实数完备性基本定理的相互证明

实数完备性基本定理的相互证明（30个）一.确界原理1.确界原理证明单调有界定理证不妨设na为有上界的单调递增数列.由确界原理，数列na有上确界，令nasupa，下面证明：limnnaa.对任意的0，由上确界的定义，存在数列na中某一项Na,使得：Naa.由于na单调递增,故对任意的nN，有：nNaaa.另一方面,由于a是na的一个上界,故对任意的正整数n都有：naaa.所以任意的nN，有：naaa，即：naa.由极限的定义，limnnaa.同理可证单调递减有下界的数列必有极限，且其极限即为它的下确界.2.确界原理证明区间套定理证明：设,nnab是一个闭区间套.令数集nSa.由于任一nb都是数列na的上界，由确界原理，数集S有上确界，设supS.下证属于每个闭区间,1,2,3,nnabn显然，1,2,3,nan，故只需证明对任意正整数n，都有nb.事实上，对任意正整数n，nb都是S的上界，而上确界是最小上界，故必有nb.所以存在实数，使得,1,2,3,nnabn下证唯一性，假设还有另外一点，也满足,1,2,3,nnabn.则0nnban，故有:.唯一性得证.3.确界原理证明有限覆盖定理证明：欲证闭区间,ab的任一开覆盖H都有有限的子覆盖.令|,SxaxHaxb能被中有限个开区间覆盖，显然S有上界.又H覆盖闭区间,ab，所以，存在一个开区间,H，覆盖住了a.取,xa，则,ax显然能被H中有限个开区间覆盖（1个），xS，从而S非空.由确界原理，令supS.先证明b.用反证法，若b，则ab.由H覆盖闭区间,ab，一定存在开区间11,H，覆盖住了.取12,xx，使：11211,xxxS，则1,ax能被H中有限个开区间覆盖，把11,加进去，就得到2,ax也能被H中有限个开区间覆盖，即2xS，这与supS矛盾，故b.最后证明bS.设开区间22,H，覆盖住了b.由bsupS，故存在y使得：2yb且yS.则,ay能被H中有限个开区间覆盖，把22,加进去，就得到,ab也能被H中有限个开区间覆盖.4.确界原理证明聚点定理证明：设S有界无限点集，则由确界原理令infS.若是S的一个聚点，则命题已经成立，下面设不是S的聚点.令|,TxxS中只包含中有限个元素.因为不是S的聚点，所以存在00，使得000;,U只包含S中有限个数，故0T，从而T非空.又S有界，所以S的所有上界就是T的上界，故T有上确界，令supT.下面证明是S的一个聚点.对任意的0，S，故,包含S中无穷多个元素.由上确界的定义，存在,，使得S，故,中只包含S中有限多个元素.从而我们得知,;U中包含了S中无穷多个元素，由聚点的定义，是S的一个聚点.5.确界原理证明Cauchy收敛准则证明：必要性：若limnnxx，则对任意的0，存在正整数N，对一切nN，有2nxx.于是对一切,mnN，有22mnmnxxxxxx.充分性：现假设nx满足对任意的0，存在N，对一切正整数,nmN，有nmxx.令数集|,nnSxxxxxn中只有有限项小于或，明显数列nx的下界都属于S，并且nx的上界就是S的上界.由确界存在定理，令supS.对条件给定的0和N，S，故,包含nx中无穷多项.由上确界的定义，存在,，使得S，故,中只包含S中有限多个元素.从而我们得知,;,U中包含了S中无穷多个元素，设,1,2,3,knxUk则对任意正整数nN，总存在某个knN，故有：2kknnnnxxxx.从而limnnx.二.单调有界定理6．单调有界定理证明确界定理证明：我们不妨证明非空有上界的数集Ｓ必有上确界.设|TrrS为数集的有理数上界.明显T是一个可数集，所以假设：12,,,,nTrrr.令1minniinxr.则得单调递减有下界的数列，由单调有界定理得，令limnnx先证是上界.任取sS，有nnsrx，由极限的保序性，s.其次对于任意的0，取一个有理数,r，它明显不是S的上界，否则limnnxr产生矛盾！故存在sS，使得s，我们证明了是数集S上确界.7.单调有界定理证明区间套定理若,nnab是一个区间套,则na为单调递增有上界的数列,由单调有界定理,令limnna，并且容易得到1,2,3,nan.同理,单调递减有下界的数列nb也有极限,并按区间套的条件有：limlim0nnnnnnbaba，并且容易得到1,2,3,nbn.所以,1,2,3,nnabn下证唯一性，假设还有另外一点，也满足,1,2,3,nnabn.则0nnban，故有:.唯一性得证.8.单调有界定理证明有限覆盖定理设|,,TrarHrrb可以被的开区间有限开覆盖，且.容易得到T中包含无穷多个元素，并且T是一个可数集，所以假设：12,,,,nTrrr.令1maxniinxr.则得单调递增有上界的数列，由单调有界定理得，令limnnx.先证明b.用反证法，若b，则ab.由H覆盖闭区间,ab，一定存在开区间11,H，覆盖住了.取,ijxry，使：11ijxry，则1,ax能被H中有限个开区间覆盖，把11,加进去，就得到,ay也能被H中有限个开区间覆盖，即yS，这与supS矛盾，故b.最后证明bS.设开区间22,H，覆盖住了b.由bsupS，故存在klxr使得：2klxrb.则,lar能被H中有限个开区间覆盖，把22,加进去，就得到,ab也能被H中有限个开区间覆盖.9.单调有界定理证明聚点定理证明：设S是一有界无限点集，在S中选取一个单调na，下证数列na有聚点.（1）如果在na的任意一项之后，总存在最大的项,设1a后的最大项是1na，1na后的最大项是2na，且显然2121nnaann；一般地，将kna后的最大项记为1kna，则有：11,2,3,kknnaak.这样，就得到了na的一个单调递减子列kna.（2）如果（1）不成立则从某一项开始，任何一项都不是最大的，不妨设从第一项起，每一项都不是最大项.于是，取11naa，因1na不是最大项，所以必存在另一项2121nnaann又因为2na也不是最大项，所以又有：3232nnaann，这样一直做下去，就得到了na的一个单调递增子列kna.综上所述，总可以在S中可以选取一个单调数列kna，利用单调有界定理，kna收敛，极限就是S的一个聚点.10.单调有界定理证明Cauchy收敛准则证明：必要性：若limnnxx，则对任意的0，存在正整数N，对一切nN，有2nxx.于是对一切,mnN，有22mnmnxxxxxx.充分性：现假设nx满足对任意的0，存在N，对一切正整数,nmN，有nmxx.先证明柯西数列是有界的.取01，故存在某个正整数0N，对一切n，有011nNxx，即011nNaa.故nx有界.参考9的做法，可知数列na有一个单调子列kna，由单调有界定理，kna收敛，令limknkx.则对任意正整数nN，总存在某个kknnN，使得knx，故有：2kknnnnxxxx..从而limnnx.三．区间套定理11.区间套定理证明确界原理证明：仅证明非空有上界的数集S必有上确界取一个闭区间,ab，使得,ab包含S中的元素，并且b为S的上界.将闭区间,ab等分为两个闭区间,2aba与,2abb.若2ab为数集S的上界，则取11,,2ababa，否则取11,,2ababb.再将闭区间11,ab等分为两个闭区间111,2aba与111,2abb.若112ab为数集S的上界，则取11221,,2ababa，否则取11221,,2ababb.不断进行下去，这样得到了一个闭区间套,nnab.由区间套定理的得存在属于所有的闭区间,1,2,3,nnabn并且每个闭区间,nnab都包含S中的元素，并且右端点nb为S的上界.由于对任意sS，有nsb，所有由极限的保序性，limnnsb，从而是数集S的上界.最后，对于任意0，存在n，使得0nnba.由闭区间套的选取，,nnab包含了S中某个元素s，从而有nnsab.故是数集S的上确界.12.区间套定理证明单调有界定理设nx是单调有界数列，不妨设其为单调递增且有上界取一个闭区间,ab，使得,ab包含nx中的项，并且b为nx的上界.将闭区间,ab等分为两个闭区间,2aba与,2abb.若2ab为nx的上界，则取11,,2ababa，否则取11,,2ababb.再将闭区间11,ab等分为两个闭区间111,2aba与111,2abb.若112ab为nx的上界，则取11221,,2ababa，否则取11221,,2ababb.不断进行下去，这样得到了一个闭区间套,nnab.由区间套定理的得存在属于所有的闭区间,1,2,3,nnabn并且每个闭区间,nnab都包含nx中的项，并且右端点nb为nx的上界.下面证明limnnx.对任意的0，存在n，使得0nnba.由闭区间套的选取，,nnab包含了nx中某一项Nx，从而有Nnnxab.由于nx单调递增,故对任意的nN，有：Nnxx.又nnnxba，故有nx，即nx.13.区间套定理证明有限覆盖定理若闭区间,ab可以被H中的开区间无限开覆盖.下面证明闭区间,ab可以被H有限开覆盖.用反证法，若闭区间,ab不能被H有限开覆盖.将闭区间,ab等分为两个闭区间,2aba与,2abb.其中必有一个区间不能被H有限开覆盖，设它为11,ab；再将闭区间11,ab等分为两个闭区间111,2aba与111,2abb.其中必有一个区间不能被H有限开覆盖，设它为22,ab.不断进行下去，这样得到了一个闭区间套,nnab.由区间套定理的得存在属于所有的闭区间,1,2,3,nnabn.显然,ab，考虑H中覆盖的开区间,，取0min,.由于limlimnnnnab，