高二数学寒假讲义

1第一讲圆锥曲线专题（一）题型一：面积问题1.设F是抛物线G:24xy的焦点，设AB、为抛物线G上异于原点的两点，且满足·0FAFB,延长AFBF、分别交抛物线G于点CD、，求四边形ABCD面积的最小值.2.P、Q、M、N四点都在椭圆2212yx上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点．已知PF与FQ共线，MF与FN共线，且0PFMF．求四边形PMQN的面积的最值.yQPNMFOx2题型二：直线过定点问题3.A、B是抛物线24yx上的两点，且满足OAOB（O为坐标原点），求证：直线AB经过一个定点.4.已知离心率为25的双曲线C的中心在坐标原点，左、右焦点12FF、在x轴上，双曲线C的右支上一点A使021AFAF且12FAF的面积为1.（1）求双曲线C的标准方程；（2）若直线mkxyl:与双曲线C相交于EF、两点（EF、不是左右顶点），且以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D,求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.3yPOxAB5.已知点1,0,1,0,BCP是平面上一动点，且满足||||.PCBCPBCB（1）求点P的轨迹C对应的方程；（2）已知点(,2)Am在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且ADAE，判断：直线DE是否过定点？试证明你的结论.题型三：直线斜率为定值问题6.如图，过抛物线24yx上一定点1,2P，作两条直线分别交抛物线于11,Axy，22,Bxy，当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明直线AB的斜率为定值.47．已知椭圆C过点31,2A，两个焦点为1,0,1,0.（1）求椭圆C的方程；（2）EF、是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.5第三讲圆锥曲线专题（二）【知识要点】熟练向量共线问题与坐标的转化【经典例题】1.已知抛物线2:8Cyx，F为C的焦点，过焦点F斜率为0kk的直线与抛物线交于AB、两点，若||2||FAFB，则k.2.给定抛物线2:4Cyx，过定点2,0M的直线l与抛物线交于AB、两点，若2AMBM，求直线l的方程.63.已知椭圆22:12xCy，若过点2,0D的直线椭圆C交于不同的两点E、F（点E在D、F之间），试求ODE与ODF面积之比的取值范围（O为坐标原点）.4.已知两定点1,0,1,0AB,动点P在y轴的射影为Q，若20PAPBPQ.（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）直线l交y轴于点(0,)Cm，交轨迹E于MN、两点，且满足3MCCN，求实数m的取值范围.75.如图，已知点(1,0)F，直线:1,lxp为平面上的动点，过p作直线l的垂线，垂足为点Q，且有QPQFFPFQ.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F的直线交轨迹C于AB、两点，交直线l于点M，已知12,MAAFMBBF求12的值.86.双曲线C与椭圆22184xy有相同的焦点，直线3yx为C的一条渐近线.（1）求双曲线C的方程；（2）过点0,4P的直线l，交双曲线C于AB、两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）,当12PQQAQB，且3821时，求Q点的坐标.97.已知椭圆)0(1:2222babyaxC，通径长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形.（1）求椭圆的方程；（2）过点1,0Q的直线l交椭圆于AB、两点，交直线4x于点E，点Q分AB所成比为，点E分AB所成比为，求证为定值，并计算出该定值.10第四讲圆锥曲线专题（三）1.设1F、2F分别是椭圆1422yx的左、右焦点.（1）若P是该椭圆上的一个动点，求1PF·2PF的最大值和最小值；（2）设过定点)2,0(M的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.2.设A、B分别为椭圆22221,0xyabab的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且4x为它的右准线.（1）求椭圆的方程；（2）设P为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N，证明点B在以MN为直径的圆内.xyPABMNO113.已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝12，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N（1）求E的方程；（2）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.4.已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为21，离心率为2e2﹒（1）求椭圆E的方程；（2）过点1,0作直线L交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，MPMQ为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由﹒125.已知椭圆C的离心率为32，长轴的左右端点分别为12(2,0),(2,0)AA.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线1xmy与椭圆C交于,PQ两点，直线1AP与2AQ交于点S.试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.136.已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24xy的焦点，离心率25e，过椭圆的右焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点(,0)Mm是线段OF上的一个动点，且()MAMBAB，求m的取值范围；（3）设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得C、B、N三点共线？若存在，求出定点N的坐标，若不存在，请说明理由.14第五讲导数的概念与切线问题【知识要点】⒈导数的概念及其几何意义；⒉你熟悉常用的导数公式吗？⒊导数的运算法则：⑴.两个函数四则运算的导数；⑵.复合函数的导数：xuxuyy'·''.4.你会利用导数求曲线在某点处的切线方程吗?【经典例题】例1.导数的概念题:1.一质点的运动方程为253St，则在一段时间1,1t内相应的平均速度为（）A.36tB.36tC.36tD.36t2.已知23f,则0222limxfxfxx.3.求导公式的应用（1）3()ln3fxxxx，则()fx=.（2）32()25fxxxx，若0()0fx，则0x=.（3）2()(31)(23)fxxxx，则()fx=，(1)f=.（4）10()(23)fxx，则()fx=.4.已知3214fxfxxx，则fx=.15例2.切线问题:1.曲线24yxx上两点(4,0),(2,4)AB，若曲线上一点P处的切线恰好平行于弦AB，则点P的坐标为（）A.(1,3)B.(3,3)C.(6,12)D.(2,4)2.曲线32242yxxx在点(13)，处的切线方程是.3.曲线3yx在点1,1处的切线与x轴、直线2x所围成的三角形的面积为_____.4.曲线32364yxxx的所有切线中,斜率最小的切线的方程是.例3.曲线C：32yaxbxcxd在(0,1)点处的切线为1:1lyx在(3,4)点处的切线为2:210lyx，求曲线C的方程.例4.已知两曲线axxy3和cbxxy2都经过点1,2P，且在点P处有公切线，试求abc、、的值.16例5.切线问题的综合应用:1.（江西卷理）设函数2()()fxgxx，曲线()ygx在点(1,(1))g处的切线方程为21yx，则曲线()yfx在点(1,(1))f处切线的方程为.2.（安徽卷理）已知函数()fx在R上满足2()2(2)88fxfxxx，则曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程是()A.21yxB.yxC.32yxD.23yx3.（全国卷Ⅰ理）已知直线1yx与曲线lnyxa相切，则a的值为()A.1B.2C.-1D.-24.若曲线3()lnfxaxx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________.5.曲线lnyx上的点到直线3yx的最短距离为.*6.向高为8m，底面边长为8m的倒置正四棱锥形的容器内注水，其速度为每分钟338m，则当水深为5m时，水面上升的速度为.17【经典练习】1.设曲线2axy在点1,a处的切线与直线062yx平行，则a（）A.1B.12C.12D.12.已知曲线24xy的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（）A.1B.2C.3D.43.若曲线2yxaxb在点(0,)b处的切线方程是10xy，则（）A.1,1abB.1,1abC.1,1abD.1,1ab4.曲线313yxx在点413，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A.19B.29C.13D.235.若42()fxaxbxc满足(1)2f，则(1)f（）A.4B.2C.2D.46.已知函数()yfx的图象在点(1(1))Mf，处的切线方程是122yx，则(1)(1)ff.7.曲线1yx和2yx在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是.8.过点(1,2)P且与曲线2342yxx在点(1,1)M处的切线平行的直线方程是.9.已知23f，24f,则022246limxfxfxx.10.已知直线22yx为曲线3fxxax的一条切线，则a=.18第六讲导数的应用（一）【知识要点】导数的应用（1）求曲线的切线方程;（2）求单调区间;（3）求函数的极值（或函数最值）.【经典例题】1.已知曲线3:2Syxx.（1）求曲线S在点(1,1)A处的切线方程；（2）求过点(2,0)B并与曲线S相切的直线方程.2.（2009北京文）设函数3()3(0)fxxaxba.（1）若曲线()yfx在点(2,(2))f处与直线8y相切，求,ab的值；（2）求函数()fx的单调区间与极值.193．已知3211ln,32fxxgxxxmxn，直线l与函数,fxgx的图象都相切于点1,0.（1）求直线l的方程及()gx的解析式；（2）若'hxfxgx（其中'gx是gx的导函数），求函数hx的值域.4.设函数2()ln(23)fxxx.（1）讨论()fx的单调性；（2）求()fx在区间3144，的最大值和最小值.205.设函数32()2338fxxaxbxc在1x及2x时取得极值．（1）求ab、的值；（2）若对于任意的[03]x，，都有2()fxc成立，求c的取值范围.*6.（2009安徽卷文）已知函数21ln,0fxxaxax.（1）讨论fx的单调性；（2）设3a，求fx在区间21,e上的值域.21【经典练习】1.如果函数y=f(x)的图象如右图，那么导函数yfx的图象可能是（）2.在下列结论中，正确的结论有（）①单调增函数的导函数也是单调增函数；②单调减函数的导函数也是单调减函数；③单调函数的导函数也是单调函数；④导函数是单调的，则原函数也是单调的．A.0个B.2个C.3个D.4个3.函数4282yxx在[－1,3]上的最大值为()A．11B．2C．12D.104.曲线xye在点2(2)e，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A.294eB.22eC.2eD.22e5.（全国卷Ⅰ）函数93)(23xaxxxf，已知)(xf在3x时取得极值，则a=（）A.2B.3C.4D.56.(2009年广东卷文)函数xexx