矩阵分析课后习题解答(整理版)

第一章线性空间与线性变换（以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的，答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不得擅自上传）（此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别）1.9.利用子空间定义，)(AR是mC的非空子集，即验证)(AR对mC满足加法和数乘的封闭性。1.10.证明同1.9。1.11.rankAnANrankAAR)(dim,)(dim（解空间的维数）1.13.提示：设),)(njiaAnnij（，分别令TiXX),0,0,1,0,0((其中1位于iX的第i行），代入0AXXT，得0iia；令TijXX)0,0,10,0,1,0,0(（其中1位于ijX的第i行和第j行），代入0AXXT，得0jjjiijiiaaaa，由于0jjiiaa，则0jiijaa，故AAT，即A为反对称阵。若X是n维复列向量，同样有0iia，0jiijaa，再令TijiXX),0,1,0,0,,0,0((其中i位于ijX的第i行，1位于ijX的第j行），代入0AXXH，得0)(ijjijjiiaaiaa，由于0jjiiaa，ijjiaa，则0jiijaa，故0A1.14.AB是Hermite矩阵，则ABBAABABHHH)(1.15.存在性：令2,2HHAACAAB，CBA，其中A为任意复矩阵，可验证CCBBHH,唯一性：假设11CBA，1111,CCBBHH，且CCBB11,，由1111CBCBAHHH，得CAACBAABHH2,211（矛盾)第二章酉空间和酉变换（注意实空间与复空间部分性质的区别）2.8法二：设~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(XeeeeeeenTni（1在第i行）；~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(YeeeeeeenTnj（1在第j行）根据此题内积定义jijiXYeeHji01),~~（故neee,,21是V的一个标准正交基。（注意，在无特别定义的情况下，内积的定义默认为XYYXH),(）2.15先求得C使ACCH，假设CBP，使IAPPH，则有1)(HBB，依次式求得B，进而求得P。(此方法不一定正确）2.16将），，（321进行列变换化为阶梯型知可取21，为其中两个基，另两个基可取TT)1,0,0,0(,0,1,0,043）（，化标准正交基略。2.17略第二章矩阵的分解注：例2.9（1）中的Jordan标准型有误，1111J，Jordan标准型不唯一，各Jordan块之间可以互换，互换的原则是：同一特征值对应的Jordan块之间可以互换；不同特征值对应的Jordan块整体可以互换。3.7、3.8同3.13.11方法同上3.12由OAk知A的特征值全为0（xxAxAxxkk,0），则IA的特征值全为1，根据行列式与特征值的关系，则1IA3.27略3.29见课本P67例3.173.30见课本P69例3.19第三章范数及其应用4.12（1）22AAAmF，22222,minBABABAABFF（2）22221)()(maxAAnAAAtrAAnAnFFHHimmFAnAAA12易证。第七章广义逆矩阵