高中数学函数与导数综合题型分类总结

天道酬勤王江编撰1函数综合题分类复习题型一：关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令0)('xf得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知；不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征)()(xgxf恒成立0)()()(xgxfxh恒成立；参考例4；例1.已知函数321()23fxxbxxa，2x是)(xf的一个极值点．（Ⅰ）求()fx的单调递增区间；（Ⅱ）若当[1,3]x时，22()3fxa恒成立，求a的取值范围．例2.已知函数baxaxxxf23)(的图象过点)2,0(P.（1）若函数)(xf在1x处的切线斜率为6，求函数)(xfy的解析式；（2）若3a，求函数)(xfy的单调区间。例3.设22(),1xfxx()52(0)gxaxaa。（1）求()fx在[0,1]x上的值域；（2）若对于任意1[0,1]x，总存在0[0,1]x,使得01()()gxfx成立,求a的取值范围。例4.已知函数32()fxxax图象上一点(1,)Pb的切线斜率为3，326()(1)3(0)2tgxxxtxt（Ⅰ）求,ab的值；（Ⅱ）当[1,4]x时，求()fx的值域；（Ⅲ）当[1,4]x时，不等式()()fxgx恒成立，求实数t的取值范围。例5.已知定义在R上的函数32()2fxaxaxb）（0a在区间2,1上的最大值是5，最小值是－11.（Ⅰ）求函数()fx的解析式；（Ⅱ）若]1,1[t时，0(txxf）恒成立，求实数x的取值范围.例6.已知函数2233)(mnxmxxxf，在1x时有极值0，则nm例7.已知函数23)(axxf图象上斜率为3的两条切线间的距离为5102，函数33)()(22abxxfxg．（1）若函数)(xg在1x处有极值，求)(xg的解析式；（2）若函数)(xg在区间]1,1[上为增函数，且)(42xgmbb在区间]1,1[上都成立，求实数m的取值范围．答案：1、解：（Ⅰ）'2()22fxxbx.∵2x是)(xf的一个极值点，∴2x是方程2220xbx的一个根，解得32b.令'()0fx，则2320xx，解得1x或2x.∴函数()yfx的单调递增区间为(,1)，(2,+).（Ⅱ）∵当(1,2)x时'()0fx，(2,3)x时'()0fx，∴()fx在（1，2）上单调递减，()fx在（2，3）上单调递增.∴(2)f是()fx在区间[1，3]上的最小值，且2(2)3fa.若当[1,3]x时，要使22()3fxa恒成立，只需22(2)3fa，即22233aa，解得01a.2、解：（Ⅰ）aaxxxf23)(2．由题意知623)1(2)0(aafbf，得23ba．∴233)(23xxxxf．（Ⅱ）023)(2aaxxxf．∵3a，∴01242aa．天道酬勤王江编撰2由0)(xf解得332aaax或332aaax，由0)(xf解得333322aaaxaaa．……………10∴)(xf的单调增区间为：)33,(2aaa和),33(2aaa；)(xf的单调减区间为：)33,33(22aaaaaa．……12分3、解：(1)法一:(导数法)22224(1)224()0(1)(1)xxxxxfxxx在[0,1]x上恒成立.∴()fx在[0,1]上增，∴()fx值域[0,1]。法二:220,022(),(0,1]111xxfxxxxx,复合函数求值域.法三:2222(1)4(1)22()2(1)4111xxxfxxxxx用双勾函数求值域.(2)()fx值域[0,1]，()52(0)gxaxaa在[0,1]x上的值域[52,5]aa.由条件,只须[0,1][52,5]aa，∴52054512aaa.特别说明：要深刻理解本题的题意及子区间的解题思路，联想2008年全国一卷第21题，那是单调区间的子区间问题；4、解：（Ⅰ）/2()32fxxax∴/(1)31fba，解得32ab（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()fx在[1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递减又minmax(1)4,(0)0,{()}(2)4,{()}(4)16fffxffxf∴()fx的值域是[4,16]（Ⅲ）令2()()()(1)3[1,4]2thxfxgxxtxx∴要使()()fxgx恒成立，只需()0hx，即2(2)26txxx（1）当[1,2)x时226,2xtxx解得1t；（2）当2x时tR；（3）当(2,4]x时2262xtxx解得8t；综上所述所求t的范围是(,1][8,)特别说明：分类与整合，千万别忘了整合即最后要写“综上可知”，分类一定要序号化；5、解：（Ⅰ）32'2()2,()34(34)fxaxaxbfxaxaxaxx令'()fx=0,得1240,2,13xx因为0a，所以可得下表：x2,000,1'()fx+0-()fx↗极大↘天道酬勤王江编撰3因此)0(f必为最大值,∴50）（f因此5b，(2)165,(1)5,(1)(2)fafaff，即11516)2(af，∴1a，∴.52(23xxxf）（Ⅱ）∵xxxf43)(2，∴0(txxf）等价于0432txxx，令xxxttg43)(2，则问题就是0)(gt在]1,1[t上恒成立时，求实数x的取值范围，为此只需0)10)1(（gg，即005322xxxx，解得10x，所以所求实数x的取值范围是[0，1].6、11（说明：通过此题旨在提醒同学们“导数等于零”的根不一定都是极值点，但极值点一定是“导数等于零”方程的根；）7、解：∵223)(xaxf，∴由3322xa有ax，即切点坐标为),(aa，),(aa∴切线方程为)(3axay，或)(3axay，整理得023ayx或023ayx∴5102)1(3|22|22aa，解得1a，∴3)(xxf，∴33)(3bxxxg。（1）∵bxxg33)(2，)(xg在1x处有极值，∴0)1(g，即03132b，解得1b，∴33)(3xxxg（2）∵函数)(xg在区间]1,1[上为增函数，∴033)(2bxxg在区间]1,1[上恒成立，∴0b，又∵)(42xgmbb在区间]1,1[上恒成立，∴)1(42gmbb，即bmbb3442，∴3bm在]0,(b上恒成立，∴3m∴m的取值范围是,3题型二：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x轴即方程根的个数问题；（1）已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种：第一种：转化为恒成立问题即0)(0)(''xfxf或在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（看是否在0的同侧），如果是同侧则不必分类讨论；若在0的两侧，则必须分类讨论，要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变呀！有时分离变量解不出来，则必须用另外的方法；第二种：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；参考08年高考题；第三种方法：利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置；可参考第二次市统考试卷；特别说明：做题时一定要看清楚“在（a,b）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别；请参考资料《高考教练》83页第3题和清明节假期作业上的第20题（金考卷第5套）；（2）函数与x轴即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式（组）即可；例8．已知函数232)1(31)(xkxxf，kxxg31)(，且)(xf在区间),2(上为增函数．（1）求实数k的取值范围；（2）若函数)(xf与)(xg的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围．例9.已知函数.313)(23axaxxf（I）讨论函数)(xf的单调性。（II）若函数)(xfy在A、B两点处取得极值，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围。例10．已知函数f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，其中a为实数．(Ⅰ)求导数f(x)；(Ⅱ)若f(－1)＝0，求f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值；(Ⅲ)若f(x)在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都是递增的，求a的取值范围例11.已知：函数cbxaxxxf23)(（I）若函数)(xf的图像上存在点P，使点P处的切线与x轴平行，求实数ba,的关系式；（II）若函数)(xf在1x和3x时取得极值且图像与x轴有且只有3个交点，求实数c的取值范围.例12．设()yfx为三次函数，且图像关于原点对称，当12x时，()fx的极小值为1．（Ⅰ）求()fx的解析式；（Ⅱ）证明：当),1(x时，函数()fx图像上任意两点的连线的斜率恒大于0．天道酬勤王江编撰4例13．在函数)0()(3abxaxxf图像在点（1，f（1））处的切线与直线.076yx平行，导函数)('xf的最小值为－12。（1）求a、b的值；（2）讨论方程mxf)(解的情况（相同根算一根）。例14．已知定义在R上的函数),,()(3Rcbacbxaxxf，当1x时，)(xf取得极大值3，1)0(f.（Ⅰ）求)(xf的解析式；（Ⅱ）已知实数t能使函数f(x)(t,t3)在区间上既能取到极大值，又能取到极小值，记所有的实数t组成的集合为M.请判断函数()()()fxgxxMx的零点个数.例15.已知函数)(,42)1(3)(223xfkxkkxxf若的单调减区间为（0，4）（I）求k的值；（II）若对任意的)(52],1,1[2tfaxxxt的方程关于总有实数解，求实数a的取值范围。例16.已知函数baRxxbxaxxf,,()(23是常数)，且当1x和2x时，函数)(xf取得极值.（Ⅰ）求函数)(xf的解析式；（Ⅱ）若曲线)(xfy与)02(3)(xmxxg有两个不同的交点，求实数m的取值范围.例17.已知函数正项数列满足：00a，11a，点),(11nnnnnaaaaP在圆2522yx上，)(Nn)(Nnks5u（Ⅰ）求证：nnnaaa2511；（Ⅱ）若nnnaab21)(Nn，求证：}{nb是等比数列；（Ⅲ）求和：nnbbbb32132例18.函数mxtxxf233)(（,0,tRxm、t为常数）是奇函数。ks5u（Ⅰ）求实数m的值和函数)(xf