2013版高二数学人教B版选修2-1课件3-2-2平面的法向量与平面的向量表示

•1．知识与技能•掌握平面的法向量的概念及性质．•理解平面的向量表示．•2．过程与方法•用向量的观点认识平面、利用平面的法向量证明平行或垂直问题．•3．情感态度与价值观•培养学生转化的数学思想，增强应用意识．•重点：平面法向量的概念及性质．•难点：利用法向量法解决几何问题．•平面的法向量从大纲上要求是了解，但实际上应用较广泛，如判定平面的平行或垂直问题，可转化为研究其法向量的平行或垂直问题；求线面角、面面角问题、距离问题都可结合平面的法向量解决．因此在学习时适当提高要求，理解法向量的求法及简单应用．•给定一个点A和一个向量a，那么过点A的向量a为法向量的平面是确定的，平面的向量方程为·a＝0(M为平面内任一点)．•设直线l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0；l⊥α⇔u∥v⇔u＝kv(k∈R)⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.•三垂线定理及逆定理这两个定理中“平面内”这个条件不能省略，否则不一定成立，需要进一步证明．这是因为由三垂线定理及其逆定理的证明过程可知：只有平面内的直线，若能满足和斜线的射影垂直，才能保证和斜线与射影所在平面垂直，只有线面垂直才能保证线线垂直．•三垂线定理及其逆定理常用于判定空间直线互相垂直，在引用时要清楚以下问题：(1)从条件上看，三垂线定理的条件是“和射影垂直”；其逆定理的条件是“和斜线垂直”．(2)从功能上看，三垂线定理用于解决已知共面垂直，证明异面垂直的问题；逆定理正好相反．•1．已知平面α，如果一个向量n的基线与平面α垂直，则向量n叫做________________________________．•3．设n1、n2分别是平面α、β的法向量，•α∥β或α与β重合⇔________；•α⊥β⇔________.2．设A是空间任一点，n为空间任一非零向量，则适合条件AM→·n＝0的点M构成的图形是过空间一点并且与一个向量垂直的平面，________________称作一个平面的向量表示式．•4．如果一条直线和________________________垂直，那么这条直线垂直于这个平面．•5．如果在________内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的________垂直，则它也和这条________垂直；反之，如果和这个平面的一条________垂直，那么它也和这条斜线的________垂直．[答案]1.平面α的法向量或者说向量n与平面α正交2.AM→·n＝03．n1∥n2n1·n2＝04．平面内的两条相交直线5．平面射影斜线斜线射影[例1]如图，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝12，求平面SCD与平面SAB的法向量．•[分析]解答本题可先建立空间直角坐标系，写出每个平面内两个不共线向量的坐标，再利用待定系数法求出平面的法向量．[解析]∵AD、AB、AS是三条两两垂直的线段，∴以A为原点，以AD→、AB→、AS→的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立坐标系，则A(0,0,0)，D(12，0,0)，C(1,1,0)，S(0,0,1)，AD→＝(12，0,0)，是平面SAB的法向量，设平面SCD的法向量n＝(1，λ，μ)，则n·DC→＝(1，λ，μ)·(12，1,0)＝12＋λ＝0，∴λ＝－12.n·DS→＝(1，λ，μ)·(－12，0,1)＝－12＋μ＝0，∴μ＝12，∴n＝(1，－12，12)．故平面SCD与平面SAB的法向量分别是(1，－12，12)和(12，0,0)．•[说明]求一个平面的法向量一般有两种方法．(1)几何法：利用几何条件找出一条与平面垂直的直线，在其上取一条有向线段即可．•(2)代数法：即坐标法，步骤如下：•①设出平面的法向量n＝(x，y，z)．•②找出平面内的两个不共线向量v1，v2.③列方程n·v1＝0n·v2＝0④解方程组，赋值即可．•若本例条件不变，求平面SBD的一个法向量．•[解析]同例中坐标系，则∵B(0,1,0)，∴BD→＝(12，－1,0)．又SD→＝(12，0，－1)，设平面SBD的法向量为n＝(x，y，z)，则由BD→·n＝0SD→·n＝0，得12x－y＝012x－z＝0，令x＝2，则y＝1，z＝1.∴平面SBD的一个法向量为(2,1,1).•[例2]如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、M，分别为棱BB1、CD、AA1的中点．•(1)证明：C1M∥平面ADE；•(2)证明：平面ADE⊥平面A1D1F.•[分析]因为是正方体，所以此题可利用向量的坐标运算来解．[解析](1)以D为原点，向量DA→、DC→、DD1→的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立坐标系如图，设正方体的棱长为1.则DA→＝(1,0,0)，DE→＝(1,1，12)，C1M→＝(1，－1，－12)．设平面ADE的法向量为m＝(a，b，c)，则m·DA→＝0m·DE→＝0⇒a＝0a＋b＋12c＝0，令c＝2，得m＝(0，－1,2)，∵m·C1M→＝(0，－1,2)·(1，－1，－12)＝0＋1－1＝0，∴C1M→⊥m.又C1M⊄平面ADE，∴C1M∥平面ADE.(2)D1A1→＝(1,0,0)，D1F→＝(0，12，－1)，设平面A1D1F的法向量为n1＝(x，y，z)，则n1·D1A1→＝0n1·D1F→＝0⇒x＝012y－z＝0，令y＝2，则n＝(0,2,1)．同理可得平面ADE的法向量n2＝(0,1，－2)．∵n1·n2＝0，∴平面ADE⊥平面A1D1F.•如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、DC的中点．•(1)求AE与D1F所成的角；•(2)求证AE⊥平面A1D1F.[解析](1)设正方体的棱长为1，且DA→＝e1，DC→＝e2，DD1→＝e3，以e1、e2、e3为坐标向量，建立空间直角坐标系D－xyz，则(1)A(1,0,0)，E1，1，12，F0，12，0，D1(0,0,1)．∴AE→＝0，1，12，D1F→＝0，12，－1，从而AE→·D1F→＝0，1，12·0，12，－1＝0，∴AE→⊥D1F→，即AE与D1F所成的角为90°.(2)由(1)可知DA1→＝(1,0,0)＝D1A1→，且D1A1→·AE→＝(1,0,0)·0，1，12＝0，∴AE⊥D1A1，由(1)知AE⊥D1F，且D1A1∩D1F＝D1，∴AE⊥平面A1D1F.•[例3]在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD.求证AD⊥BC.•[分析]要证明AD⊥BC，根据三垂线定理，只需证明AD在平面BCD内的射影和BC垂直，因此，可作AO⊥平面BCD于O点，问题即转化为证明OD⊥BC.•[解析]方法一：如图所示，作AO⊥平面BCD于O点，连结BO、CO、DO，则BO、CO、DO分别为AB、AC、AD在平面BCD上的射影．•∵AB⊥CD，∴BO⊥CD(三垂线定理的逆定理)，•同理CO⊥BD，于是O是△BCD的垂心．•∴DO⊥BC，于是AD⊥BC(三垂线定理)．方法二：设AD→＝a，AB→＝b，AC→＝c，则CD→＝AD→－AC→＝a－c，BD→＝AD→－AB→＝a－b，BC→＝AC→－AB→＝c－b.∵AB⊥CD，∴b·(a－c)＝0，即a·b＝b·c.又AC⊥BD，∴c·(a－b)＝0，即a·c＝b·c，∴a·b＝a·c.∴a·(b－c)＝0，即AD→·CB→＝0，∴AD→⊥CB→，∴AD⊥BC.•[说明]应用三垂线定理证明两异面直线垂直，关键是确定其中一条直线在另一条直线所在平面上的射影．如图所示，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°.BC＝1，AA1＝6，M是CC1的中点．求证：AB1⊥A1M.[证明]连接AC1.∵ACMC1＝362＝2，CC1C1A1＝63＝2，∴Rt△ACC1∽Rt△MC1A1，∴∠AC1C＝∠MA1C1.∴∠A1MC1＋∠AC1C＝∠A1MC1＋∠MA1C1＝90°，∴A1M⊥AC1.∵ABC—A1B1C1为直角三棱柱，∴CC1⊥B1C1，又B1C1⊥A1C1，∴B1C1⊥平面AC1.由三垂线定理知，AB1⊥A1M.•[例4]如图所示：正方体AC1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．•求证：平面AMN∥平面EFDB.•[分析]根据面面平行的定义可证一个面中的两条相交直线与另一个面中的两条相交直线对应平行，也可以证明这两个平面的法向量平行．[解析]方法一：∵AN→＝AA1→＋A1N→＝BB1→＋B1E→＝BE→，∴AN∥BE.NM→＝12D1B1→＝FE→，∴NM∥EF.又∵AN∩MN＝N，AN、MN⊂平面AMN，•BE∩EF＝E，•BE、EF⊂平面EFDB，•∴平面AMN∥平面EFDB.•方法二：•如图，分别以DA、DC、DD1所在直线为x，y，z轴，•建立空间直角坐标系，•设正方体棱长为a，•则A(a,0,0)，A1(a,0，a)，•D1(0,0，a)，B1(a，a，a)，•B(a，a,0)，C1(0，a，a)∴N(a2，0，a)，M(a，a2，a)，E(a2，a，a)，F(0，a2，a)，∴AN→＝(－a2，0，a)，NM→＝(a2，a2，0)，DB→＝(a，a,0)，DF→＝(0，a2，a)，设平面AMN与平面EFDB的法向量分别为m＝(x1，y1，z1)和n＝(x2，y2，z2)，则m·AN→＝0m·NM→＝0，∴－a2x1＋0·y1＋a·z1＝0a2x1＋a2y1＋0z1＝0，∴y1＝－x1＝－2z1，取z1＝1，∴平面AMN的一个法向量为m＝(2，－2,1)，同理由n·DB→＝0n·DF→＝0，可得x2＝－y2y2＝－2z2，令z2＝1，∴平面EFDB的一个法向量n＝(2，－2,1)，∵m＝n，∴m∥n，∴平面AMN∥平面EFDB，方法三：由方法二AN→＝－a2，0，a，BE→＝－a2，0，a，NM→＝a2，a2，0，DB→＝(a，a,0)，可见AN→∥BE→，NM→∥DB→，•且AN∩NM＝N，BE∩DB＝B，•∴平面AMN∥平面EFDB.•[说明]本题方法一和方法三的证明依据是面面平行的判定定理，用向量法使逻辑问题算法化，方法二主要用法向量来确定平面．本题也可用共面向量定理，证明AM∥平面EFDB，AN∥平面EFDB.•已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：平面ADE∥平面B1C1F.•[解析]建立如图所示的直角坐标系，•则D(0,0,0)，A(2,0,0)，C1(0,2，2)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，FC1→＝(0,2,1)，C1B1→＝(2,0,0)，DA→＝(2,0,0)，AE→＝(0,2,1)．设n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)分别是平面ADE和平面B1C1F的一个法向量，由n1⊥DA→，n1⊥AE→，得n1·DA→＝2x1＝0n1·AE→＝2y1＋z1＝0.令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)．又由n2⊥FC1→，n2⊥C1B1→得n2·FC1→＝2y2＋z2＝0n2·C1B1→＝2×x2＝0.令z2＝2，得y2＝－1.所以n2＝(0，－1,2)．因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.•[例5]在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点．求证：平面BEF⊥平面ABC.•[误解]建立如图所示的空间直角坐标系．取A(0,0，a)则B(0,0,0)，D(0，3a,0)，C32a，32a，0，∴E3