判断即可．解答：解：由图象可知：过（1，0），代入得：a+b+c=0，∴①正确；﹣ab2=﹣1，∴b=2a，∴②错误；根据图象关于对称轴对称，与X轴的交点是（﹣3，0），（1，0），∴③正确；∵a﹣2b+c=a﹣2b﹣a﹣b=﹣3b＜0，∴④错误．故答案为：①③．点评：本题主要考查对二次函数与X轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系等知识点的理解和掌握，能根据图象确定系数的正负是解此题的关键．3.孔明同学在解一元二次方程x2﹣3x+c=0时，正确解得x1=1，x2=2，则c的值为2．考点：根与系数的关系。专题：计算题。分析：根据两根x1=1，x2=2，得出两根之积求出c的值即可．解答：解：解方程x2﹣3x+c=0得x1=1，x2=2，∴x1x2=c=1×2，∴c=2，故答案为：2．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系利用两根之积得出c的值是解决问题的关键．4.试写一个有两