2013年四川高考数学理科试卷(带详解)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设集合{|20}Axx，集合2{|40}Bxx，则AB（）A.{2}B.{2}C.{2,2}D.【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】通过解不等式再考查集合间的运算.【难易程度】容易.【参考答案】A【试题解析】{+2=0}{2}.AxxA，2{40},{2,2}.BxxB{2}.AB故选A.2．如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是（）第2题图A.AB.BC.CD.D【测量目标】复平面.【考查方式】利用共轭复数考查点在复平面上的位置.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】设+i(,)zababR，且0,0ab，则z的共轭复数为iab,其中0,0ab，故选B.3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）第3题图ABCD第3题图【测量目标】平图形的直观图和三视图.【考查方式】给出三视图判断其直观图.【难易程度】容易.【参考答案】D【试题解析】由俯视图的圆环可排除A,B,进一步将已知三视图还原为几何体，故选D.4．设xZ，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题:,2pxAxB，则（）A.:,2pxAxBB.:,2pxAxBC.:,2pxAxBD.:,2pxAxB【测量目标】全称量词与存在量词.【考查方式】给出全称命题求存在命题.【难易程度】容易.【参考答案】D【试题解析】命题p是全称命题：,2xAxB，则p是特称命题：,2xAxB.故选D.5．函数ππ()2sin(),(0,)22fxx的部分图象如图所示，则,的值分别是（）第5题图A.π2,3B.π2,6C.π4,6D.π4,3【测量目标】函数sin()yAx的图象及其变化.【考查方式】给出三角函数图象求解析式中的未知参数.【难易程度】中等.【参考答案】A【试题解析】35π3π()π41234T,πT2ππ2.由图象知当5π12x时，5π2π+=2π+122kkZ（）,即π2π()3kkZ.π3.故选A.6．抛物线24yx的焦点到双曲线2213yx的渐近线的距离是（）A.12B.32C.1D.3【测量目标】双曲线和抛物线的基本性质.【考查方式】给出抛物线和双曲线的方程，求距离.【难易程度】中等.【参考答案】B【试题解析】由题意可得抛物线的焦点坐标为（1,0），则焦点到渐近线的距离12231032(3)(1)d或2231032(3)1d.7．函数331xxy的图象大致是（）ABCD第7题图【测量目标】函数图象的判断.【考查方式】给出函数解析式判断函数图象.【难易程度】中等.【参考答案】C【试题解析】由3100,xx得函数331xxy的定义域{0},xx可排除A，当2x时，y=1，当x=4时，6480y，但从选项D的函数图象可以看出函数在(0,)上是单调增函数，两者矛盾，故选C.8．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为,ab，共可得到lglgab的不同值的个数是（）A.9B.10C.18D.20【测量目标】排列组合及其应用.【考查方式】通过数字组合的对数差不同来考查排列组合.【难易程度】中等.【参考答案】C【试题解析】从1，3,5，7,9这五个数中每次取出两个不同数的排列个数25A20,但lg1lg3lg3lg9,lg3lg1lg9lg3，所以不同值的个数为202=18，故选C.9．节日里某家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（）A.14B.12C.34D.78【测量目标】几何概型.【考查方式】给出实际案例求现实生活中的几何概型.【难易程度】较难.【参考答案】A【试题解析】设两串彩灯同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为,xy,则04,04xy剟剟，而事件发生的概率为2xy„，可行域如图阴影部分所示，有几何概型得22142(22)3244P.第9题图10．设函数()exfxxa（aR，e为自然对数的底数）．若曲线sinyx上存在00(,)xy使得00(())ffyy，则a的取值范围是（）A.[1,e]B.1[e1]-1，C.[1,e1]D.1[e1,e1]【测量目标】函数零点的应用.【考查方式】给出函数解析式以及等式方程判断参数范围.【难易程度】较难.【参考答案】A【试题解析】由已知点00(,)xy在曲线000sinsin,[0,1],yxyxy上，得即存在000[0,1](())yffyy，使成立，则点0000(,()),((),)AyfyAfyy都在的图象上，又()exfxxa在[0,1]上单调递增，所以0000()()0,[()][()]0,AAAAxxyyfyyyfy厖200[()]0fyy„00()fyy，所以()fxx在[0,1]上有解，2e,[0,1]xaxxx，令2()e,[0,1],()xxxxxx在[0,1]上单调递增，又(0)1,(1)e,()[1,e],x即[1,e]a.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．二项式5()xy的展开式中，含23xy的项的系数是_________．（用数字作答）【测量目标】二项式展开式.【考查方式】求二项式展开式中的某一项.【难易程度】简单.【参考答案】10【试题解析】3232345C10,Txyxy故填10.12．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，ABADAO，则_________．【测量目标】平面向量的四则运算.【考查方式】给出平面向量的等式求未知参数.【难易程度】简单.【参考答案】2【试题解析】由向量加法的平行四边形法则，得.ABADAC又O是AC的中点，2,2,,2.ACAOACAOABADAO13．设sin2sin，π(,π)2，则tan2的值是_________．【测量目标】二倍角公式.【考查方式】给出关系式求特殊角的正切值.【难易程度】中等.【参考答案】3【试题解析】由题意得1cos2而π(,π)2，24ππ,tan2=tanπ=tan333314．已知()fx是定义域为R的偶函数，当x…0时，2()4fxxx，那么，不等式(2)5fx的解集是________．【测量目标】解不等式.【考查方式】给出函数的部分区间的解析式，求函数在整个区间的不等式的解集.【难易程度】较难.【参考答案】73x【试题解析】220,0.0()4()4xxxfxxxfxxx设则当时，…故()fx为在定义域上的偶函数224,0(),+4,0xxxfxxxx…由()555fxxx得或，所以()555,(2)5,73fxxfxx得由得,所以不等式的解集为73x.15．设12,,,nPPP为平面内的n个点，在平面内的所有点中，若点P到12,,,nPPP点的距离之和最小，则称点P为12,,,nPPP点的一个“中位点”．例如，线段AB上的任意点都是端点,AB的中位点．则有下列命题：①若,,ABC三个点共线，C在线AB上，则C是,,ABC的中位点；②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点,,,ABCD共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是____________．（写出所有真命题的序号）【测量目标】考查新定义.【考查方式】给出新定义的含义，根据新定义解题.【难易程度】较难.【参考答案】①④【试题解析】+CACBAB当且仅当点C在线段AB上等号成立，所以点C是中位点，故①为真命题.②③为假命题，若P为点A，C,则点P在线段AC上，若点P是B,D的中位点，则点P在线段BD上，所以若点P是A,B,C,D的中位点，则p是AC，BD的交点.所以梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．故④是真命题.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．(本小题满分12分)在等差数列{}na中，318aa，且4a为2a和9a的等比中项，求数列{}na的首项、公差及前n项和．【测量目标】等差数列的性质.【考查方式】给出等差数列的项与项之间的关系，求通项和前n项和.【难易程度】中等.【试题解析】设该数列公差为d,前n项和为nS.由已知,可得21111228,38adadadad.所以114,30addda,（步骤1）解得14,0ad,或11,3ad,即数列na的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.所以数列的前n项和4nSn或232nnnS（步骤2）.17．(本小题满分12分)在ABC△中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且232coscossin()sincos()25ABBABBAC．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若42a，5b，求向量BA在BC方向上的投影．【测量目标】正弦定理和余弦定理.【考查方式】给出三角形中角的关系通过投影考查余弦定理.【难易程度】中等.【试题解析】由232coscossinsincos25ABBABBAC,得3cos1cossinsincos5ABBABBB,即3coscossinsin5ABBABB,则3cos5ABB,即3cos5A.(步骤1)由3cos,0π5AA,得4sin5A,由正弦定理,有sinsinabAB,所以,sin2sin2bABa.由题知ab,则AB,故π4B.根据余弦定理,有2223425255cc,解得1c或7c(舍去).（步骤2）故向量BA在BC方向上的投影为2cos2BAB.（步骤3）18．(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3,,24这24个整数中等可能随机产生．（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率(1,2,3)iPi；（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为(1,2,3)ii的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表（部分）乙的频数统计表（部分）当2100n时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i1,2,3)的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大；（Ⅲ）按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数的分布列及数学期望．第18题图【测量目标】选择结构的程序框图.【考查方式】通过实际案列来考查对框图的识别。【难易程度】较难【试题解析】.变量x是在1,2,3，……24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能.当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故112P；当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故213P;当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故316P.（步骤1）当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2