第5章---两点边值问题求解方法

航空航天中的计算方法授课教师：陈琪锋中南大学航空航天学院第二部分边值问题求解方法第5章两点边值问题求解方法航空航天中的计算方法Page42019/11/21内容提要5.1常微分方程边值问题的概念5.2打靶法5.3有限差分法5.4有限元法[1]Part3:Two-PointBoundaryValueProblems.[2]DavidL.Darmofal,ComputationalMethodsinAerospaceEngineering(LectureNotes),MIT,2005.Chap11,12.[3]清华大学数学系编，现代应用数学手册•计算方法分册（第十一章，常微分方程边值问题的数值方法），北京出版社，1990.航空航天中的计算方法Page52019/11/215.1常微分方程边值问题的概念对于常微分方程：其中，x为标量，y和f为m维向量。在上求解之需要m个定解条件，若定解条件的形式为：其中g为m维向量。则该问题称为两点边值问题（TPBVP，TwoPointBoundaryValueProblem）。如果边值条件形式可写为：其中gL和gR的维数之和等于m，则边界条件为分离的。xxx()(,())yfyxydydxab,ab((),())0gyy5.1常微分方程边值问题的概念aa(())0,(())0LRgygy航空航天中的计算方法Page62019/11/215.2打靶法以二阶系统为例，考虑边值问题：变换：考虑初值问题：初值问题的解为：找到α满足：xxxxxabab()(,(),()),,(),()yfyyyAyB5.2打靶法12yyyyxxxxxabab1221211()()()(,,),,(),()yyyfyyyAyBxxabaa1221212,(,,),,(),()yyyfyyyAyxx12(;),(;)yyb1(;)yB如何求α？航空航天中的计算方法Page72019/11/21打靶法的几何解释：5.2打靶法打靶：求解初值问题航空航天中的计算方法Page82019/11/215.1.1割线法以两个不同的α值求解初值问题，得到两个解：根据初值条件知：假设是α的线性函数，可取α为：迭代求解公式：结束条件：5.2打靶法bbb1020101110(;)(;)(;)Byyyb1(;)yxx1011(;),(;)yyaa1011(;)(;)yyAbbb11111111(;)(;)(;)mmmmmmmByyyb111(;)myB航空航天中的计算方法Page92019/11/21割线法的几何解释：5.2打靶法线性近似：按割线求根航空航天中的计算方法Page102019/11/215.1.2牛顿法求解非线性方程（组）：在已知初值α0的处Taylor展开：线性近似：迭代求解公式：结束条件：5.2打靶法bb110100(;)(;)yByb1(;)yBbbb21111001010(;)(;)(;)yyyOBbb111(;)(;)mmmmyByb111(;)myBb1(;)?y航空航天中的计算方法Page112019/11/21差分法求偏导数或采用其它数值微分方法。f可微时解偏导数微分方程微分方程对α求偏导：5.2打靶法bbb11101010(;)(;)(;)yyyxxabaa1221212,(,,),,(),()yyyfyyyAyxx12(;),(;)yyxabaa122121212,,,(;)0,(;)1yyyyyffyyyy初值问题，可解！（与割线法等价）割线代替切线航空航天中的计算方法Page122019/11/21每一步迭代求解初值问题其中：解得：得到的终端值和对α的偏导数：5.2打靶法axaaa1212122121212212,()(,,),(),()0,()1yyyAyfyyyzzzffzzzzyyxab,1212,yyzzxxxx1212(;),(;),(;),(;)yyzzbb11(;),(;)yy航空航天中的计算方法Page132019/11/21作业题5：用牛顿打靶法求解两点边值问题迭代初始条件取。5.2打靶法xxxxx2222sin(ln),12(1)1,(2)2yyyyy(1)0y航空航天中的计算方法Page142019/11/215.3有限差分法以二阶系统为例，边值问题：有限差分近似将区间等分为N个子区间将在xi处Taylor展开：xxxxxabab()(,(),()),,(),()yfyyyAyB5.3有限差分法baa,,0,1,2,,ihxihiNNx()yxab,2311()()()()()23!iiiiiiiyxyxyxxxyxxxyxxx用差分近似代替微分，将微分方程化为代数方程求解航空航天中的计算方法Page152019/11/21若取x=xi+1=x+ih：忽略二阶以上部分，得一阶导数的前向差分近似：若取x=xi-1=x-ih：忽略二阶以上部分，得一阶导数的后向差分近似：5.3有限差分法1()()()iiiyxyxyxh23111()()()()()26iiiiiyxyxyxhhyxhyx23111()()()()()26iiiiiyxyxyxhhyxhyx1()()()iiiyxyxyxh一阶精度一阶精度航空航天中的计算方法Page162019/11/21xi+1和xi-1在xi处的Taylor展开相减，忽略三阶以上部分，得一阶导数的中心差分近似：xi+1和xi-1在xi处的Taylor展开相加，忽略四阶以上部分，得二阶导数中心差分近似：三阶导数的中心差分近似？5.3有限差分法11()()()2iiiyxyxyxh二阶精度112()()2()()iiiiyxyxyxyxh二阶精度航空航天中的计算方法Page172019/11/21xi+1和xi-1在xi处的Taylor展开相减，忽略五阶以上部分：xi+2和xi-2在xi处的Taylor展开相减，忽略五阶以上部分：三阶导数的中心差分近似：四阶导数的中心差分近似：5.3有限差分法21123()2()2()()()iiiiiyxyxyxyxyxh二阶精度35111()()2()()()3iiiiyxyxyxhhyxOh35228()()4()()()3iiiiyxyxhyxhyxOh(4)21124()4()6()4()()()iiiiiiyxyxyxyxyxyxh二阶精度航空航天中的计算方法Page182019/11/21有限差分法解微分方程两点边值问题微分方程离散化，将区间等分为N个子区间：在节点上应用中心差分公式，得到代数方程组：xxxxxabab()(,(),()),,(),()yfyyyAyB5.3有限差分法x1111202(,,),1,2,,12,iiiiiiiNyyyyyfyiNhhyAyBbaa,,0,1,2,,ihxihiNNxab,航空航天中的计算方法Page192019/11/21有限差分法解微分方程两点边值问题的几何解释5.3有限差分法离散点：微分用有限差分近似航空航天中的计算方法Page202019/11/21例5.1：用有限差分法求解两点边值问题取离散化区间h=0.1，N=10。xxxxx2222sin(ln),12(1)1,(2)2yyyyy5.3有限差分法x1111202(,,),1,2,,12,iiiiiiiNyyyyyfyiNhhyAyBxxxxx111122202sin(ln)2221,21,1,2,,1iiiiiiiiiiNiyyyyyyhhyyihiN航空航天中的计算方法Page212019/11/21线性方程组：即：5.3有限差分法xxxxxx2211220sin(ln)12111,21,1,2,,1iiiiiiiiNihhhhyyyyyihiNxxxxxxxx10112222111()1()sin(ln),,()()1NNNNHYGhgyyyghYGgyhgy航空航天中的计算方法Page222019/11/215.4有限元法以二阶系统为例，考虑边值问题：5.4.1投影类方法的基本思想以一简单函数近似y(x)，给出连续近似解，例如：一般形式：，已知，待定。残差：某种意义上使残差最小，则得到某种准则下最佳的近似解。xxxxxabab()(,(),()),,(),()yfyyyAyB5.4有限元法x()yxxxxx()()(,(),())Ryfyyx10()Nkkkycxx0()kkkycxx10()()Nkkkyxk()kx航空航天中的计算方法Page232019/11/21区间残差平方和最小：最小二乘法若干特定点处残差为零：配点法加权残差为零：加权残差法Galerkin法：。5.4有限元法x012,,min()NbaRdx12()0,1,2,,iNRiNabxx()()0,1,2,,,biawRdxiN()iwx计算复杂，不常用为权函数()()iiwxx航空航天中的计算方法Page242019/11/21例5.2：考虑两点边值问题解析解为：试用配点法和加强残差法求解该问题近似解。x50,11(1)100,(1)100xyeyy5050sinh(1),10050cosh(1)11sinh(),cosh()22xxxxxyeaxbabxeexee5.4有限元法航空航天中的计算方法Page252019/11/215.4有限元法解析解航空航天中的计算方法Page262019/11/21设近似解的形式：基函数的选择示例：为满足边值条件要求取二次函数以及三次项N=2（1）配点法近似解的残差令N个点处残差为零求解系数，如x1()100()Niiiyx5.4有限元法(1)0i1()(1)(1)xxx2()(1)(1)xxxx线性函数不满足xx12()502650xxRyeex13121125cosh,25sinh33配点？航空航天中的计算方法Page272019/11/21（2）加权残差法要求：Galerkin法，取即：5.4有限元法111212587575,22eee1122()(),()()wxxwxxxx()()0,1,2biawRdxix1121(1)(1)(2650)0xxxedxx1121(1)(1)(2650)0xxxxedx航空航天中的计算方法Page282019/11/215.4有限元法-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8195100105110115120125130exactColloca