《反比例函数》公开课课件

同学们努力吧,一切皆有可能﹗y0xyx01.什么叫反比例函数？形如的函数称为反比例函数。(k为常数，k≠0)其中x是自变量，y是x的函数。xky2.反比例函数有哪些等价形式？y=kx-1xy=kxky一、有关概念：(k为常数，k≠0)练习1：1、下列函数中哪些是反比例函数?①②③④⑤⑥⑦⑧y=3x-1y=2x2y=2x3y=x1y=3xy=13xy=x1xy=-223)2(mxmy2.若是反比例函数，则m＝＿＿＿＿＿＿．－2m-2≠0，3-m2=－1函数反比例函数解析式图象形状k0位置增减性k0位置增减性双曲线双曲线两分支分别在第一、第三象限在每一个象限内y随x的增大而增大双曲线两分支分别在第二、第四象限在每一个象限内y随x的增大而减小；)0(或或1kkxykxyxky二、反比例函数的图象和性质:比一比函数正比例函数反比例函数表达式图象及象限性质在每一个象限内:当k0时，y随x的增大而减小;当k0时，y随x的增大而增大.y=kx(k≠0)(特殊的一次函数)当k0时，y随x的增大而增大;当k0时，y随x的增大而减小.k0xyoxyok0k0yx0y0k0x0)k(kxy或kx或yxky1另外：在正比例函数中k的绝对值越大,直线越靠近y轴，远离x轴。在反比例函数中k的绝对值越大，双曲线越远离两坐标轴。那么下列各点中一定也在此图象上的点是()2.若点(-m，n)在反比例函数xkyA.(m，n)B.(-m，-n)C.(m，-n)D.(-n，-m)的图象上，C3.若反比例函数的图象过点(-1,2),则其解析式为.xy24.如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么m的范围为.x3m1y由1－3m＜0得－3m＜－131m＞31m＞∴6、如图，函数和y=－kx+1(k≠0)在同一坐标系内的图象大致是（）642-2-4-55Oyx642-2-4-55Oyx642-2-4-55Oyx642-2-4-55OyxBACDD方法：先假设某个函数图象已经画好，再确定另外的是否符合条件.以前做过这样的题目吗？7:增减性1、在反比例函数的图象上有两点（x1，y1）、（x2，y2）,若x1x20,则y1与y2的大小关系是。变：1）将x1x20变为x10x2，则y1与y2的大小关系是。2）将x1x20变为x1x2，则y1与y2的大小关系是。3）若图象上有三点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）,且y10y2y3,则x1、x2、x3的大小关系是。21kyx八年级数学期末总复习8.考察函数的图象,(1)当x=-2时,y=,(2)当x-2时,y的取值范围是;(3)当y≥-1时,x的取值范围是.xy2-1-1y0x0或x≤-210、如图是一次函数y1=kx+b和反比例函数的图象，观察图象写出y1﹥y2时，x的取值范围xmy2-23yx0X3或-2x0提示：利用图像比较大小简单明了。三、反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。xy012y=—kxy=xy=-x有两条对称轴：直线y=x和y=-x；对称中心为：原点1、如图，过原点的一条直线与反比例函数(k≠0)的图象分别交于A、B两点，若点A的坐标(a,b)，则点B的坐标为（）A.(b,a)B.(-a,b)C.(-b,-a)D.(-a,-b)xkyy0xBAD练习3：20（2）直线y=kx(k0)与双曲线交于两点A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x1y2-7x2y1=_______.4yx2、如图,已知双曲线与直线y=k/x交于A、B两点,点A在第二象限,若点A的横坐标为m,则点B的坐标可表示为_______________________.kyx(-m,-k/m)或(-m,-)km-40-51-3yx2345-16-2-61AB利用反比例函数的图像的对称性。则垂足为轴的垂线作过上任意一点是双曲线设,,,)0(),(AxPkxkynmP||2121||||2121kmnnmAPOASOAPP(m,n)Aoyx四、与面积有关的问题：面积性质（一）：P(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx想一想若将此题改为过P点作y轴的垂线段,其结论成立吗?||2121||||2121kmnmnAPOASOAPBx12-y（3）已知点A是反比例函数上的点，过点A作AP⊥x轴于点p，则△AOP的面积为（）A.12B.6C.4D.3归纳：（1）两个定值①任意一组变量（或图象上任一点的坐标）的乘积是一个定值,即xy=k.②图中S△PAO=▏k▕,与点A的位置无关。12yx0PA,,,,)2(BAyxP垂足分别为轴的垂线轴分别作过P(m,n)AoyxB面积性质（二）kmnnmAPOAOAPBS＝矩形则PDoyx1.如图,点P是反比例函数图象上的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为.xy211221212|k|SkΔPOD练习4：.___,,.,.,21则的面积为的面积为记垂足为轴的垂线作过垂足为轴的垂线作过SRtSRtDyCBxAOCDAOB2、如图:A、C是函数的图象上任意两点，xy1A.S1S2B.S1S2C.S1=S2D.S1和S2的大小关系不能确定.CABoyxCDDS1S23k.3|k||,k|S矩形APCO,,四象限图像在二又ACoyxP解:由性质(2)可得____,3,,,,3、函数的解析式是则这个反比例阴影部分面积为轴引垂线轴向分别由图像上的一点是反比例函数如图yxPxkyP.3xy解析式为.3xy提高篇:(1)如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这个反比例函数的关系式是.3yxxyoMNp(1)若点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,垂足分别为点M、N，若四边形PMON面积为3,则这个反比例函数的关系式是________________________.提示：S矩形=|xy|=|k|则k=s或-s3yx-3yx或A.S=1B.1S2C.S=2D.S2图函数图像关点对称两点,轴轴面积则14.如,P,P是y的上于原Ox的任意PA平行于y,PA平行于x,ΔPAP的S,___.C221212222AP|m|AP|n|S|APAP|ΔPAP|m||n||k|解:设P(m,n),则P(-m,-n).，；P(m,n)AoyxP/5、如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象交于A(-2,1),B(1,n)两点．（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；（2）求⊿AOB的面积．myxOyxBACD26、如图所示.如果函数y=-kx(k≠0)与图像交于A、B两点，过点A作AC垂直于y轴，垂足为点C，则△BOC的面积为.xy4S⊿BOC=S⊿AOCS⊿AOC=∣-4∣=2DoACxByDCDoAxBy7、四边形ADBC的面积=_____28、如图，D是反比例函数的图像上一点，过D作DE⊥x轴于E，DC⊥y轴于C，一次函数y=-x+2与x轴交于A点，四边形DEAC的面积为4，求k的值．(0)kykxAEDCOxyFB解：当X=0时,y=2.即C(0,2）当y=0时,x=2.即A(2,0)∴S⊿AOC=2∴S四边形DCOE=4-2=2∴K=-2五、交点问题1、与坐标轴的交点问题：无限趋近于x、y轴，与x、y轴无交点。2、与正比例函数的交点问题：可以利用反比例函数的中心对称性。3、与一次函数的交点问题：列方程组，求公共解，即交点坐标。.2,8)1(:xyxy解.4,2;2,4yxyx或解得).2,4(),4,2(BA.)2(;,)1(.,28的面积两点的坐标求两点交于的图像与一次函数数例：已知如图反比例函AOBBABAxyxyAyOBxMNAyOBxMN.642OAMOMBAOBSSS).0,2(,2,0,2:)2(Mxyxy时当解法一.2OM.,DxBDCxAC轴于轴于作,2,4BDAC,2222121BDOMSOMB.4422121ACOMSOMACDAyOBxMN.624ONAONBAOBSSS).2,0(,2,0,2:)2(Nyxxy时当解法二.2ON.,DyBDCyAC轴于轴于作,4,2BDAC,4422121BDONSONB.2222121ACONSONACD综合应用：已知点A（3，4），B（－2，m）在反比例函数的图象上，经过点A、B的一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点C、D。⑴求反比例函数的解析式；xky⑵求经过点A、B的一次函数的解析式；⑹在y轴上找一点H，使△AHO为等腰三角形，求点H的坐标;例题1：右图描述的是一辆小轿车在一条高速公路上匀速前进的图象，根据图象提供的信息回答下列问题：（1）这条高速公路全长是多少千米？（2）写出时间t与速度v之间的函数关系式；（3）如果2至3h到达，轿车速度在什么范围？v(km/h)1502O100200t(h)300千米300tv100至150（千米/小时）3由图象得当2≤t≤3时，100≤v≤150（1）（2）（3）解：六、实际问题与反比例函数例题2：如图，为了预防“非典”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒。已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例.现测得药物8min燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6mg。请根据题中所提供的信息，解答下列问题：（1）药物燃烧时，求y与x的关系式；（2）药物燃烧完后，求y与x的关系式；（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时学生方可进入教室，那么从消毒开始，至少经过多少min后，学生才能回到教室；（4）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？请说明理由。例题2：如图，为了预防“非典”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒。已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例.（1）药物燃烧时，求y与x的关系式；（2）药物燃烧完后，求y与x的关系式；解：(1)当0≤x≤8时设函数式为11(0)ykxk∵函数图象经过点（8，6）∴把（8，6）代入得134k∴3.4yx当x≥8时设函数式为22(0)kykx∵函数图象经过点（8，6）∴把（8，6）代入得248k∴48.yx（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时学生方可进入教室，那么从消毒开始，至少经过多少min后，学生才能回到教室；34yx48yx（0≤x≤8）（x≥8）解：(3)当y=1.6时有答：至少经过30min后，学生才能回到教室；481.630xx解得1.630（0≤x≤8）（x≥8）3（4）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？请说明理由。(4)把y=3代入两函数得3344xx解得48316xx解得416∴持续时间=16-4=12(min)10(min)答：此次消毒有效。34yx48yxo(A)(B)(C)(D)V(km/h)Y/LoV(km/h)Y/LoV(km/h)Y/LoV(km/h)Y/L1、已知甲,乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地.如果汽车每小时耗油量为a升,那么从甲地到乙地的总耗油量y(L)与汽车的行驶速度v(km/h)的函数图象大致是()）（0vvaSyC练习6：2、制作一种产品，需先将材料加热，达到60℃